El documento explica los conceptos de tautología, contradicción y contingencia en lógica proposicional. Define una tautología como una proposición siempre verdadera para cualquier combinación de valores de verdad de sus componentes. Explica las tablas de verdad y las leyes lógicas como la doble negación y la distribución. Finalmente, describe la implicación como una condicional siempre tautológica y pide al lector resolver ejercicios de tablas de verdad y transformación de proposiciones.

1. Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
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Sesión Nº 12
TAUTOLOGÍA
Es toda proposición simple o compuesta, cuyo valor de verdad es
siempre verdadero.
Ejemplo: La tabla se representa:
[ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ∼∼∼∼p
p q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) [ ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] →→→→ ~p
V V V F V F
V F F F V F
F V V F V V
F F V V V V
CONTRADICCIÓN: Es toda proposición que resulta siempre falsa, para
todas las combinaciones de sus valores de verdad de sus
componentes.
Ejemplo: Hallar la tabla de verdad
[ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q
CONTINGENCIA:Cuando la proposición compuesta contiene al menos
uno verdadero o al menos uno falso.
COMBINACIONES DE PROPOSICIONES: Cuando se tienen dos
proposiciones, se pueden obtener cuatro combinaciones posibles
(22
) y cuando se tienen tres proposiciones, se obtiene ocho
combinaciones (23
) y así sucesivamente, tal como se muestra:
p q ( p ∧∧∧∧ q ) [ ( p ∧∧∧∧ q ) ∨∨∨∨ q ] ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q
V V V V F F
V F F F F V
F V F V F F
F F F F F V

2. Matemática y Lógica
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Nº PROPOSICIONES COMBINACIONES
2 22 = 4
3 23 = 8
4 24 = 16
5 25 = 32
6 26 = 64
El exponente representa el número de proposiciones
Para el caso de tres proposiciones, se tiene:
PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dos proposiciones p y q
se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se
denota: p q
Ejemplo: Sea p q, y su tabla de verdad:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Ahora bien, si analizamos la proposición ~ p ∨∨∨∨ q, su tabla de verdad
resulta:
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

3. Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng
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p q ~ p ∨∨∨∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que
ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que
ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, su tabla de verdad es
una tautología y en este caso particular lo simbolizamos:
(p q) (~ p ∨∨∨∨ q)
Formulamos la siguiente pregunta:
¿Cuándo dos expresiones son lógicamente equivalentes?
Las afirmaciones que son lógicamente equivalentes, pueden sustituirse unas
con otras sin afectar sus valores de verdad.
Puesto que las equivalencias lógicas son tautologías, pueden transformarse
en esquemas y utilizarse como tales.
Consideremos dos afirmaciones:
La sesión de clase está bien escrita y bien documentada.
La sesión de clase está bien documentada y bien escrita.
Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes.
p: La sesión de clase está bien escrita.
q: La sesión de clase está bien documentada.
( ) ( )p q q p∧ ⇔ ∧
Consideremos dos afirmaciones:
No es verdad que pedro esté bien informado y sea honrado.
Pedro o no está bien informado o no es honrado.

4. Matemática y Lógica
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Las dos oraciones anteriores son lógicamente equivalentes.
p: Pedro está bien informado.
q: Pedro es honrado.
Se puede expresar como:
( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬
Leyes del Álgebra Proposicional.
Como se mencionó anteriormente, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser
siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de
sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo
proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya
demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de
verdad, a saber:
Doble Negación
~ (~ p) ⇔⇔⇔⇔ p (se lee "no, no p, equivale a p")
Idempotencia
(p ∧∧∧∧ p) ⇔⇔⇔⇔ p
(p ∨∨∨∨ p) ⇔⇔⇔⇔ p
Conmutatividad
a) De la disyunción: (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∨∨∨∨ p)
b) De la conjunción: (p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (q ∧∧∧∧ p)
Asociatividad
a) De la disyunción: [(p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)]
b) De la conjunción: [(p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ r] ⇔⇔⇔⇔ [p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r)]
Distributividad:
De la conjunción respecto de la disyunción:
Usar las tablas de verdad y
comprobar las tautologías

5. Matemática y Lógica
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[ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨
De la disyunción respecto de la conjunción:
[ ] [ ]( ) ( ) (p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧
Leyes de De Morgan:
"La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"
~ (p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (~ p ∧∧∧∧ ~ q)
"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"
~ ( p ∧∧∧∧ q ) ⇔⇔⇔⇔ ( ~ p ∨∨∨∨ ~ q )
Ley del Tercio excluido.
( )p p V∨ ¬ ⇔
Ley de Contradicción.
( )p p F∧ ¬ ⇔
“Las equivalencias lógicas se utilizan en la simplificación de proposiciones
compuestas”.
IMPLICACIÓN: Es toda condicional que resulta siempre tautológica.
Ejemplo: Halla la tabla de verdad de: [(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p
p q ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ( ∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p
V V V F V F
V F F F V F
F V V F V V
F F V V V V
Si: p →→→→ q es una tautología, se dice que p implica lógicamente a q y
se escribe: p ⇒⇒⇒⇒ q

6. Matemática y Lógica
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Como se puede observar su tabla de verdad es una tautología, por lo que
podemos afirmar que:
[(∼∼∼∼p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q] IMPLICA A ∼∼∼∼p
Es decir su tabla de verdad es tautológica.
Las implicaciones lógicas son razonamientos tautológicos.
AUTOEVALUACION
01. p ⇒⇒⇒⇒ (p ∨∨∨∨ q) LEY DE ADICIÓN
02. (p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ p LEY DE SIMPLIFICACIÓN
03. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ p] ⇒⇒⇒⇒ q LEY DEL MODUS PONENS
04. [ ( p →→→→ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q ] ⇒⇒⇒⇒ ∼∼∼∼p LEY DEL MODUS TOLLENS
05. [ ( p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼p ] ⇒⇒⇒⇒ q SILOGISMO DISYUNTIVO
06. [(p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q→→→→r)] ⇒⇒⇒⇒ (p →→→→ r) LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO
En general si: P implica a Q entonces su valor de verdad es
una tautología
Utilizar las tablas de verdad y comprobar estas tautologías

7. Matemática y Lógica
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AUTOEVALUCIÓN
A .Hallar la Tabla de Verdad de las proposiciones compuestas:
1) (p q) ∨∨∨∨ ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q)
2) ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q) (p ∨∨∨∨ q)
3) [p →→→→ ∼∼∼∼ (p ∨∨∨∨ q)]
4) (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ q) →→→→ r
5) (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ ∼∼∼∼ q
B) Transformar las siguientes proposiciones en condicionales:
Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos.
Sócrates fue un filósofo griego y Pelé un jugador de fútbol.
El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la
tierra.
C) Transformar las siguientes proposiciones en bicondicionales:
Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2.
O bien nueve es un cuadrado perfecto o bien es un número par.
Si 9 + 8 = 17 , entonces 8 < 17
O Lima es la capital del Perú o Roma está en Francia.
D) Transformar las siguientes proposiciones en disyuntivas
exclusivas:
Si Andrés se gradúa de Ingeniero, entonces estudiará Doctorado en Francia.
Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos.
El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la
tierra.
Un número es par, si y sólo si es divisible entre 2.
Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2.
Fin de la Sesión