Este documento presenta ejercicios sobre operaciones entre subespacios vectoriales. Incluye definiciones de conceptos como suma, intersección y unión de subespacios, así como preguntas sobre bases, cambio de bases, coordenadas de vectores y propiedades de subespacios. El objetivo es que los estudiantes practiquen y demuestren su comprensión de estas nociones fundamentales del álgebra lineal.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE
DEBER #4 (GRUPAL)
OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS
1.- Defina:
1.1- El Conjunto suma de Subespacios vectoriales
1.2.- El Conjunto intersección de Subespacios vectoriales
1.3.- El Conjunto unión de Subespacios vectoriales
1.4.- Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada.
1.5- Matriz de transición.
2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique
apropiadamente su respuesta.
2.1.- Si H∩W es un subespacio del espacio vectorial V, entonces H y W son subespacios de V.
2.2.- Si H y W son Subespacios vectoriales de V y H⊆W, entonces HUW es un subespacio de V.
2.3.- Sea S un subespacio de V de dimensión 3. Sean v1, v2, v3 tres vectores distintos de S. Si x
un vector perteneciente a V-S y W=L{x, v1, v3}, entonces dimW=3.
2.4.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces H+W⊆HUW.
2.5.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces HUW ⊆H+W.
2.6.- Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 y sean H=gen{u,v} y W=gen{w}, entonces
H+W generan V
2.7.- Si B1={v1, v2} es una base del subespacio vectorial H y B 2={v2, v3, v4} es una base del
subespacio W, entonces una base de la intersección de H y W es {v2}.
2.8.- Sean β1 y β2 bases para un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de cambio de base de
β1 a β2 , entonces se cumple que: ∀v∈V { [v]β2= Aβ1→β2 [v]β1 }
2.9.- Sean β1 y β2 bases de un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de transición de β1 a β2 y
Aβ2→β1 la matriz de transición de β2 a β1, entonces se cumple que: Aβ2→β1 = (Aβ1→β2)-1.
2.10.- Sea x un vector de un espacio vectorial V, β1 y β2 bases de V. Si [x]β1= [x]β2 entonces
β1 =β2
3.- Sea V=M2x2,
 3 3  1 1   1 1   − 1 − 1  α α 2  
H = L   1 − 2 , 1 0 ,  0 − 1,  1
   
2   α α  / 3α1 − 3α 2 + α 3 = −α1 + α 2 + 2α 3 = 0
 y W =  1 
     3 4 
dos subespacios de V, determine:
a.-) Una base B1 de H∩W
b.-) Una base B2 de H+W que contenga a B1
c.-) Una base B3 de V que contenga una base de H∩W y una base de H+W
d.-) Un vector u∈H-W y un vector v∈(H∪W)c
e.-) Si la suma H+W es directa. Justifique su respuesta.
4.- Sea V=M2x2, W=gen{I}, donde I es la matriz identidad de V
 a b    0 2   4 2 
H = 
 c d  / a − 2d + c = 0 y
 S = gen 
 2 1 ,  0 2 
 
     
1

2. a.-) Determine si HUS es un subespacio de V
b.-) Determine una base de H+W
c.-) Determine el subespacio S+W
d.-) Determine una base y la dimensión de H∩S
 1 − 1  1 0   2 0   0 0 
5.- Sea V=M2x2 , H={A∈V / ai1=iai2 }, W = L 
 , 
 , 
 , 
  y

 0 1   − 1 1   − 1 1   1 − 1
U={A∈V/ aij≠0 cuando i≠j}.
a.- Determine si U es un subespacio de V.
b.- Determine una base para la intersección de los subespacios H y W.
c.- Determine una base para la suma de los subespacios H y W.
6.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/x∈R+, y∈R} donde se ha definido la suma en V y la
multiplicación por escalar de la siguiente manera:
( x1, y1 ) ⊕ ( x 2, y 2 ) = ( x1x 2, y1 + y 2 )
α • ( x, y ) = ( x α , αy )
Determine, de ser posible, las coordenadas de (8,-3) con respecto a {(2,0),(1,1)}
7.- Sea V=gen{1, Cosx, Cos2x} y sea B1={2-Cosx, 1+Cosx, Cos2x} una base de V.
a.- Si B2={1, Cosx, Cos2x} es otra base de V, determine la matriz de cambio de base de B 2 en
B1.
b.- Determine, de ser posible, las coordenadas de f(x)=Sen2x+1 con respecto a la base B2.
8.- Sean B1={p(x), q(x), r(x)} y B2={s(x), t(x), u(x)} dos bases del espacio vectorial P2 y sean
1 0 1
     
[ ] [ ]
x 2 − x B1 =  1  , [ x + 1] B1 =  1  , 2 x 2 + 1 B1 =  − 1
0 0 1
     
[s(x)+t(x)]B1=(3,1,1) , [t(x)+u(x)]B1=(5,2,0) , [u(x)]B1=(3,0,0)
Determine:
a.-) Los vectores de cada Base
b.-) Las coordenadas de –x2+3x+2 con respecto a la base 2
9.- Considere el espacio funcional V=gen{Senx, Cosx, ex} con las siguientes bases B1={u1,u2,u3},
B2={Senx+Cosx, ex-Senx, Senx} y B3={v1,v2,v3}, dado que: u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v1-v2 y la
1 0 1 
 
matriz cambio de base de B3 a B2: CB 3→ B 2 = 1 − 1 2 
1 − 1 1 
 
Determine:
a.-) La matriz cambio de base de B3 a B1
b.-) La matriz cambio de base de B1 a B2
c.-) Los vectores de la base B1 y los vectores de la base B3
d.-) [w1+2w2-u3+v2-Cosx]B3 si se conoce que [w1-w2]B1=(1,0,-1) y [2w1+w2]B3=(9,4,-3)
10.- Sea V=S2x2 y B una base de V tal que:
2

3.  1 0 0
 1 2    1 1     1 0   

 2 0  =  1  , 1 0  =  1  ,  0 1  =  0 
    
  B  0   B  2   B  1 
     
Determine:
a.-) Los vectores de la base B.
b.-) Una base B2 de V que contenga a B.
c.-) La matriz de cambio de base desde B2 hacia la base canónica de V.
11.- Sean B1={v1, v2, v3} y B2={u1, u2, u3} dos bases del espacio V=gen{Senx, Cosx, x} y dado que:
u1=v1+v2, u2=v2+v3 y u3=v3+v1, determine:
a.-) La matriz de cambio de base de B1 en B2.
b.-) Si [2x]B2=(1,1,1), [x-Senx]B2=(1,0,0) , [Senx+Cosx]B2=(1,0,1) determine los vectores de la
base B1.
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