Este documento introduce el criterio de la razón para determinar si una serie infinita converge o diverge. Explica que si el límite del cociente entre términos sucesivos es menor que 1, la serie converge, y si es mayor que 1, diverge. Proporciona dos ejemplos para ilustrar cómo aplicar este criterio.

1. CRITERIO DE LA COCIENTE O DE LA RAZÓN PARA
SERIES INFINITAS

2. CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN
2 CRITERIO DE LA RAZÓN

3. INTRODUCCIÓN
Introducción
En el estudio de las series infinitas, es importante determinar si
una serie converge o diverge. Una herramienta útil para hacer esto
es el Criterio del Cociente, también conocido como el Criterio
de la Razón.
Este criterio nos permite analizar el comportamiento de una serie
basándonos en el cociente entre términos sucesivos.

4. CRITERIO DE LA RAZÓN
Criterio de la Razón
Dada la serie
∞
∑
n=1
an
1 si lı́m
n→∞
an+1
an
= L < 1, entonces la
∞
∑
n=1
an es Convergente.
2 si lı́m
n→∞
an+1
an
= L > 1, entonces la
∞
∑
n=1
an es Divergente.
3 si lı́m
n→∞
an+1
an
= 1, el criterio del cociente no es concluyente.

5. CRITERIO DE LA RAZÓN
Ejemplo
Dada la serie
∞
∑
n=1
n3
3n
Determine si es o no Convergente

6. CRITERIO DE LA RAZÓN
Solución
lı́m
n→∞
an+1
an
= lı́m
n→∞
(−1)n+1(n+1)3
3n+1
(−1)nn3
3n
= lı́m
n→∞
(n+1)3
3n+1
•
3n
n3
= lı́m
n→∞
1
3
n+1
n
3
=
1
3
1

7. CRITERIO DE LA RAZÓN
Luego la serie
∞
∑
n=1
n3
3n
es Convergente

8. CRITERIO DE LA RAZÓN
Ejemplo
Dada la serie ∞
∑
n=1
nn
n!
Determine si es o no Convergente

9. CRITERIO DE LA RAZÓN
Solución
lı́m
n→∞
an+1
an
= lı́m
n→∞
(n+1)n+1
(n+1)!
nn
n!
= lı́m
n→∞
(n+1)n+1
(n+1)!
•
n!
nn
= lı́m
n→∞
n+1
n
n
= lı́m
n→∞
1+
1
n
n
= e 1

10. CRITERIO DE LA RAZÓN
Luego la serie
∞
∑
n=1
nn
n!
es Divergente