Este documento presenta un ejemplo de programación lineal para maximizar las ganancias de una planta industrial que fabrica dos artículos utilizando tres máquinas. Se explica el proceso de analizar la información dada, organizarla en una tabla, establecer las restricciones basadas en los recursos disponibles, y trazar las gráficas de las desigualdades para determinar la región factible de soluciones óptimas. El objetivo es determinar la cantidad máxima de cada artículo que debe fabricarse para obtener la ganancia total más alta.

1. Ejemplo 1 G. Edgar Mata Ortiz
Investigación de Operaciones

3. Programación Lineal: Ejemplo 1
¿Qué es programación lineal?
Es un método para obtener un resultado óptimo
con base en un modelo matemático en el que
todas las relaciones entre variables y constantes
pueden expresarse linealmente.

4. Ejemplo 1: Primera Parte
Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y
M3 para fabricar dos artículos A1 y A2.
Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la
máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3;
para el producto A2 hace falta una hora en la máquina
M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.
M2
M3M1

5. Ejemplo 1: Segunda Parte
Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la
M2 y 480 en la M3.
La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es
de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40.
¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para
que la ganancia sea la máxima posible?

6. Ejemplo 1: Análisis de la Información
Después de una lectura superficial del problema es
necesario leerlo nuevamente con mayor atención.
En la segunda lectura trataremos de organizar la
información.
En las siguientes diapositivas se emplean colores para
visualizar cómo se organizará la información.
Azul: M1 Rojo: M2 Verde: M3

7. Ejemplo 1: Análisis de la Información
Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y
M3 para fabricar dos artículos A1 y A2.
Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la
máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3;
para el producto A2 hace falta una hora en la máquina
M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.

8. Ejemplo 1: Análisis de la Información
Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la
M2 y 480 en la M3.
La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es
de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40.
¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para
que la ganancia sea la máxima posible?

9. Ejemplo 1: Segunda parte
Para el planteamiento generalmente se emplea una
tabla en la que se sintetizan los datos de modo que sea
más fácil visualizar las relaciones entre las variables y
las constantes.

10. Ejemplo 1: Segunda parte

11. Ejemplo 1: Segunda parte
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo
A1
Artículo
A2
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1
Máquina M2
Máquina M3
Ganancia

12. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo
A1
Artículo
A2
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2
Máquina M3
Ganancia

13. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo
A1
Artículo
A2
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3
Ganancia

14. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo
A1
Artículo
A2
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia

15. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo
A1
Artículo
A2
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40

16. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo
A1
Artículo
A2
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar

17. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo A1
x
Artículo A2
y
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar

18. Ejemplo 1: Planteamiento
¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse
para que la ganancia sea la máxima posible?
Identificaremos mediante incógnitas las
cantidades de cada artículo que se debe fabricar
Cantidad de piezas de A1 = x
Cantidad de piezas de A2 = y

19. Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo A1
x
Artículo A2
y
Disponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar
Número de piezas
del artículo A1 que
se van a fabricar
Número de piezas
del artículo A2 que
se van a fabricar

20. Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
La suma de los recursos utilizados para fabricar los artículos
A1 y A2 no deben ser mayores a los recursos disponibles.
Aplicando una restricción similar en cada máquina,
obtendremos las tres desigualdades que constituyen el
modelo matemático del problema.
M1: Restricción 1
M2: Restricción 2
M3: Restricción 3

21. Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
Para la máquina M1, se obtiene la inecuación 1.
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎

22. Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
Para la máquina M2, se obtiene la inecuación 2.
1𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎

23. Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
En resumen, las desigualdades son:
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎
1𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 ≤ 𝟒𝟖𝟎
Productos o Artículos
Recursos
necesarios
Artículo A1
x
Artículo A2
y
Disponibilidad
de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar

24. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 1: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝒙 = 𝟎, 𝟐 𝟎 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝒚 =
𝟏𝟖𝟎
𝟏
𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:
(𝟎, 𝟏𝟖𝟎)

25. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 1: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
y= 𝟎, 𝟐𝒙 + 𝟏(𝟎) = 𝟏𝟖𝟎
𝟐𝒙 = 𝟏𝟖𝟎
𝐱 =
𝟏𝟖𝟎
𝟐
𝐱 = 𝟗𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:
(𝟗𝟎, 𝟎)

26. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 2: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝒙 = 𝟎, 𝟏 𝟎 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝒚 =
𝟏𝟏𝟎
𝟏
𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:
(𝟎, 𝟏𝟏𝟎)

27. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 2: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝐲 = 𝟎, 𝟏𝒙 + 𝟏(𝟎) = 𝟏𝟏𝟎
𝟏𝒙 = 𝟏𝟏𝟎
𝐱 =
𝟏𝟏𝟎
𝟏
𝐱 = 𝟏𝟏𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:
(𝟏𝟏𝟎, 𝟎)

28. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 3: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝒙 = 𝟎, 𝟑 𝟎 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝒚 =
𝟒𝟖𝟎
𝟓
𝒚 = 𝟗𝟔
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:
(𝟎, 𝟗𝟔)

29. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 3: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝐲 = 𝟎, 𝟑𝒙 + 𝟓(𝟎) = 𝟒𝟖𝟎
𝟑𝒙 = 𝟒𝟖𝟎
𝐱 =
𝟒𝟖𝟎
𝟑
𝐱 = 𝟏𝟔𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:
(𝟏𝟔𝟎, 𝟎)

30. Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
Puntos obtenidos en las tabulaciones
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝟎, 𝟏𝟖𝟎
(𝟗𝟎, 𝟎)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝟎, 𝟗𝟔
(𝟏𝟔𝟎, 𝟎)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐
𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝟎, 𝟏𝟏𝟎
(𝟏𝟏𝟎, 𝟎)

31. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎: 𝟎, 𝟏𝟖𝟎 − (𝟗𝟎, 𝟎)
Esta es la gráfica de la ecuación.
No olvidemos que la desigualdad
incluye uno de los dos lados en
los que la recta divide al plano
cartesiano.

32. Ejemplo 1: Trazar las gráficas
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎: 𝟎, 𝟏𝟏𝟎 − (𝟏𝟏𝟎, 𝟎)
Para saber cuál lado de la desigualdad
pertenece a la solución se toma un
punto cualquiera del plano,
generalmente el origen, y se sustituye
en la desigualdad que se desea
resolver.

33. Ejemplo 1: Gráfica con las tres rectas

34. Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎
𝟐 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎
𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎
El resultado final es verdadero;
cero es menor que 180, por lo
tanto la gráfica incluye los
puntos que están del mismo
lado que el origen.

35. Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎
𝟐 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎
𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎
El resultado final es verdadero;
cero es menor que 180, por lo
tanto la gráfica incluye los
puntos que están del mismo
lado que el origen.

36. Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 2 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
El resultado final es verdadero;
cero es menor que 110, por lo
tanto la gráfica incluye los
puntos que están del mismo
lado que el origen.
𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎
𝟏 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎
𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎

37. Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 3 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
El resultado final es verdadero;
cero es menor que 480, por lo
tanto la gráfica incluye los
puntos que están del mismo
lado que el origen.
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 ≤ 𝟒𝟖𝟎
𝟑 𝟎 + 𝟓 𝟎 ≤ 𝟒𝟖𝟎
𝟎 ≤ 𝟒𝟖𝟎

38. Ejemplo 1: Gráficas con las 3 desigualdades
La intersección de estas tres
áreas recibe el nombre de:
“Área de Soluciones factibles”.
En la siguiente diapositiva se
señala con mayor claridad.

39. Ejemplo 1: Área de soluciones factibles
Se muestra, sombreada, el área
de soluciones factibles.
Es posible demostrar que la
solución óptima se encuentra
en uno de los vértices de dicha
área.

40. Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
El siguiente paso es determinar
las coordenadas de los vértices.
Aunque es posible aplicar el
método gráfico, es preferible
recurrir a algún método
analítico.

41. Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
El siguiente paso es determinar
las coordenadas de los vértices.
Aunque es posible aplicar el
método gráfico, es preferible
recurrir a algún método
analítico.

42. Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
Generalmente algunos de los
vértices se conocen desde las
tabulaciones empleadas para
graficar.
En este caso los vértices A, B y C.

43. Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
Las coordenadas de los
vértices D y E se determinan
por cualquier método
analítico o del álgebra lineal:
reducción, sustitución,
igualación, Cramer, Gauss,
Gauss – Jordan, entre muchos
otros.

44. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
El siguiente paso es sustituir en la función objetivo las
coordenadas de cada vértice del área de soluciones factibles.
Función Objetivo:
Maximizar: z = 50x + 40y
Dado que se desea maximizar la ganancia, el vértice que
arroje el mayor valor, será la solución del problema.
Cuando se trata de minimizar costos se elegirá el vértice que
arroje el menor valor.

45. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96)
B(0, 0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)

46. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96)
B(0, 0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)

47. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)

48. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)

49. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)

50. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)

51. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0
D(70, 40)
E(35, 75)

52. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0)
D(70, 40)
E(35, 75)

53. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40)
E(35, 75)

54. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40
E(35, 75)

55. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40)
E(35, 75)

56. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75)

57. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75

58. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75)

59. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750

60. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Se toma el vértice que maximiza la función objetivo

61. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Se toma el vértice que maximiza la función objetivo

62. Ejemplo 1:
Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Se toma el vértice que maximiza la función objetivo

63. Solución del Ejemplo 1
La solución, según el modelo empleado consiste
en fabricar:
70 piezas del artículo A1
40 piezas del artículo A2
Obteniendo una ganancia de $5,100.

64. Por su atención
Gracias
Fuentes de información en línea:
http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
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