El documento define las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente mediante un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia. Presenta identidades trigonométricas como sen2(α) + cos2(α) = 1 y tan(α) = sen(α)/cos(α). Explica que el seno y coseno oscilan entre -1 y 1 mientras que la tangente oscila entre -∞ y +∞, y cómo varían las funciones cuando el ángulo es negativo.

1. DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICAS
TRIGONOMETRÍA
BÁSICA
DEFINICIONES
T.S.U. Gregorio González
NOVIEMBRE 2.010

2. En la fig. 1, tenemos una circunferencia
de radio 1, representada por c y centro en
A. Dibujemos un eje de coordenadas (x,y),
donde el centro de la circunferencia
corresponda con el origen de este eje de
coordenadas. Dibujemos el triángulo
ABC, que es un triángulo rectángulo con
su ángulo recto en C, el cual usaremos
para definir el seno y el coseno del ángulo
α, correspondiente al vértice A, situado en
el centro de la circunferencia.
 El seno (α), abreviado sen (α), es
la relación o razón que existe entre
el cateto opuesto o el lado del triángulo denotado como a, dividido por
la hipotenusa del triángulo denotada c, que corresponde al radio r de la
circunferencia. Así, definimos que:
 El coseno (α), abreviado como cos (α), es la relación o razón que
existe entre el cateto adyacente o el lado del triángulo denotado como b,
dividido entre la hipotenusa c del triángulo ABC. Así, definimos que:
IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
De acuerdo a la fig. 1, aplicándole el teorema de Pitágoras al triángulo ABC,
tenemos que:
, ahora
, con c = 1, así tenemos que:
Esta es nuestra primera identidad trigonométrica.

3. con c = 1 y AD = 1, así que tenemos que:
, despejando AF de ambos términos
e igualándolos, tenemos que:
, despejando FD, nos queda que:
, y del capítulo anterior, de acuerdo con la definición
de seno y coseno, sabemos que:
, finalmente nos queda que:
que es nuestra segunda identidad trigonométrica.
Como tarea, demostrar que:
En la fig.2, tenemos la circunferencia de
radio r, denotada c, el eje de coordenadas
(x,y) y el triángulo rectángulo ABC. Se
traza una recta tangente a la circunferencia
y paralela al eje y, en el punto D y la recta
AB, que representa el radio c, se prolonga
hasta que se corten, llamando a este punto
F. La distancia DF, representa la tangente
del ángulo α y la denotaremos tan (α).
Ahora, expresaremos la tan (α) en función
del sen (α) y el cos (α).
Partiremos del triángulo rectángulo ADF.
Así, tenemos que:

4. , pero c = 1, así que:
y, a esta distancia AD, es la que llamaremos la secante del ángulo α.
De esta manera, obtenemos otra de nuestras identidades.
Como tarea, demostrar que:
De acuerdo a la fig.3, con la circunferencia
de radio r, llamada c, el eje de coordenadas
(x,y) y el triángulo ABC, trazamos una
recta tangente a la circunferencia por el
punto B, hasta que se corte con el eje x,
llamando a este punto D. De allí obtenemos
el triángulo rectángulo ABD, con el ángulo
recto en B.
Definiremos la secante del ángulo α,
denotada sec (α) como la distancia AD.
Así, de acuerdo a lo estudiado, tenemos:

5. Ahora surge la pregunta: ¿Qué pasa con los valores del sen (α) y cos (α), si el
ángulo se hace mayor de 90°?.
En la Fig. 4, observamos la circunferencia dividida en 4 partes, llamando a
cada una, CUADRANTE, debido a la colocación del eje de coordenadas (x,y)
cuyo punto de origen (0,0) corresponde al centro de la circunferencia. Así,
tenemos la siguiente tabla donde nos indica el signo, de acuerdo al cuadrante.
En este punto, veremos lo que es el sentido
positivo y negativo, para ver la evolución de
dichas funciones, a medida que el ángulo
varia.
 Sentido Positivo: es el sentido de giro
anti-horario o contrario a las manecillas
del reloj. El ángulo aumenta, a partir de 0
en forma positiva. Así denotamos como:
sen (α); cos (α); tan (α).
 Sentido Negativo: sería el sentido de
giro contrario es decir, el sentido horario.
El ángulo aumenta en forma negativa.
Así Denotamos como:
sen (-α); cos (-α); tan (-α).
α
I
0<α<90
II
90<α<180
III
180<α<270
IV
270<α<360
sen > 0 > 0 < 0 < 0
cos > 0 < 0 < 0 > 0
tan > 0 < 0 > 0 < 0
ctg > 0 < 0 > 0 < 0
sec > 0 < 0 < 0 > 0
csc > 0 > 0 < 0 < 0
TABLA I

6. En la fig. 5, vemos cómo varían
las funciones sen (α), cos (α) y la
tan (α) a medida que el ángulo
aumenta. En ella vemos que el
sen (α) y el cos (α) oscilan en el
rango entre [-1,1] y la tan (α)
oscila en el rango de (-∞,+∞).
La tabla II, muestra los valores de
las funciones en el rango de 0° a
90°.
Fig. 5
grados sen (α) cos (α) tan (α) ctg (α) sec (α) csc (α)
0° 0 1 0 ±∞ 1 ±∞
30° 0,5 0,866 0,577 1,73 1,154 2
45° 0,707 0,707 1 1 1,414 1,414
60° 0,866 0,5 1,73 0,577 2 1,154
90° 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1
TABLA II
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
De acuerdo con las tablas I y II y de acuerdo al sentido, podemos deducir las
siguientes identidades:
 sen (-α) = - sen (α)
 cos (-α) = cos (α)
 tan (-α) = - tag (α)
 ctg (-α) = - ctg (α)
 sec (-α) = sec (α)
 csc (-α) = - csc (α)