El documento presenta 18 problemas de geometría analítica sobre cónicas y superficies cuádricas. Los problemas incluyen encontrar ecuaciones de cónicas dados focos, vértices y otras características; transformar ecuaciones mediante rotaciones de ejes; identificar tipos de cónicas y superficies cuádricas; y encontrar elementos geométricos como focos, vértices y directrices.

1. Tarea 2
Geometr´ıa Anal´ıtica II - Semestre 2015-2
1. Dados los siguientes datos, encuentre la ecuaci´on general de la c´onica
correspondiente (Notaci´on: F se refiere a un foco, V es un v´ertice, e se
refiere a la excentricidad y d es una directriz).
(a) F1 = (0, 2), F2 = (2, 2), e = 1
2 .
(b) F1 = (0, 1), F2 = (0, 5), V1 = (0, −1).
(c) F = (2, 3), d → x = 1
2 , e = 1
2 .
(d) F = (2, 4), d → x = 0.
(e) V = (3, 2), d → x = 2.
(f) F = (1, 3), V = −1
2 , 3 .
(g) F1 = (2, 2), V1 = (1, 2), e = 2.
(h) F1 = (1, 0), F2 = (1, 4), V1 = (1, 1).
(i) F1 = (2, 2), F2 = (6, 0), e = 3
2 .
(j) F = (3, 1), d → y = 5
2 , e = 2.
2. Dadas las siguientes ecuaciones, calcular los focos, directrices, v´ertices y
centro de cada una de las c´onicas correspondientes. Grafique.
(a) 3x2
+ 4y2
+ 12x − 24y + 36 = 0
(b) 4x2
+ 3y2
− 32x − 12y + 64 = 0
(c) x2
− 4x − 4y + 16 = 0
(d) y2
+ 8x − 4y + 12 = 0
(e) −3x2
+ y2
+ 12x − 2y − 8 = 0
(f) x2
− 8y2
+ 6x + 17 = 0
3. Demuestre que si se ubica el eje focal en el eje Y y el centro o el v´ertice
sigue estando en el origen, las ecuaciones can´onicas tienen la forma
y2
a2
+
x2
b2
= 1, x2
= 4py,
y2
a2
−
x2
b2
= 1.
4. Demuestre que los puntos P ∈ R2
de coordenadas (a cos θ, b sen θ)
pertenecen a una elipse en posici´on can´onica, cuyos semiejes mayor y
menor miden, respectivamente, a y b.
5. Por traslaci´on de ejes remueva los t´erminos de primer grado en
a) 2xy − x − y + 4 = 0
b) x2
+ 2xy + 3y2
+ 2x − 4y − 1 = 0
6. Cada una de las siguientes es la ecuaci´on de una c´onica. Determine la
naturaleza de cada una.
1

2. (a) 3x2
+ 6xy − 2y2
+ 4x − 3y + 20 = 0.
(b) 41x2
− 84xy + 76y2
+ 168 = 0.
(c) 2x2
+ 2xy + 5y2
− 2x − 9 = 0.
(d) 16x2
+ 24xy + 9y2
− 30x + 40y = 0.
(e) 4x2
+ 4y2
− 48x − 8y + 123 = 0.
(f) 4x2
+ 4xy + 6x − 5y + 8 = 0.
(g) xy + x − 2y + 3 = 0.
(h) x2
− 4xy + 4y2
− 4 = 0.
(i) 3x2
+ 6xy + 3y2
+ 15x − 2y + 7 = 0.
7. Transforme la ecuaci´on de cada una de las siguientes c´onicas, rotando los
ejes de acuerdo al ´angulo que se especifica.
(a) x2
− y2
= a2
, ϕ = −π
4 .
(b) −3x2
+ y2
+ 24x − 36 = 0, ϕ = π
3 .
(c) 4x2
+ 3y2
+ 32x − 12y + 64 = 0, ϕ = 2π
3 .
(d) x2
− 4x − 4y + 4 = 0, ϕ = π
4 .
(e) x2
− 8y2
− 2x + 40y − 47 = 0, ϕ = −π
4 .
(f) 5x2
+ 9y2
− 60x − 18y + 144 = 0, ϕ = π
6 .
8. Sea C una c´onica (elipse o hip´erbola) con elementos C = (h, k), V1 =
(h + a, k), V2 = (h − a, k), F1 = (h + c, k), F2 = (h − c, k),
d1 → x = h + a2
c y d2 → x = h − a2
c . Si se aplica una rotaci´on
de magnitud ϕ a la c´onica C y se obtiene una nueva c´onica C , ¿cu´ales
ser´ıan el centro, v´ertices, focos y directrices de C ?
9. Simplifique cada una de las siguientes ecuaciones por medio de una rotaci´on
y traslaci´on de ejes
a) 2x2
+ xy + 2y2
= 90.
b) 2x2
− 5xy + 2y2
= 18.
c) 4x2
− 3xy = 18.
d) 17x2
+ 12xy + 8y2
+ 46x + 28y + 17 = 0.
e) 386x2
− 720xy − 97y2
+ 720x + 194y + 481 = 0.
f) 108x2
− 312xy + 17y2
+ 480x − 380y − 100 = 0.
10. En cada caso, encontrar la ecuaci´on can´onica de la c´onica correspondiente,
el ´angulo de rotaci´on y grafique cada caso
(a) 7x2
+ 4xy + 4y2
− 24 = 0
(b) 2x2
+ 4xy − y2
+ 6 = 0
(c) 8x2
+ 8xy + 2y2
+ 2
√
5 x −
√
5 y = 0
2

3. (d) 7x2
+ 6xy + 7y2
− 20 = 0
(e) 9x2
+ 4xy + 6y2
− 10 = 0
11. Encuentre la ecuaci´on de la c´onica que resulta de intersecar las c´onicas
con ecuaciones
2x2
+ xy + 2y2
− 3x + 3y − 5 = 0, x2
− 3x − 2y − 4 = 0
y que pasa por el origen.
12. Dadas las siguientes ecuaciones, determine que tipo de superficie cu´adrica
es, reduzca a sus respectivas ecuaciones can´onicas y grafique.
(a) 9x2
+ 4y2
+ 36z2
− 36x − 8y − 72z + 40 = 0
(b) x2
− 4y2
− 4z2
+ 2x + 8y + 8z − 11 = 0
(c) x2
− 4y2
+ z2
− 2x + 8y − 4z = 0
(d) 4x2
+ 4y2
− 24x − 36y + 36 = 0
(e) x2
+ 4y2
− 2x − 8y − 4z + 3 = 0
(f) x2
+ 5y2
− 8x + 12y − 4z + 6 = 0
13. Encontrar la ecuaci´on general de cada superficie cu´adrica.
(a) La esfera con centro en el punto C = (3, 1, 1) y radio r = 2.
(b) El elipsoide con centro en el punto C = (−1, 2, 0) y ejes a = 2, b =
3, c = 2.
(c) El hiperboloide de un manto con centro en (1, 1, −2), ejes a =
2, b = 2, c = 1 y tal que la hip´erbola generadora abre a lo largo
del eje X.
(d) El hiperboloide de dos mantoa con centro en (0, 3, 2), ejes a =
1
3 , b = 1, c = 2 y tal que los signos de los coeficientes de los
t´erminos cuadr´aticos x2
, y2
y z2
son, respectivamente −, −, +.
14. Demuestre que cualquier cilindro tiene un n´umero infinito de planos de
simetr´ıa.
15. Demuestre que la familia de elipsoides cuyo centro es el origen, obtenida
al variar k ≥ 0 en la ecuaci´on
x2
4
+
y2
4
+
z2
9
= k
llena el espacio, en el sentido de que cada punto P(x, y, z) ∈ R3
pertenece
a uno de esos elipsoides.
16. Haga el an´alisis de las posibles superficies correspondientes a la ecuaci´on
x2
+ 2y2
+ 3z2
+ Gx + Hy + Iz + J = 0, dependiendo del signo de G, H, I
y J.
3

4. 17. Encuentre las dos rectas que pasan por el punto P(0, 2,
√
3) y contenidas
en el hiperboloide de un manto x2
+ y2
− z2
= 1.
18. Encuentre las dos rectas que pasan por el punto (2, 2, 0) de la silla de
montar x2
− y2
= z, contenidas en ella.
4