Este documento contiene 8 ejercicios resueltos de álgebra lineal. El primer ejercicio encuentra la dimensión de la suma de dos subespacios. El segundo halla los coeficientes "a" y "b" de un subespacio. Los ejercicios 3 y 4 resuelven problemas similares. El quinto ejercicio también halla coeficientes. El sexto calcula la base y dimensión de la suma de dos subespacios. El séptimo determina para qué valores de "c" los vectores son linealmente independientes. El octavo identifica

1. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
ALGUNOS EXAMENES RESUELTOS DEL 2 PARCIAL
1).-Si S ={(x,y,z) ∈ R 3 /x=y+z}
T ={(x,y,z) ∈ R 3 /3x-3y=z}
Hallar la Dim(T+S)
Solución :
Sabemos que:
Dim(T+S)=Dim(T)+Dim(S)-Dim(T ∩ S)…………..( 1 )
Hallando la Dim(T)
3x − 3 y = z z=b ; y=a ∀a, b ∈ ℜ
b
3 x − 3a = b → x = a +
3
Encontrando la base de T
b 1
(x,y,z)= (a+ , a, b )=a(1,1,0)+b( ,0,1)
3 3
1
Base(T)={(1,1,0),( ,0,1)}
3
Dim(T)= 2
Para S
x=y+z y=a ; z=b ∀a, b ∈ ℜ
x=a+b
(x,y,z)=(a+b,a,b)=a(1,1,0)+b(1,0,1)
Base (S)={(1,1,0)(1,0,1)}
Dim(S)= 2
Para Dim(T ∩ S)
T : 3x − 3 y = z 3x − 3 y − z = 0
S:x= y+z ⇨ x− y−z =0
x− y−z =0
2z = 0 → z = 0
y=a ; x-a-0=0 → x=a
encontrando base de (T ∩ S)
(x,y,z)=(a,a,0)=a(1,1,0)
CHALLAPA CHURA CLIMAN 1

2. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
Base(S ∩ T)= )={(1,1,0)}
Dim(S ∩ T)=1
Reemplazado en la ec. 1
Dim (T+S)=2+2-1 =3
3) Hallar “a” y ”b” B={(1,1,0)(0,3,2)} talque
Sea Base Si S ={(x,y,z) ∈ R 3 /x+ay-bz=0}
Solución:
Encontrando el Sub Espacio Generado de B
α 1 (1,1,0) + α 2 (0,3,2) = ( x, y, z )
Multiplicando los escalares y luego sumando los vectores:
α1 = x
→ α1 = x
α 1 + 3α 2 = y
→ α2 = z / 2
2α 2 = z
Reemplazando:
X+3/2(z)=y ; x-y-3/2z=0
Subespacio generado por B:
B ={(x,y,z) ∈ R 3 / x-y-3/2z=0}
S ={(x,y,z) ∈ R 3 /x+ay-bz=0}
el Sub Espacio Generado por B debe ser el mismo que “S”
3
x− y− z=0
2
x + ay − bz = 0
Comparando coeficientes
a = −1
3
b=−
2
4 )Si S ={(x,y,z) ∈ R 3 /x=y+z}
T ={(x,y,z) ∈ R 3 /3x-3y=z}
CHALLAPA CHURA CLIMAN 2

3. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
Hallar la Dim(T+S)
Solución:
Dim(T+S)=Dim(T)+Dim(S)-Dim(T ∩ S)
Hallando la Dim(T)
3x − 3 y = z z=b ; y=a ∀a, b ∈ ℜ
b
3 x − 3a = b → x = a +
3
b 1
(x,y,z)= (a+ , a, b )=a(1,1,0)+b( ,0,1)
3 3
1
Base(T)={(1,1,0),( ,0,1)}
3
Dim(T)= 2
Para S
x=y+z y=a ; z=b ∀a, b ∈ ℜ
x=a+b
(x,y,z)=(a+b,a,b)=a(1,1,0)+b(1,0,1)
Base (S)={(1,1,0)(1,0,1)}
Dim(S)= 2
Para Dim(T ∩ S)
T : 3x − 3 y = z 3x − 3 y − z = 0
S:x= y+z x− y−z =0
x− y−z =0
2z = 0 → z = 0
y=a ; x-a-0=0 → x=a
(x,y,z)=(a,a,0)=a(1,1,0)
Base(S ∩ T)= )={(1,1,0)}
Dim(S ∩ T)=1
Dim (T+S)=2+2-1 =3
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4. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
5) Hallar “a” y ”b” B={(1,1,0)(0,3,2)}
Sea Base Si S ={(x,y,z) ∈ R 3 /x+ay-bz=0}
Solución:
Encontrando el Sub Espacio Generado de B
α 1 (1,1,0) + α 2 (0,3,2) = ( x, y, z )
α1 = x
→ α1 = x
α 1 + 3α 2 = y
→ α2 = z / 2
2α 2 = z
Reemplazando:
X+3/2(z)=y ; x-y-3/2z=0
B ={(x,y,z) ∈ R 3 / x-y-3/2z=0}
S ={(x,y,z) ∈ R 3 /x+ay-bz=0}
el Sub Espacio Generado por B debe ser el mismo que “S”
3
x− y− z=0
2
x + ay − bz = 0
Comparando coeficientes
a = −1
3
b=−
2
( S I S 2 ) + ( S 3 + S 4 ) 
6.-Hallar la base y Dim.  1 
{
S1 = ( x , y, z ) ∈ IR 3 / 2 y − 37 = −4 x }
S 2 = { (1,2,0 )( 0,3,1)}
{
S 3 = ( x , y, z ) ∈ IR 3 / x + 57 = 4 y }
S 4 = { ( 3,0,1)( − 3,1,0)}
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5. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
Solución
Base Para S1 ∩ S2
Previo el subespacio generado Para S2
α 1 (1,2,0 ) + α 2 ( 0,3,1) = ( x , y, z )
α1 = x
2α 2 + 3x 2 = y ⇒ 2 x + 3z = y ⇒ 2x − y + 37 = 0
α2 = z
S2 : 2x-y+37 = 0
Para S1 ∩ S2
S2 : 2x-y+37 = 0
S1 : 4x + 2y – 37 = 0
escalonando
4x + 2y – 37 = 0
9
-2y + z =0
2
z=a
9 9
-2y + a=0 ⇒ y= a
2 2
9
4x+2( a) -3a = 0
2
3 3
4x = − a⇒ x=− a
2 8
( x, y, z ) =  − 
3 9
 a, a, a 
 8 4 
 3 9 
= a  − , , 1
 8 4 
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6. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
 3 9 
Base ( S1 I S 2 ) = − , ,1
 8 4 
Base Para S3 + S4
Previo base Para S3
S3 : x + 5z = 4y
y=a z=b ⇒ x + 5b = 4a
x = 4a - 5b
( x, y, z ) = ( 4a − 5b, a 1 b )
= a ( 4,1,0 ) + b) − 5,0,1
Base S 3 = { ( 4,1,0 )( − 5,0,1)}
S3 + S4
5
 4 1 0 3
  4 −
 − 5 0 1 +
4 3
 3 0 1 + 4
 
 − 3 1 0 +
 
 4 1 0 12 28
  −
 0 5 / 4 1 20 20
 0 − 3 / 4 1 +
  +
 0 7 / 4 0
 
4 1 0 
 
05 / 4 1  5 28
0 0 8/5  8 20
 
 0 0 − 28 / 20 
  +
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7. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
  5  8 
Base (S3 + S4) = ( 4,1,0 )  0, ,1 0,0, 
  4  5 
Para ( S1 I S 2 + S3 + S 4 )
32
−5
− 3/ 8 9 / 4 1  3 − 3/ 8 9 / 4 1 
    100
 4 1 0   0 25 32 / 3 
 0 +
5/ 4 0   0 5/ 4 0 
    +
 0 0 8 / 5  0 0 8/5 
   
− 3/8 9/4 1 
   15 8 
 0 25 32 / 3   * 
 0  5 5
0 − 8 / 15 
 
 0 0 8/5  +
 
Base {( S1 I S 2 ) + ( S3 + S 4 ) }
 3 9  32  8 
=  − , ,1 0,25,  0,0 − 
 8 4  3  15 
Dim {( S 1 I S 2 ) + ( S3 + S 4 ) } = 3
7.- Para que valores de “c” ∈ IR son linealmente independientes.
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8. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
Solucion.-
α (1 − c., 1 + c ) + α (1 + c, 1 − c ) = ( 0, 0 )
1 2
(1 − c )α + ( 1 + c )α = 0
1 2
(1 + c )α + ( 1 − c )α = 0
1 2
Hallando el determinante
1− c 1+ c
1+ c 1− c
2 2
(
= (1 − c ) − (1 + c ) = 1 − 2c + c 2 1 + 2c + c 2 )
= − 4c = 0 ⇒ c = 0
Reemplazando c = 0
α1 + α 2 = 0
α1 + α 2 = 0 α1 + α 2 = 0
CON C = 0 es L.D.
CON C ≠ 0 es L.I.
8. Para que valores de “K” los vectores son linealmente dependientes.
Solución:
CHALLAPA CHURA CLIMAN 8

9. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
1 1
kα − α − α =0
1 2 2 2 3
1 1
− α + kα − α = 0
2 1 2 2 3
1 1
− α − α + kα = 0
2 1 2 2 3
Encontrando el determinante
 k − 1/ 2 − 1/ 2
 
 − 1/ 2 k − 1/ 2
 − 1/ 2 − 1/ 2 =0
k 
 
 
 
Desarrollando
 1 1  1 1 1  1 1 
k  k 2 −  + − k −  − + + k  = 0
 4 2  2 4 2  4 2 
1 1 1 1 1
k3 − k − k − − − k = 0
4 4 8 8 4
3 1
k3 − k − = 0
4 4
Resolviendo la ecuacion
Regla de Ruffini
1 0 -3/4 -1/4
1 1 1/4 k=1
1 1 ¼ 0
1
k2+k+1/4 = ⇒ (k+1/2)2 = 0 ⇒ k = −
2
CON k = 1 es L.D.
1
CON k = − es L.D.
2
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10. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
1
CON k ≠ 1 , k ≠ − es L.I.
2
9. Hallar “x” si V1 = (x, 1-x, x)
V2 = (2x, 2x-1, x+2) V3 = (-2x, x, -x)
en IR3 para que sean L.I.
solucion.
α ( x,1 − x, x ) + α ( 2 x , 2 x − 1, x + 2 ) + α ( − 2 x, x, − x ) = ( 0,0,0 )
1 2 3
α 1 x + 2 xα 2 − 2xα 3 = 0
(1 − x ) α 1 + ( 2x − 1) α 2 + xα 3 = 0
xα 1 + ( x + 2) α 2 − xα 3 = 0
Hallando el determinante
x 2x − 2x
1 − x 2x − 1 x =0
x x+2 −x
Desarrollando
x[-x(2x - 1)-x(x + 2)]-2x[-x(1 - x)-x2]-2x[(1 - x)(x + 2) -x(2x - 1)] = 0
x[-3x2 - x]-2x [-x]-2x[-3x2 + 2] = 0
-3x2 + x2 + 2x2 + 6x3 – 4x = 0
3x3 + x2 – 4x = 0 x(3x2 + x - 4) = 0
Resolviendo la ecuacion
X=0
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11. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
3x2 + x – 4 = 0
1 ± 12 − 4( 3)( − 4 ) 4
x= → x1 = 1 x2 = −
2( 3) 3
Con x = 0, x = 1, x = - 4/3 es L. D.
Con x ≠ 1, x ≠ 0, x ≠ -4/3 es L. I.
10. para que valores de “k” son L.I.
v1=( k, 1, 0), v2 = (1, 0, k) v3 = (1 + k, 1, k)
Sol.-
∝, (k, 1, 0) + ∝2(1, 0, k) + ∝3(1 + k, 1, k) = (0, 0, 0)
k∝1 + ∝2 + (1 + k) ∝3 = 0 hallando el determinante
∝1 + ∝3 = 0 k 1 1+k
k∝2 + k∝3 = 0 1 0 1 =0
0 k k
Desarrollando
k[-k]-1[k]+(1+k) [k] = 0
-k2 – k + k + k2 = 0
0=0
∴Para todo k Є IR es L.D. puesto que el determinante siempre es cero
k Є IR para que sean L.I.
otro método tenemos
k∝1 + ∝2 (1 + k) ∝3 = 0
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12. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
∝1 + ∝3 = 0 (-k)
k∝2 + k∝3 = 0
∝1 + ∝3 = 0 ∝1 + ∝3 = 0
∝2 + ∝3 = 0 (-k) N ∝2 + ∝3 = 0
k∝2 + k∝3 = 0 1+ 0=0
∴∀ k Є IR es L.D.
k Є IR para que sean L.I.
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13. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
11. demostrar que los sub espacios:
S1= {(1, 1, 0) (1, 0, 1)} ^ S2 = {(3, 2, 1) (1, -1, 2)}
generan el mismo sub espacio
Sol.- encontrando el sub espacio generado de S1
∝1(1, 1, 0) + ∝2(1, 0, 1) = (x, y, z)
Y+z=x
∝1 + ∝2 = x
∝1 =y ∝1= y
∝2= z ∝2= z
S1 = {(x, y, z) Є IR3 /x = y + z}
Encontrando el sub espacio generado de S2
α 1 ( 3,2,1) + α 2 (1,−1,2 ) = ( x , y, z )
3α 1 + α 2 = x α 1 + 2α 2 = z
2α 1 − α 2 = y + − 5α 2 = y − 2z
α 1 + 2α 2 = z( − 2) + ( − 3) − 5α 2 = y − 3z
y = 2z = x-37 → y +z = x
{
S 2 = ( x , y, z ) ∈ IR 3 / x = y + z }
∴ S = S2
1
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14. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
12. Hallar la dim. De ( S1 I S 2 + ( S3 I S 4 ) ) 
 
S1 = { x , y, z} / 2 y − 3z = −4 x
S 2 = { x , y, z} / 2 x + 2z = y
Si:
S 3 = { x , y, z} / x + 5z = 4 y
S 4 = { x , y, z} / x + 3z = 3z
Solución
Dim ( S1 I S 2 ) + ( S3 I S 4 )  = Dim ( S1 I S 2 ) + Dim ( S3 I S 4 )
 
……………. ( 1)
= Dim ( ( S1 I S 2 ) I ( S3 I S4 ) )
Calculo de Dim ( S1 I S 2 )
 2
S1 : 4x+2y-3z = 0  −  4x + 2y – 3z = 0
 4
7 7
S2: 2x – y 2z = 0 1 + -2y + z=0→y= z
2 4
7 
4 x + 2  z  − 3z = 0
4 
z
x=−
8
( x, y , z ) =  −   1 7 
z 7
 , z , z  = z  − , ,1
 8 4   8 4 
 1 7 
Base (S1∩S2 ) =  − , ,1
 8 4 
Dim(S1∩S2) = 1
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15. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
Calculo de (S3 ∩ S4 )
S3: x - 4y + 5z = 0 (-1) x – 4y + 5z = 0
S4 : x + 3y – 3z = 0 7y – 8z = 0
8  8
X – 4  z  + 5z = 0 y= z
7  7
3
X=- z
7
3 8 3 8
(x, y, z) = (- z, z, z) = z (- , ,1)
7 7 7 7
 3 8 
Base (s3 ∩ s4) =  − , ,1
 7 7 
Dim. (s3 ∩s4) = 1
Para (s1 ∩s2 ∩s3 ∩s4)
 2  1  1 
S1: 4x + 2y – 3z = 0  −  −  − 
 4  4  4 
S2: 2x – y +2z = 0
+
S3: x – 4y + 5z = 0
+
S4: x + 3y – 3z = 0
4x + 2y - 3z = 0
7  9  1 5 
- 2y + z = 0  −  * 
2  4  2 2 
9 23
- y+ z=0
2 4
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16. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
5 9
y- z =0
2 4
4x + 2y – 3z = 0 x=0
7
- 2y + z =0 y=0
2
17
- z=0 z=0
8
17
z=0 z=0
8
(x, y, z) = (0, 0, 0)
Dim. (s, ∩s2 ∩s3 ∩s4) = 0
Reemplazando en (1)
Dim. (s, ∩s2) + (s3 ∩s4) = 1 + 1 - 0
=2 sol.
14.-) T : IR3 → IR3 una T.L.
Si N(T) = { ( 0,1,−1)( 2,1,3) }
Hallar T (x, y z) =?
Solución
Expresado como una C.L.
α ( 0,1,−1) + α 2 ( 2,1,3) = ( x , y, z )
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17. ALGEBRA LINEAL MAT-1103 B
2α 2 = x ⇒ α 2 = x / 2
α1 + α 2 = y ⇒ α1 + x / 2 = y ⇒ α1 = y − x / 2
− α 1 + 3x 2 = z
 x x
⇒ −  y −  + 3  = z
 2 2
x 3
−y+ + x =z
2 2
2x − y − z = 0
T = (x, y, z) = (2x-y-z, 0, 0)
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