Los métodos numéricos son procedimientos alternativos para resolver problemas matemáticos mediante operaciones aritméticas en lugar de métodos analíticos. Proporcionan aproximaciones iterativas que se acercan al valor verdadero buscado. La exactitud y precisión de un método numérico dependen de cuán cercanas estén las aproximaciones al valor real y del número de cifras significativas respectivamente. La convergencia y estabilidad de un método se refieren a que las aproximaciones iterativas convergen hacia el valor verdadero.

1. MÉTODOS NUMÉRICOS
Exactitud Numérica
Carlos Alonso Gómez Cornelio
Gerardo López García
Andrés Correa García
Iván Fernando Jiménez López

2. Aproximaciones
Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos
provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales
se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,
ocasionalmente, son la única opción posible de solución.
Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es
resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos
cálculos aritméticos.
Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del
verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición
consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo
que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

3. Aproximaciones

4. Aproximación numérica
Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que
representa a un número cuyo valor exacto es X. En la
medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto
X, será una mejor aproximación de ese número
Ejemplos:
– 3.1416 es una aproximación numérica de ,
– 2.7183 es una aproximación numérica de e,
– 1.4142 es una aproximación numérica de 2,
– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

5. Cifras significativas
El número de cifras significativas es el número de dígitos
t, que se pueden usar, con confianza, al medir una
variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el
velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.
Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras
significativas; por ejemplo, los números 0.00001845,
0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras
significativas, pero habría que conocer el contexto en el
que se está trabajando en cada caso, para identificar
cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como
cifras significativas.

6. El manejo de cifras significativas permite desarrollar
criterios para detectar qué tan precisos son los resultados
obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y
precisión con que son expresados algunos números tales
como , e ó 2.
Alternativamente al número de cifras significativas, está el
número n de dígitos en la mantisa, que indica el número
de cifras a considerar, después del punto decimal. En
operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa
sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco
a poco por el número de cifras significativas que, por
diseño, manejan calculadoras y computadoras.

7. Exactitud y precisión.
La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una
cantidad.
La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al
valor numérico que se supone representa.
Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número infinito de
dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de , que tal
podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes
aproximaciones de :
= 3.15 es impreciso e inexacto.
= 3.14 es exacto pero impreciso.
= 3.151692 es preciso pero inexacto.
= 3.141593 es exacto y preciso.
Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas
y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud
como para medir la imprecisión en las predicciones.

8. Convergencia y estabilidad
Se entiende por convergencia de un método numérico la
garantía de que, al realizar un “buen número” de
iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por
acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de
un menor número de iteraciones que otro, para
acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor
rapidez de convergencia.

9. Tipo de problema

10. Modelo matemático

11. Método numérico

12. Selección de alternativas
Es altamente recomendable
“Software” que el ingeniero sepa programar
– Desarrollo de programas: en por lo menos un lenguaje, sepa
lenguaje “C” utilizar algún software matemático,
“Basic” y manejar muy eficientemente una
“Fortran” hoja de cálculo y una calculadora
Otro. graficadora
– Utilización de software matemático:
“Maple”,
“MatLab”,
“MathCad”,
“Mathematica”.
– El manejo de hojas de cálculo en PC:
Excel
Lotus
– Manejo expedito de una calculadora graficadora