Este documento presenta 4 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide encontrar bases y dimensiones de subespacios. El Problema 2 determina si conjuntos de vectores constituyen bases de R3. El Problema 3 construye bases de P3 que contengan vectores dados. Finalmente, el Problema 4 explora la relación entre la dimensión de la suma y la intersección de subespacios y define la suma directa de subespacios.

1. Deber 4
´
Algebra Lineal
Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez
a a
II T´rmino 2009–2010
e
Problema 1. Encuentre una base y la dimensi´n de los siguientes subespacios de V:
o
(i) V = P3 , W = {p(t) ∈ P3 : p(1) = 2 dp(t) |t=2 }, H = {(a2 − 3a0 )t3 + (a2 + a1 )t + a0 : ai ∈
R
dt
}, H ∩ W , H + W .
1 0 2 0
(ii) V = M2×2 , W = gen , , H = S2×2 , H + W , H ∩ W .
0 2 0 4
(iii) V = C[0, 1], H = gen(sin2 (x), cos2 (x), cos(2x), 2).
Problema 2. Determine cu´les de los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base
a
deR 3
:
     
 1 3 1 
(i)  2  ,  9  ,  1  .
1 0 4
 
       
 1 0 1 0 
(ii)  2 , 1 , 1 , 0  .
1 0 1 0
 
   
 1 3 
(iii)  −2  ,  3  .
1 4
 
     
 1 0 2 
(iv)  1  ,  9  ,  2  .
0 0 0
 
       
 2 0 −4 0 
(v)  −1  ,  1  ,  1  ,  9  .
−1 0 1 0
 
1

2. Problema 3. Construya, de ser posible, una base de P3 que contenga a los vectores:
(i) {t2 − t, t + 2, 2t2 − t + 2}.
(ii) {2t, 1 − t}.
(iii) {t2 + 1, t2 − 1, t3 }.
Problema 4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n. Sean W , H subespacios de V .
o
(i) Demuestre que dim(W + H) = dim(W ) + dim(H) − dim(W ∩ H). Verifique si esto se
cumple en los literales (i) y (ii) del Problema 1.
(ii) Investigue la definici´n de suma directa de W y H, representada por W ⊕ H. Qu´
o e
condici´n garantiza la suma directa de los subespacios W y H? En caso de que la
o
suma de W y H sea directa, a qu´ es igual dim(W ⊕ H)?
e
2