Este documento presenta 5 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide encontrar el núcleo, recorrido, rango y nulidad de 2 matrices. El Problema 2 pide calcular las coordenadas de un vector con respecto a una base dadas las coordenadas de otros vectores. El Problema 3 pide calcular una matriz de cambio de base y verificar las coordenadas de un vector. El Problema 4 evalúa si 5 afirmaciones sobre espacios vectoriales y bases son verdaderas o falsas. El Problema 5 pide verificar una igualdad entre

1. Deber 5
´
Algebra Lineal
Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez
a a
II T´rmino 2009–2010
e
Problema 1. Encuentre n´cleo, recorrido, rango y nulidad de las siguientes matrices:
u
−1 3 2
(i) .
2 −6 −4
 
1 0 1
 −1 1 0 
(ii)  
 2 4 6 .
3 3 6
Problema 2. Sean B1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } y B2 = {u1 , u2 , u3 , u4 } bases de un espacio vectorial
V , tales que:
u1 = 3v1 + 5v2 + 2v4 ,
u2 = 3v1 + 6v2 + 4v3 + 3v4 ,
u3 = −4v1 + v2 + 2v3 + 3v4 ,
u4 = −3v1 + v2 + v3 + 2v4 .
   
1 0
 0   4 
Sean v, w ∈ V , tales que [v]B1 =   
 1  y [w]B2 =  2 . Encuentre [2v + 3w]B2 .
−1 1
Problema 3. Sea V = C[0, 1]. Sea H un subespacio de V con bases B1 = {−2 cos(2x), 1} y
B2 = {cos2 (x), cos(2x)}. Encuentre AB1 B2 . Mediante AB1 B2 calcule [sin2 (x)−4]B2 y verifique
que las coordenadas obtenidas son correctas.
Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(i) Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n. Sea B una base de V . Entonces:
o
1

2. (a) ∀v1 , v2 ∈ V : [v1 + v2 ]B = [v1 ]B + [v2 ]B .
(b) ∀α ∈ R, ∀v ∈ V : [αv]B = α[v]B .
(ii) Sea V un espacio vectorial de dimensi´n 2. Sean B1 , B2 bases de V . Entonces, la
o
matriz de cambio de base AB1 B2 ∈ M2×2 es la unica matriz en M2×2 que cumple:
´
∀v ∈ V : [v]B2 = AB1 B2 [v]B1 .
Ayuda: Asuma que existe otra matriz P ∈ M2×2 que cumple que ∀v ∈ V : [v]B2 =
P [v]B1 . Manipulando estas relaciones, concluya que necesariamente P = AB1 B2 .
(iii) Sea S = {v1 , v2 , . . . , vk }, k ≥ 1, un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces,
S es una base de V , si y s´lo si cada vector de V es expresado de manera unica como
o ´
una combinaci´n lineal de los vectores de S.
o
(iv) Sean H, U subespacios de un espacio vectorial V , con bases BH de H y BU de U .
Entonces, BH ∩ BU es una base de H ∩ U .
(v) Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n con bases B1 , B2 y B3 . Entonces, AB1 B3 =
o
AB1 B2 AB2 B3 .
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