El documento explica los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para expresar proposiciones lógicas sobre conjuntos y variables. El cuantificador universal indica que una proposición es verdadera para todos los elementos de un universo, mientras que el cuantificador existencial indica que una proposición es verdadera para al menos un elemento. Se proveen ejemplos como "para todo x, x es estudiante" y "existe un x tal que x es estudiante y mujer".

1. POR Viviana María Moreno Grupo 03

2. HASTA AHORA SE HA TRABAJADO EN LA LOGICA PROPOSICIONES DE LAS CUALES SE PODIA DECIR QUE ERAN FALSAS O VERDADERAS, PERO POR EJEMPLO LA PROPOSICION X>10, ES UNA PROPOSICION DE LA CUAL NO SE PUEDE ASEGURAR NADA HASTA QUE LE ASIGNEMOS UN VALOR A LA VARIABLE X,

3. Supongamos 5, entonces 5>10, inmediatamente la proposición asume un valor de verdad. pero para hallar el valor de verdad se debe contar con un universo de referencia. Por ello cuando se encuentran fórmulas del tipo proposición dependiente de x p(x) o q(x). debemos hacerlo explícito. y decimos que p(x) es universal y verdadera y lo denotamos por  x:p(x), y se lee para todo x, es verdad si se cumple que para todo reemplazo de x por un elemento de X, en p(x), p(x) es Verdadero. El cuantificador universal indica que lo que se escriba a su derecha es verdadero para todo valor de la variable que lo acompaña.

4. Ejemplos: P(x)=x/x pertenece a la universidad del Quindío  x:p(x)=“Para todo x, x es estudiante de la universidad del Quindío P(x):x/x profesor de la universidad  x:p(x)=“Para todo x, x es profesor de la universidad del Quindío p(x)=x/x es estudiante de la universidad del Quindío q(x):x/x es mayor de 30 años Todos los estudiantes de la universidad mayores de 30  x:p(x)  q(x)=“Para todo x, x es estudiante y es mayor de 30 años El valor de Verdad de  x:p(x) depende totalmente del universo en que se dé como en nuestro caso que es la Universidad.

5. Si una proposición tipo  x:p(x) no es verdadera, debe existir un elemento (y) en el universo, tal que p(y) tenga el valor de F o que ~(p(y)) sea V, lo que se puede afirmar es que Existe un x tal que ~p(x) es verdadera. Esta frase es “Existe un x tal que no p(x) “ y Se simboliza  x:~P(x). En general ~p(x)=q(x) obtenemos:  x:q(x) Su valor de verdad es V si existe un remplazo para x en el universo, para el cual q(x) es una proposici ó n verdadera. De otra manera x, q(x) tiene el valor de verdad F. El cuantificador existencial indica que todas las funciones proposicionales que se escriben a su derecha se verifica para por lo menos un valor considerado para la variable o variables de la función proposicional

6. Ejemplos: q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío r(x)=x/x es mujer Existen estudiantes de la universidad del Quindío que son mujeres  x:q(x)  r(x) q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío r(x)=x/x estudia lógica Existen estudiantes de la universidad que estudian lógica  x:q(x)  r(x) q(x)=x/x estudia lógica r(x)=x/x gana el curso de lógica Existen estudiantes que si estudian lógica, ganan el curso.  x:q(x)  r(x)

7. Cuando sólo hay un elemento en el conjunto que cumple con la proposición se escribe  !x:p(x), se lee existe un único x tal que p(x) es verdadero. Ejemplo: P(x):x/x es rector de la universidad del Quindío Existe un único rector en la universidad del Quindío.  !x:p(x): Existe un único x tal que x es rector de la Universidad del Quindío(Gundizalbo)

8. Ejemplos: P(x):x/x es profesor de lógica de la universidad del Quindío Existe un único profesor que dicta lógica en la universidad del Quindío.  !x:p(x): Existe un único x tal que x es profesor de lógica de la U. del Quindío(Julio César) P(x):x/x es mujer Q(x)=x/x es estudiante de lógica R(x)=x/x tiene mas de 4 hijos Existe una única mujer estudiante de lógica que tiene más de 3 hijos.  !x:p(x)  q(x)  r(x): Existe un único x tal que x es mujer estudiante de lógica y tiene 3 hijos

9. Clase Denominación esquema Expresión ejemplo A Universal afirmativo Todo S es P Todos los hombres son mortales E Universal Negativo Ningún S es P Ningún hombre es mortal I Particular afirmativo Algún s es P Algún hombre es mortal O Particular negativo Algún s no es P Algún hombre es no mortal símbolo  s  p ~  s  p  s  p  !~( s  p)

10. . ∀ x , P ( x ) es verdadera si para cada x en el Universo P ( x ) es cierta. . ∃ x , P ( x ) es verdadera si hay alg ú n x en el universo para el que P ( x ) es cierta. Basta un sólo valor. . ∀ x , P ( x ) es falsa si hay un valor de x en el Universo para el que P ( x ) es falsa. Basta un sólo valor. . ∃ x , P ( x ) es falsa si para cada x en el Universo es falsa.

11. Los cuantificadores se pueden aplicar a varios campos de las matemáticas y una de ellas son los conjuntos. Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B: A: conjunto salón de clase de lógica B: conjunto estudiantes de lógica mujeres

12.  x:x  A  x  B Todo elemento x de A pertenece a B: Por que todas las mujeres están inscritas en el curso de lógica.

13. Si A es subconjunto de B y A  B tenemos que A: conjunto de estudiantes de lógica B: conjunto de hombres que estudian lógica existe al menos un elemento x de B que pertenece a A: ∃ x : x  A  x  B  x:x  A  x  B Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento de B que no pertenece a A:

14. Estos elementos son los hombres, pues ellos pertenecen a B pero no pertenecen a A.

15. Cuantificadores Universal y Existencial. Tomado de www.Wapedia.com (28 abril 2010) Takeyas López Bruno. Ejemplos de cuantificadores universales y Existenciales(parte libro L ó gica para ingenieros). Tomado de www.scribde.com (28 abril 2010) Curso de lógica (Cuantificadores). Tomado de www.netfirms.com (27 abril 2010) Lógica o pensamiento científico. Tomado de www.monografias.com (27 abril de 2010)