Este documento resume conceptos clave de la geoestadística para exploraciones, incluyendo definiciones de términos como heterogeneidad constitucional, error fundamental de muestreo, y factores que afectan la heterogeneidad como el factor de forma, factor granulométrico y factor mineralógico. También explica diferentes tipos de errores como los errores de delimitación e extracción de incrementos y cómo estos errores pueden minimizarse siguiendo protocolos de muestreo adecuados.

1. 1
GEOESTADÍSTICA PARA
EXPLORACIONES
ProEXPLO 2013
Instituto de Ingenieros de Minas del Perú
Lima, Perú
17 y 18 de Mayo, 2013
Mario E. Rossi, MSc. Geoestadística, Ing. de Minas.
GeoSystems International, Inc.

2. 2
BREVE RESUMEN DE LA TEORIA DEL
MUESTREO: INTRODUCCIÓN
 Toda muestra entonces lleva un error. Es medida en
un porcentaje muy pequeño de la muestra original,
que a su vez se supone representa un volumen
mucho mayor!
 Los errores siempre ocurren; la clave es como se
manejan, lo que requiere diferenciación y
cuantificación.
 Recordar precisión y certeza: repetibilidad y
exactitud.

3. 3
ERRORES (1)
 Hay dos tipos de errores básicos:
 El primero se debe a características propias del material.
Por ejemplo, la mineralización de Au es mas heterogénea
que la de Cu.
 El segundo tipo surge de los procedimientos de muestreo,
preparación de la muestra, y el análisis químico.
 También existe el error de representatividad espacial. La
aglomeración de las perforaciones de exploración y de las
muestras metalúrgicas. Representan todos los tipos de
mineralización que existe en el yacimiento?

4. 4
ERRORES (2)
 Los errores pueden ser aleatorios, con una media de
0 (sin sesgo).
 También pueden ser aleatorios con media diferente
de cero (con sesgo).
 Pueden ser sistemáticos (no aleatorios);
generalmente la media no es cero.
 Pueden también ser ocasionales o accidentales, a
veces difíciles de rastrear, y no repetitivos, sean
aleatorios o no.

5. 5
DEFINICIONES (1)
 Componente: Elemento de interés en el lote. Normalmente un contenido
mineral, pero puede ser también humedad, porcentaje de finos, dureza, o
cualquier otra propiedad del lote que debe ser medida.
 Contenido Crítico, a: Proporción de un componente que debe ser estimado;
el contenido crítico de un lote es aL, de una muestra es aS, etc.
 Tamaño del Fragmento dα(cm): Tamaño real del fragmento, pero a veces
también el tamaño promedio de un grupo de fragmentos dentro del
incremento α.
Critical Content a
Weight of critical component in lot L
Weight of all components in lot L
L =

6. 6
DEFINICIONES (2)
 Heterogeneidad: No todos los fragmentos de lote son idénticos.
Hay dos tipos de heterogeneidad:
 Heterogeneidad Constitucional (CH): son las diferencias entre la
composición de cada fragmento dentro del lote. Los factores que
se deben considerar son: tamaño, forma, densidad, composición
química, y composición mineralógica del fragmento. Este tipo de
heterogeneidad genera el error fundamental de muestreo.
 Heterogeneidad Distribucional (DH): son las diferencias de un
grupo a otro dentro del lote. Los factores que contribuyen,
además de la CH, son la distribución espacial, la forma del lote o
subgrupos debido a la gravedad, etc.

7. 7
DEFINICIONES (3)
 Incremento, I: Un grupo de fragmentos extraídos de un lote, en
una operación única, utilizando un aparato o método de
muestreo específico.
 Lote, L: Material del cual incrementos (o muestras) son
seleccionadas. Este es un “batch”, como una bolsa, camión,
vagoneta de mina, vagón de tren, etc.
 Tamaño nominal del fragmento, d (cm): Tamaño de fragmento
máximo en el lote, usualmente definido como el tamaño de
malla cuadrado (pasante 95%).

8. 8
DEFINICIONES (4)
 Selección Probabilística: El proceso de selección incluye una
componente aleatoria. La selección perfecta probabilística es una
distribución uniforme para todas las unidades dentro del lote, y
probabilidad cero si no pertenece al lote. Muestreo manual
generalmente no es probabilístico; buen ejemplo de cómo no
muestrear.
 Muestra: Una muestra es el agrupamiento de varios incrementos, y
representa el lote. Submuestras (también llamadas muestras) se
obtienen extrayendo porciones de la muestra original.

9. 9
DEFINICIONES (5)
 Protocolo de Muestreo: Una serie de procedimientos bien definidos y
específicos para el muestreo, la preparación, y el análisis de la
muestra. Normalmente se intenta optimizar para minimizar los errores
de muestreo, y debe ser específico para cada elemento y depósito.
 Espécimen: Una mala muestra. No es representativa, no se ha
extraído utilizando reglas de delimitación y extracción aceptada.

10. 10
TIPOS DE ERROR (1)
 Error Fundamental (EF): No puede ser eliminada por medio de un
muestreo perfecto. Es función de la heterogeneidad constitucional (CH)
y puede ser estimado antes del muestrear. Los errores que genera
(asumiendo un muestreo perfecto) es aleatoria con una media de 0.
 Error de Delimitación del Incremento (DE): La forma del volumen a
partir del cual se toma el incremento no es la correcta. Por ejemplo, no
tomar la sección completa en una cinta transportadora, o un cono de
detrito de pozo de tronadura. Los errores tienden a ser aleatorios, con
medias diferente de cero (con sesgo).

11. 11
TIPOS DE ERROR (2)
 Error de Extracción del Incremento (EE): No todos los fragmentos
que pertenecen al incremento son tomados. Los errores tienden a ser
aleatorios con una media diferente de cero.
 Estos últimos dos tipos de errores se pueden eliminar (o minimizar)
utilizando procedimientos adecuados (óptimos) de muestreo.
 Los errores accidentales pueden ser críticos, pero no pueden ser
analizados estadísticamente por no ser aleatorios. Solamente la
supervisión de la correcta implementación de los debidos
procedimientos pueden eliminar estos errores.

12. 12
TIPOS DE ERROR (3)
 Los errores se interpretan como Variables Aleatorias,
y se asumen independientes. Por lo tanto, los errores
son cumulativos:
Error Total de Muestreo (TE) FE DE EE ...= + + +
{ } { } { } { }E TE E FE E DE + E EE ...= + +
{ } { } { } { }σ σ σ σ2 2 2 2
TE FE DE + EE ...= + +

13. 13
TIPOS DE ERROR (4)
 Combinando los conceptos de precisión y certeza,
es posible definir:
O sea, si el error de muestreo es menor a un estándar pre-
establecido, la muestra puede ser considerada representativa.
{ } { } { }r SE m SE s SE r2 2 2
o
2
= + ≤

14. 14
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (1)
 El CH genera el Error Fundamental de Muestreo
(FSE).
 Heterogeneidad es proporcional a la diferencia entre
el contenido crítico de un fragmento (ai) y el
contenido crítico del lote (aL):
hi ∝
−( )a a
a
i L
L

15. 15
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (2)
 La varianza del CH se define como:
La que también se llama el CHL del Lote. NF es el número de
fragmentos en el lote, y Mi y ML son las masas promedio del
fragmento y del lote, respectivamente.
CHL = =
− ⋅
⋅
∑σ 2
2 2
2 2
( )
( )
h N
a a M
a M
i F
i L i
L Li

16. 16
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (3)
 Pero como no podemos contar todos los
fragmentos, definimos la Heterogeneidad
Intrínseca (IHL):
Este es un factor constante de CH, con unidades de masa.
IH
CH
L=
L M
N
a a M
a M
L
F
i L i
L Li
=
− ⋅
⋅
∑
( )2 2
2

17. 17
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (4)
 En la práctica se introducen varios conceptos
adicionales y simplificaciones para obtener
IHL.
 El desarrollo completo para llegar a la
fórmula final de IHL se la puede encontrar en
el libro de F. Pitard’s.

18. 18
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (5)
 Las suposiciones básicas son:
1. Hay generalmente una fuerte correlación entre el
contenido crítico del fragmento y su densidad; pero
hay una menor correlación entre el contenido crítico
del fragmento y su tamaño.
2. Lo mismo se pueden extender a las fracciones, dado
que el contenido crítico varía mas de una densidad
de fracción a la otra, que de un tamaño al otro. Por
lo tanto, los valores individuales del contenido crítico
pueden ser reemplazados por el valor promedio del
contenido crítico de la fracción de densidad.

19. 19
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (6)
3. La razón de las masas de las fracciones
dentro del lote a la masa total del lote no
varía mucho de una fracción de densidad a
otra. Por lo tanto, se puede utilizar una
razón promedio.

20. 20
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (7)
 Se puede escribir IHL entonces como:
Donde vα y β son el volumen y densidad de la fracción, aβ y aL
son los contenidos críticos de la fracción y del lote, y MLβ y ML
las masas correspondientes.
IHL=
v M
M
a a M
a M
L
L
L L
LL
α α
α
β
β β
β
λ
⋅







− ⋅
⋅







∑ ∑
( )2
2

21. 21
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL:
FACTOR DE FORMA (8)
 El factor de forma f es una medida de la
desviación del fragmento de la forma cúbica
perfecta. Si los fragmentos son todos cubos
perfectos, entonces fα=1.
 El volumen vα es entonces fα*d3. Si los
fragmentos son todas esferas, el volumen de
la esfera es 4/3*π*r3; para un radio r=1,
fα=0.523.

22. 22
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL:
FACTOR DE FORMA (9)
 El factor de forma f es a-dimensional y determinado
experimentalmente, con la mayoría de sus valores
cerca de 0.5. Hay excepciones notables, como
minerales escamosos como la mica, con f≈0.1;
pepitas de oro (sólidos blandos), f≈0.2; minerales
aciculares (como asbestos), con f>1 y hasta f≈10.0.
 El factor de forma f es relativamente constante para
distintas fracciones de tamaño, tal que fα=f.

23. 23
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL:
FACTOR GRANULOMÉTRICO (10)
 El factor granulométrico g es una medida de las
variaciones (rango) de los tamaños de fragmentos en
la muestra. Junto con el tamaño nominal del
fragmento d, g se utiliza para tomar en cuenta la
distribución de tamaños de fragmentos.
 g para materiales no calibrados (productos de
trituración) es aproximadamente 0.25. Para
materiales calibrados (entre dos mallas), es cerca de
0.55. Para materiales naturalmente calibrados, como
cereales o porotos, es 0.75.

24. 24
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL(11)
 El factor de forma f y el factor granulométrico g son los dos
parámetros utilizados para estimar la primera parte de IHL.
v M
M
fgdL
L
α α
α
⋅




 =∑ 3

25. 25
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL :
FACTOR MINERALÓGICO (11)
 El segundo término de IHL es (por definición) la varianza
(ponderada por la densidad) para el tamaño de liberación dl.
 Es 0 si el material es completamente homogéneo, y 1 si ha sido
completamente liberado. En este último caso, hay una fracción
de mineral puro, con densidad, con densidad M, y una fracción
de pura ganga, con densidad g.
 El contenido crítico de la fracción de mineral pura es aM=1; el
contenido crítico de la fracción de ganga pura es ag=0, y el
contenido crítico del lote es aL=MM/Ml.
 La masa del lote es ML=Mg+MM.

26. 26
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL :
FACTOR MINERALÓGICO (12)
 Resolviendo la ecuación matemática, el factor
mineralógico c is:
Pero podemos aproximar un resultado si aL es menor a
un 10%: c= M/aL;
Si aL es mayor que el 90% (0.9), entonces c= g(1-aL).
c = Mλ λ
( )
( )
1
1
2
−
+ −
a
a
aL
L
g L

27. 27
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL :
FACTOR MINERALÓGICO (13)
 Es interesante notar que el factor mineralógico c depende de la ley del
lote.
 Por lo tanto, todas las calibraciones y trabajo experimental deben estar
relacionados a una ley “esperada” del material.
 También el contenido crítico es una proporción del mineral, no del
elemento químico.
 Por ejemplo, para Au=1 gpt=10-6 (aL<<1), M=19.3, y c= 19,300,000
g/cm3.
 Para un 1% Cu, la proporción debe ser calculada. El factor mineralógico
c dependerá del tipo de mineralización (Cc, Cpy, Cv, or Bn).

28. 28
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL :
FACTOR DE LIBERACIÓN (14)
 Debido a la definición previa, el factor de liberación l
es necesariamente 1 al tamaño de liberación.
 Si los fragmentos están por debajo del tamaño de
liberación, la varianza del fragmento no cambia, y
l=1. Para tamaños por encima del de liberación,
0<l<1.
 Usar uno de los dos; o el método de liberación o el de
mineralogía para estimar el factor de liberación l.

29. 29
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL :
FACTOR DE LIBERACIÓN (15)
 Método del tamaño de liberación:
 No usar el método de F. Pitard’s (publicado en su libro
de 1993), porque resulta en masas (cantidad de
muestra) irreales. En mas razonable aplicar la formula
generalizada de D. François-Bongarçon’s (o alguna de
las variantes modernas propuestas por Pitard):
El tamaño nominal del fragmento de la muestra es d (95%
pasante); el tamaño de liberación es dl, y b es un parámetro que
debe ser calibrado para cada caso. En general, la experiencia
sugiere para el Au b≈1.5, y en general, 1<b<2.
l =
d
d
l





b

30. 30
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL :
FACTOR DE LIBERACIÓN (16)
 Método mineralógico: si el contenido crítico del lote,
aL, y el contenido crítico del fragmento más grande,
aMAX, son conocidos, entonces el factor de liberación
utilizando:
l
a a
a
L
L
=
-
MAX −





1

31. 31
HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL:
RESUMEN (17)
 Por lo tanto, la ecuación que se usa en práctica para
determinar IHL es:
 En esta ecuación, típicamente g=0.25, f=0.5. El factor
de liberación l se calcula a veces utilizando b=1.5
como una primera aproximación.
IH lL = c f g d3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅

32. 32
ERROR FUNDAMENTAL (1)
 El Error Fundamental (EF) se genera por la
Heterogeneidad Constitucional, y es el único que
afecta los resultados de los análisis si la selección de
los incrementos que componen la muestra es la
correcta.
 P. Gy demostró que la media es cero, y su varianza
es:
σFE LIH2
=
1- P
P ML⋅
⋅

33. 33
ERROR FUNDAMENTAL (2)
 Aquí P es la probabilidad de selección de cualquier
fragmento dentro del lote, MS=P*ML 
 Y cuando ML>>MS:
σFE LIH2
=
1
M
1
MS L
−





 ⋅
σFE LIH2
=
1
MS





 ⋅

34. 34
EL NOMOGRAMA (1)
 El nomograma es un gráfico log-log con masa de la muestra en
el eje X y la varianza de la muestra en el eje Y.
 En la práctica, queremos optimizar protocolos de muestreo tal
que todos los errores que no son IHL son eliminados.
 Para poder hacer el nomograma (masa vs varianza), primero
tomamos el logaritmo de la ecuación previa.
log( log( ) log( ) log( )σFE Sc l f g d clfg d M2 3
3) = log
1
MS
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅





 = + −
log( log( ) log( )σFE SC d M2
3) = + −

35. 35
EL NOMOGRAMA (2)
 Los cambios en la varianza y tamaño de la muestra se grafican,
reflejando o un cambio en tamaño debido a trituración o molienda, o un
cambio de tamaño debido a la división.
 Si se trata de una división, no hay cambio en el tamaño nominal, tal que
la varianza es proporcional a –log(MS). Por lo tanto los cambios por
división (cambios en masa y varianza) siguen una línea en el
nomograma con una pendiente de -1.
 Si se reduce el tamaño del fragmento por trituración o molienda, la masa
de la muestra se mantiene, y todo lo demás en la ecuación cambia. Así
la reducción de varianza que resulta se grafica hacia abajo hasta el
siguiente tamaño nominal del fragmento.
 La figura que se muestra es un ejemplo tomado de François-Bongarçon
y Gy (2001).

36. 36

37. 37
HETEROGENEIDAD DISTRIBUCIONAL:
ERROR DE DISTRIBUCIÓN (1)
 El DH, también llamado segregación, se refiere a la distribución
espacial de los fragmentos dentro del lote.
 La segregación puede ocurrir debido a diferencias en
densidades, masa, tamaño, forma, etc. También puede
depender del ángulo de reposo y del tipo de aparato utilizado
para generar el lote.
 Los lotes se clasifican como uni-, bi-, o tri-dimensional, donde a
veces una o mas dimensiones del lote puede ser considerada
poco importante.

38. 38

39. 39
CLASIFICACIÓN DE LOTES (1)
 Los lotes 3-D son bloques donde todas las dimensiones son
importantes. Por ejemplo, un bloque de roca sólida en un depósito, un
camión o vagón de ferrocarril, una bolsa, el contenido de un barco, etc.
 Lotes 2-D tienen poco espesor comparado con la longitud y ancho. Por
ejemplo, una pila achatada, un manto de carbón, etc.
 Lotes 1-D tienen solo una dimensión significativa, como por ejemplo
materiales en cintas transportadoras, corrientes o flujos en plantas de
procesamiento, una serie de vagones de ferrocarril, etc.
 Lo más importante es que todo los fragmentos tengan la misma
oportunidad de ser seleccionado. Cada tipo de lote tiene una forma
correcta de delimitar la muestra, derivada de considerar aspectos
geométricos.

40. 40
CLASIFICACIÓN DE LOTES (2)
 Para los lotes 3-D, la forma correcta de delimitación es una esfera. Esto
en la práctica es difícil de lograr, excepto cuando se trata de líquidos
con sólidos en suspensión. Generalmente, se utiliza un aparato de
muestreo 2-D, como es una perforación. Cuando sea posible, se debe
reducir los lotes de 3-D lotes a 2-D.
 Para los lotes 2-D, la forma correcta de delimitación es un cilindro
uniforme con una sección constante a través del lote entero.
Perforaciones (DDH o detritos) pueden ser utilizados.
 Para los lotes 1-D, la forma correcta de delimitación son dos planos
paralelos, con la distancia entre los planos constante, y cruzan
completamente el lote.

41. 41
HETEROGENEIDAD DISTRIBUCIONAL:
ERRORES DE EXTRACCIÓN Y PREPARACIÓN
(1)
 El error de extracción se refiere al proceso de tomar la muestra; los
casos mas difíciles e importantes se refieren a las perforaciones y
pozos de tronadura.
 Los métodos correctos para extraer muestras es hacer el muestreo por
sectores en las perforadoras, y utilizando secciones cuadradas que
contengan la muestra.
 Los errores de preparación resultan de contaminación, pérdida de
masa, cambios en la composición química o física, errores no
intencionales, etc.
 Todos estos errores deben ser minimizados porque normalmente
producen un sesgo (media diferente de cero). Además, pueden ser tan
significativos que abruman todo el trabajo de detalle en la optimización
del protocolo.

42. 42
HETEROGENEIDAD DISTRIBUCIONAL :
ERRORES DE EXTRACCIÓN Y PREPARACIÓN
(2)
 El oro es un caso particularmente difícil, particularmente tan
pronto como es liberado. La segregación (DH) es muy alta por
su densidad (19.3 g/cm3). También, el Au no se tritura o muele
bien, porque tiende a recubrir el aparato por ser maleable.
 También, las leyes bajas son importantes, con bajas leyes de
corte. El impacto de los errores de muestreo puede ser
significativo, con importantes consecuencias económicas.

43. 43
ALGUNAS REFERENCIAS
 François-Bongarçon, D., and Gy P. The most common error in applying “Gy’s
Formula” in the theory of mineral sampling, and the history of the liberation
factor. In A.C. Edwards, ed., Mineral Resource and Ore Reserve Estimation –
The AusIMM Guide to Good Practice, pp. 67-72. The AusIMM, Melbourne,
2001.
 Pitard, F.F., Pierre Gy’s Sampling Theory and Sampling Practice, Second
Edition. CRC Press LLC, Boca Raton, Florida, 1993.
 Roden S. and Smith T. Sampling and analysis protocols and their role in mineral
exploration and new resource development. In A.C. Edwards, ed., Mineral
Resource and Ore Reserve Estimation – The AusIMM Guide to Good Practice,
pp. 73-78. The AusIMM, Melbourne, 2001.