1) Una serie es una sucesión de términos formados según una ley determinada. Se define el término general como la expresión que indica la ley de formación de los términos. 2) Existen series finitas e infinitas. Las series finitas tienen un número limitado de términos, mientras que las series infinitas tienen un número ilimitado de términos. 3) Las series geométricas son aquellas donde la razón entre términos sucesivos es constante. Sólo son convergentes si la razón está entre -

1. Definición de serie
Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley
determina.
Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25
Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de
las sucesiones anteriores obtenemos la serie:
1 + 4 + 9 + 16 + 25
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o seri esfinita.
Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o seriede llamasucesión
infinita.
El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de
formación de los términos.
FINITA
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el
primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo,
la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con
razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es
una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede
describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en
una progresión finita, n es el número de términos
INFINITA
En un lenguaje sencillo, una serie a1+ a2+ a3+ a4… es una rreglo ordenado de
número reales, uno para cada entero positiva, es una función cuyo dominio es el
conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales.
Podemos indicar una sucesión mediante a1, a2, a3… mediante a(n) infinito=1, en
algunos casos, extenderemos este concepto permitiendo que el dominio conste de
todos los enteros mayores o iguales a un entero específico como en b1, b2, b3… y
c8, c9, c10…. Que denotamos como {b(n)infinito=0} y {c(n)infinito=8,
respectivamente.
Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para
establecer un patrón como en:
1, 4, 7, 10, 13…
Mediante una fórmula explícita para el n-ésimo término, como en:
A(n)=3(n)-2, n >1
Series geométricas.

2. En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos
sucesivos de la serie permanece constante.
Por ejemplo la serie
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .
Una progresión geométrica es una sucesión de números en que cada término es el número
anterior multiplicado por otro número r llamado razón:
a, ar, ar2, ar3, ..., arn, ....
Como es conocido (ver algo más sobre progresiones geométricas en Internet) la suma de
los n primeros términos viene dado por:
Se llama serie geométrica a aquella cuyos términos son los respectivas sumas parciales de
una progresión geométrica, es decir, Sn tendrá la forma expresada arriba.
Para conocer el carácter de esta serie debemos analizar su límite:
Además, para el caso de r = 1 tenemos la serie formada por la suma:
a + a + a + a + a + ......
que es divergente. Mientras que para el caso de r = -1 tenemos la serie:
a - a + a - a + a - .....
que es una serie oscilante. En definitiva, la serie geométrica es convergente sólo para |r|<1
(o sea, -1<r<+1 ).

3. La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero;
a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas,
permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser
obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Fórmula
Para , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:
donde a es el primer término de la serie y r la razón común.
[Demostración
 Ejemplo:
Dada la suma de la serie geométrica:
La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:
Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Restándolas, se
obtiene:
, por lo que .
Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.
Convergencia y divergencia:

4. Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con
valores en un espacio vectorial normado).
La serie de término general converge cuando la sucesión de sumas
parciales converge, donde para todo entero natural n,
.
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales
.
La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una
cantidad finita de términos de la serie.
Una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita)
En el ámbito de las matemáticas se denomina serie divergente a una serie infinita que no
es convergente, o sea que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene
un límite.
Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Así, una
serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero, es una serie divergente. Sin
embargo, la convergencia es una condición más fuerte, no todas las series cuyos términos
tienden a cero son convergentes. El contraejemplo más simple es la serie armónica:
Si bien en la serie armónica los términos tienden a cero, la misma es divergente. La divergencia
de esta serie fue demostrada por el matemático medieval Nicole Oresme.
A veces es posible asignarle un valor a las seriesdivergentesutilizando un método de sumación.
Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½

5. .
Una serie se dice divergente si su límite es infinito.
Determinar el carácter de una serie es hallar si la serie es convergente o
divergente. Una tercera posibilidad es que este límite no exista, como en el caso
de las series oscilantes (formadas por términos positivos y negativos), como por
ejemplo la serie:
3 – 3 + 3 – 3 + 3 - ....+ (-1)n . 3 +.....
en este caso todo depende de cómo agrupemos sus términos para que la suma nos de uno u
otro valor, si por ejemplo los agrupamos de dos en dos:
(3 – 3) +( 3 – 3) + (3 – 3)+ ....+ (3 – 3).....
la suma sería claramente 0, pero sin embargo, podemos agruparlos de otras maneras, como
ejemplo:
3 + (– 3+3) + (– 3+3) + ... + (– 3+3) + ....
cuya suma sería claramente 3. Entonces la suma no tiene un valor único, para evitarnos estas
paradojas nosotros sólo tratamos con series que sean o convergentes o divergentes.
Teoremas y proposiciones
sobre series.
Definición: si an es una sucesión de números reales, llamamos serie de término general
an a la sucesión Sn definida como:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
…
Sn = a1 + … + an
Si la sucesión Sn es convergente, se dice que la serie de término general an es

6. convergente. Si lím Sn = s, escribiremos ni=1an = s, y diremos que s es la suma de esa
serie.
Si Sn no es convergente, se dice que la serie de término general an es divergente.
Fórmula de progresión geométrica:
Sn =
Series telescópicas
Definición: a cualquier sucesión Xn se le puede ver como una serie, es decir, como una
sucesión Sn de sumas parciales de otra sucesión.
Proposición: sea Xn una sucesión de números reales. La serie Σ(xn+1 – xn) converge si
y sólo si la sucesión xn converge. Si lím Xn = L, entonces el límite de Σ(xn+1 – xn) = L – x1
Propiedades elementales
Teorema: si Σan y Σbn son dos series convergentes, entonces:
 Σ(an + bn) es convergente, y Σ(an + bn) = Σan + Σbn.
 Si λ є entonces Σλan es convergente y Σλan = λΣan
Proposición: si Σan y Σbn son series que satisfacen que existe un N є , tal que bn = an si
n≥ N, entonces Σan es convergente si y sólo si Σbn es convergente.
Teorema: si Σan es convergente, entonces lím an = 0.
Demostración: sabemos que Sn es convergente, ya que Sn=Σan, entonces Sn+1 es
convergente. Y lím Sn es igual al lím Sn+1.
Sn+1 – Sn = an+1,
Luego an+1 es convergente, y lím an+1 = lím (Sn+1 – Sn) = = lím Sn+1 –
Lím Sn, pero como lím Sn = Lím Sn+1, entonces el lím an+1 = 0. Luego lím an+1 =
0, entonces lím an = 0. Queda demostrado el teorema.
Si an no converge a cero, entonces la serie no converge.
Eso si, puede que el lím de an sea 0, pero no converger la serie. Por ejemplo Σ1/n.
Teorema de Cauchy:
La serie Σan es convergente, si y sólo si para todo ε > 0, existe un N є , tal que si q > p
≥ N, entonces |Σan| < ε. O equivalentemente, |Sq – Sp| < ε.
Criterios de convergencia para series de términos no negativos
Teorema:supongamos que an es una sucesión de términos no negativos, es decir an≥0,
para todo n. Entonces la sucesión de sumas parciales Sn de la serie Σan es una
sucesión creciente.
Teorema: supongamos que an ≥ 0 para todo n. La serie Σan es convergente si y solo si
la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente.

7. Teorema: Criterio de comparación
Sean Σan y Σbn dos series tales que 0 ≤ an ≤bn para todo n perteneciente a los naturales.
Entonces:
1. Si Σbn converge, entonces Σan converge.
2. Si Σan no converge, entonces Σbn no converge.
Demostración:
Si Σbn converge, entonces Sn está acotada superiormente. Como sn ≤ Sn, entonces sn
está acotada superiormente, y como los términos son no negativos, an ≥ 0, obtenemos
que Σan es convergente.
Importante: demostrar la serie armónica.
Criterio de comparación por cociente
Proposición: sean Σan y Σbn con an mayor o igual que 0, y con bn > 0 para todo n. Si la
sucesión an/bn es convergente, y tiene límie L, con L > 0, entonces Σan es convergente
si y solo si la serie bn es convergente.
Demostración: como lím an/bn = L, existe N є , tal que para todo n ≤ N, L/2 <
an/bn < 3L/2.
Supongamos que Σan es convergente, 0 < Lbn/2 < an, bn < 2ªn/ L para todo n ≥ N.
Sabemos que la serie 2ªn/ L es convergente. Luego por el criterio de comparación la
suma Σbn es convergente, o equivalentemente, la serie Σbn es convergente.
Hacemos lo mismo pero para el caso contrario.
Criterio de la raíz para series de términos no negativos o de Cauchy
Sea la serie Σan con an ≥ 0 para todo n.
1. 1. Si límite n√an = L < 1, entonces la serie Σan es convergente.
2. 2. Si lím n√an = L> 1, entonces la serie no converge.
3. 3. Si lím n√an = L = 1, entonces hay que estudiar la serie en ese caso.
Demostración: tenemos que lím n√an = L < 1. Sea un r є, tal que 0 < r < 1, luego
el lím n√an < r.
Existe un N є tal que para todo n ≥ N, n√an < r. an < sn.
Como sn es una serie geométrica, con razón menor que 1, entonces es convergente.
Por el criterio de comparación, si la suma Sn es convergente, entonces Σan es
convergente.
En el caso contrario, nos encontraríamos con an > sn, y lím sn = + ∞. Luego la serie con
coverge.

8. Criterio del cociente para series de términos no negativos >0
Sea Σan una serie tal que an es positivo para todo n. Entonces:
1. 1. Si lím = L < 1, entonces la serie Σan es convergente
2. 2. Si lím = L > 1, entonces la serie no es convergente.
3. 3. Si lím = L = 1, hay que estudiar la serie en ese caso.
Demostración: sea r tal que l < r < 1. Entonces lím = L < r.
Existe un N є , tal que para todo n ≥ N, < r = < rn+1/rn, despejamos an+1/rn+1 < an/ rn para
todo n ≥ N. an/ rn es decreciente a partir del lugar N.
Luego an/ rn ≤ aN/rN para todo n ≥ N. Fijado el N. luego llamemos a aN/rN = M, entonces
tenemos an/ rn ≤ M, despejando, an≤ rnM. Luego como Σ rnM es convergente, por ser
geométrica de razón menor que 1, entonces por el criterio de comparación Σan es
convergente.
Con el punto 2, ocurre lo mismo sin embargo la serie rnM tiene a infinito, y Σan no es
convergente.
Series absolutamente convergentes. Series alternadas
Teorema: sea Σan una serie de números reales. Si Σ|an| converge, entonces la serie
Σan converge, y además |Σan| ≤ Σ|an|.
Demostración: vamos a demostrar que la serie Σan es convergente, o
equivalentemente, que cumple el criterio de Cauchy, es decir, para todo ε>0, existe n є
, tal que si q > p ≥ N, entonces |Σqp+1 an| < ε.
Fijamos ε > 0. Como la serie Σ|an| converge, entonces cumple el criterio de Cauchy.
|Σqp+1 |an|| < ε.
= Σqp+1 |an| < ε
Luego si q > p ≥ N, entonces |Σ|an|| ≤ Σ|an| < ε, como queríamos demostrar.
Por definición, Σan = Lím Sn, donde Sn = Σak. Σ|an| = lím Tn, donde Tn = Σ|ak|.
Luego |Sn| = |Σak| ≤ Σ|ak| = Tn.
Lím |Sn| = |Lím Sn| = | Σan|.
Lím |Sn| ≤ Lim Tn
| Σan| ≤ Σ|an|
Definición: decimos que la serie Σan es absolutamente convergente si la serie en
valores absolutos es convergente.
Definición: decimos que una serie Σan es condicionalmente convergente si es
convergente pero no absolutamente convergente.
Criterio de Leibniz para series alternadas
Sea an una sucesión decreciente, de números reales no negativos. Con an ≥ 0, y tal
que lím an = 0. Entonces la serie alternada Σ(-1)n es convergente, lo mismo para Σ(-
1)n+1.

9. Demostración: mirar en apuntes!!
Teorema: una serie de números reales es absolutamente convergente si y sólo si,
Σan+ y Σan– son convergentes. En ese caso, Σan = Σan+ + (- Σan–), o Σ|an| = Σan+ + Σan–.
Demostración:
supongamos que Σ|an| es convergente.
an+ + an– = |an|
an– ≤ |an| y an+ ≤ |an|. Por el creiterio de comparación para términos no negativos, nos
dice que Σan+ y Σan– son convergentes.
Supongamos ahora, para la otra implicación, que Σan+ y Σan– son convergentes. Σ|an| =
Σ(an+ + an–). Entonces Σ|an| = Σan++ Σan–. Luego Σ|an| es convergente.
Teorema:supongamos que la serie Σan es condicionalmente convergente. Entonces
Σan+ y Σan– son divergentes.
Demostración: sabemos que Σan es convergente, y Σ|an| no es convergente. Entonces,
¿son Σan+ y Σan– convergentes? Si lo fuera, an– = an+ – an, entonces Σan– es
convergente, por lo tanto Σ|an| es convergente. Contradicción.
Definición: sea Σan una serie de números naturales Y sea φ : biyectiva. Sea bn =
aφ(n). Entonces decimos que la serie de los bn es una reordenación o reordenamiento de
la serie de partida.
Teorema:si la serie Σan converge absolutamente, entonces cualquier reordenación
Σbn de ella, también es convergente absolutamente, y además Σan = Σbn.
Teorema (RIEMANN):supongamos que la serie Σan es condicionalmente convergente.
Entonces:
1. a. Existe una reordenación Σbn de la serie Σan, tal que Σbn no es convergente.
2. b. Para todo β є existe una reordenación Σbn de Σan tal que Σbn es convergente y Σbn =
β.

10. Criterio D
El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie
de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma.
Definiendo con a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si
llamamos al límite para tendiendo a infinito de se obtiene un número , con los
siguientes casos:
 Si converge.
 Si diverge.
 Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.
El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de
la siguiente manera:

11. Sea:
Tal que:
 (o sea una sucesión de términos positivos) y
 tienda a cero cuando tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
con tendiendo a infinito.
Así obtenemos y se clasifica de la siguiente manera:
 la serie converge
 la serie diverge
 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.
Series Alternadas
En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo
con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.
Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente
convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la
satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica
diverge, mientras que su versión alternada
converge al logaritmo natural de 2.
Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la
sucesión es monótona decreciente y tiende a cero, entonces la serie

12. converge.
Se puede utilizar la suma parcial
para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si es monótona decreciente y
tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que .
Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no
converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real
converge condicionalmente, entonces para todo número real existe un reordenamiento de
la serie tal que
Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:
Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesisen el primer renglón están únicamente
para mejorar la comprensión):
Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.
Convergencia Absoluta.

13. En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge
absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.
Si es una serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que
es absolutamente convergente si la serie de término general es convergente.
En este caso, la serie converge.
La convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es
verdadera.
Supongamos que converge por hipótesis y que , entonces por el Criterio
de comparación, si converge, también lo hará.
Por propiedad del Valor Absoluto, es posible considerar:
Sumamos término a término en la desigualdad:
o sea:
Se aplica miembro a miembro:

14. Pero por hipótesis, converge, entonces por el Criterio de
comparación, también lo hará. (1)
Ahora, se considera:
converge por (1).
converge por hipótesis.
Entonces converge por ser diferencia de series convergentes.
Series de potencia
una serie cuyos terminos son monomios de potencia entera,positivas y ascendentes de una variable digamos
X , de la forma :
en donde a0 a1 a2,... son independientes de X , se llama una serie de potencia X .
una serie de potencia X puede converger para todos los valores de x, o para ningun valor con excepcion de x=0
y ser divergente para otros valores.

15. Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión.
Serie Binomial
En matemáticas , la serie binomial es un caso especial de una serie de Taylor , con centro
en la función dada por , donde es un arbitrario número
complejo . Explícitamente,
y la serie binomial es la serie de potencias en el lado derecho de (1), expresado en términos de
los (generalizados)coeficientes binomiales
Casos especiales
Si α es un entero no negativo n , entonces el ( n + 2) ésima plazo y todos los términos
posteriores de la serie son 0, ya que cada uno contiene un factor ( n - n ); Así, en este caso la
serie es finito y da la algebraica fórmula binomial .
La siguiente variante tiene para el complejo arbitrario β , pero es especialmente útil para el
manejo de exponentes enteros negativos en (1):
Para demostrarlo, sustituir x = - z en (1) y aplicar una identidad coeficiente binomial.
ondiciones para la convergencia [ editar ]

16. Ya sea (1) converge depende de los valores de los números complejos α y x . Más
precisamente:
i. Si | x | <1 , la serie converge absolutamente para cualquier número complejo α.
ii. Si x = -1, la serie converge absolutamente si y sólo si , ya sea Re (α)> 0 o α = 0 .
iii. Si | x | = 1 y x ≠ -1 , la serie converge si y sólo si Re (α)> -1 .
iv. Si | x |> 1 , la serie diverge, a menos que α es un entero no negativo (en cuyo caso la serie es
finito).
Supongamos ahora que no es un número entero no negativo y que . Hacemos las
siguientes observaciones adicionales, que se derivan de los anteriores:
 Si Re (α)> 0 , la serie converge absolutamente.
 Si -1 <Re (α) ≤ 0 , la serie converge condicionalmente si x ≠ -1 y diverge si x = -1 .
 Si Re (α) ≤ -1 , la serie diverge.
Identidades para ser utilizado en la prueba [ editar ]
La siguiente suspenso por cualquier número complejo α:
A menos que α es un entero no negativo (en cuyo caso los coeficientes binomiales se
desvanecen como k es mayor que α), un útil asintótica relación para los coeficientes binomiales
es, en la notación de Landau :
Esto es esencialmente equivalente a la límite de Gauss para la función Gamma :
e implica inmediatamente los límites más gruesas

17. para algunas constantes positivos m y M , que son, de hecho, suficiente para nuestras
necesidades. Los límites más simples (5) también se pueden obtener por medio de las
desigualdades elementales (véase la adición a continuación para el último desigualdad).
Prueba
Para probar (i) y (v), aplique la prueba de la razón y el uso de la fórmula (2) anterior para mostrar
que siempre que α no es un entero no negativo, el radio de convergencia es exactamente 1.
Parte (ii) se sigue de la fórmula (5) , por comparación con la serie p-
con p = 1 + Re (α). Para probar (iii), primera fórmula uso (3) para obtener
y luego usar (ii) y la fórmula (5) de nuevo para probar la convergencia de la mano derecha
cuando Re (α)> se supone -1. Por otro lado, la serie no converge si | x | = 1 y Re (α) ≤ -1, porque
en ese caso, para todo k ,
de completar la prueba de (iii). Además, la identidad anteriormente, para x = -1 y con α + 1 en
lugar de α escrituras
donde (iv) sigue usando (5) de nuevo.