Este documento discute los cuantificadores universal y existencial. El cuantificador universal indica que una proposición es verdadera para todos los valores de una variable, mientras que el cuantificador existencial indica que una proposición es verdadera para al menos un valor. Se proveen ejemplos de cómo usar estos cuantificadores con conjuntos y diagramas de Venn. Finalmente, se discuten las expresiones lógicas para indicar que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B y que al menos un elemento de un conjunto B pertenece a un conjunto A.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN PUNTO FIJO
CUANTIFICADORES
Carrera: Informática
Profesor: Domingo Méndez
Alumno: Jose Chirinos
C.I: 25.010.059

2. Cuantificadores
Hasta ahora se ha trabajado en la lógica proposiciones de la cuales se podía decir
que eran falsas o verdaderas, pero por ejemplo la proposición x >10, es una
proposición de la cual no se puede asegurar nada hasta que la asignemos un
valor a la variable x,
Cuantificador universal
Supongamos 5, entonces 5>10, inmediatamente la proposición asume un valor de
verdad. Pero para hallar el valor de verdad se debe contar con un universo de
referencia. Por ello cuando se encuentran formulas del tipo propensiones
dependiente a de x p (x) o q (X). debemos hacerlo explícito. Y decimos que p(x) o
q(x). debemos hacerlo explícito y decimos que p(x), es universal y verdadera y lo
denotamos por x:p(x), y se lee para todo x, es verdad si se cumple que, para todo
reemplazo de x por un elemento de X, en p(x), p(x) es Verdadero.
El cuantificador universal indica que lo que se escriba a su derecha es verdadero para
todo valor de la variable que lo acompaña.
Ejemplos:
 P(x)=x/x pertenece a la universidad del Quindío
 x:p(x)=” Para todo x,x es profesor de la universidad del Quindío
 P(x):x/x profesor de la universidad
  x:p(x)” Para todo x,x es profesor de la universidad del Quindío
 P(x)=x/x es estudiante de la universidad del Quindío
 Q(x):x/x es mayor de 30 años
Todos los estudiantes de la universidad mayores de 30
  x:p(x)q(x)= “Para todo x,x es estudiante y es mayor de 30 años
El valor de Verdad de x:p(x) depende totalmente del universo en que se dé como en
nuestro caso que es la universidad.
Cuantificadores Existentes
 Si una proposición tipo x:p(x) no es verdadera, debe existir un elemento (y) en el
universo, tal que
p(y) tenga el valor de F o que ~(p(y)) sea V, lo que se puede afirmar es que Existe
un x tal que ~p(x)es verdadera. Esta frase es “Existe un x tal que no p(x) “y Se
simbolizax: ~P(x). En general ~p(x)=q(x) obtenemos x: q(x)

3. Su valor de verdad es V si existe un remplazo para x en el universo, para el cual q(x)
es una proposición ó n verdadera. De otra manera x, q(x) tiene el valor de verdad F.
El cuantificador existencial indica que todas las funciones proposicionales que se
escriben a su derecha se verifica para por lo menos un valor considerado para la
variable o variables de la función proposicional
Ejemplos:
 q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío
 r(x)=x/x es mujer
 Existen estudiantes de la universidad del Quindío que son mujeres
 x:q(x)r(x)
 q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío
 r(x)=x/x estudia lógica
 Existen estudiantes de la universidad que estudian lógica
 x:q(x)r(x
 q(x)=x/x estudia lógica
 r(x)=x/x gana el curso de lógica
 Existen estudiantes que, si estudian lógica, ganan el curso.
 x: q(x)r(x)
Existencial de Unicidad
 Cuando sólo hay un elemento en el conjunto que cumple con la proposición se
escribe !x:p(x), se lee existe un único x tal que p(x) es verdadero.
Ejemplo:
 P(x):x/x es rector de la universidad del Quindío
 Existe un único rector en la universidad del Quindío.
 !x:p(x): Existe un único x tal que x es rector de la Universidad del
Quindío(Gundizalbo)
Ejemplos:
 P(x):x/x es profesor de lógica de la universidad del Quindío
 Existe un único profesor que dicta lógica en la universidad del Quindío.

4.  !x:p(x): Existe un único x tal que x es profesor de lógica de la U. del Quindío (Julio
César)
 P(x):x/x es mujer
 Q(x)=x/x es estudiante de lógica
 R(x)=x/x tiene más de 4 hijos
 Existe una única mujer estudiante de lógica que tiene más de 3 hijos.
 !x:p(x) q(x) r(x): Existe un único x tal que x es mujer estudiante de lógica y
tiene 3 hijos
Diagramas de ven y cuantificador universal
Los cuantificadores se pueden aplicar a varios campos de las matemáticas y una de ellas
son los conjuntos.
Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:
A: conjunto salón de clase de lógica
B: conjunto estudiantes de lógica mujeres
RESUMEN
Clase Denominación Esquema Expresión Ejemplo Símbolo
A Universal
afirmativo
Todo s esp Todoslos hombres
son mortales
s p
E Universal Negativo NingúnSes p Ningúnhombre es
mortal
s p
I Particular
afirmativo
Algúns esp Algúnhombre es
mortal
sp
O Particular
Negativo
Algúns noes p Algúnhombre noes
mortal
sp
VALOR DE VERDAD
o x,P (x) es verdadera si cada x en el Universo P(x) es cierta
o xP (x) es verdadera si algún x en el Universo para el que P(x) es cierta.
Basta un solo valor
o x, P (x) es falsa si hay un valor de x en el universo para el que P(x) es falsa.
Basta un solo valor
o xP (x) es falsa si para cada x en el Universo es falsa

5. DIAGRAMAS DE VEN Y CUANTIFICADOR UNIVERSAL
o Los cuantificadores se pueden aplicar a varios campos de las matemáticas y una
de ellas son los conjuntos
o Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es subconjunto de B:
o A conjunto salón de clase de lógica
o B conjunto estudiantes de lógica mujeres

x: x Ax
Todo el elemento x de A pertenece a B:
Porque todas las mujeres están inscritas en el curso de lógica
EXISTENCIAL Y CONJUNTOS
o
o A: conjunto de estudiantes de lógica
o B: conjunto de hombres que estudian lógica
o existe al menos un elemento x de B que pertenece a
A:
 ∃ x : x Ax B
x:x A x B
o Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir
que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos,
existe al menos un elemento de B que no pertenece a A:
B
A
A
A
clase
lógica
Mujeresen
clase lógica
U

6. o Estos elementos son los hombres pues ellos pertenecen a B, pero no pertenecen a
A
Mujeresen
clase lógica
A
A
A
U
clase
lógica
B