Este documento presenta 5 ejercicios sobre transformaciones geométricas. Explica cómo encontrar la figura homóloga o afín de diferentes objetos geométricos dados el centro de homología u ortogonalidad, el eje y la recta límite. Se describen los pasos para hallar los puntos, líneas y figuras homólogas o afines aplicando las propiedades de estas transformaciones.
TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO 2. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATOJUAN DIAZ ALMAGRO
Explicación paso a paso de un conjunto de trazados fundamentales de geometría plana. Está diseñado para 2º curso de Dibujo Técnico (2º de Bachillerato), pero repite conceptos de primer curso, a modo de repaso.
El documento presenta 10 ejercicios sobre transformaciones geométricas por afinidad. Explica cómo encontrar puntos, líneas y figuras afines dados un eje de afinidad y uno o más puntos afines de referencia. Los pasos incluyen trazar paralelas a la dirección de afinidad, prolongar líneas hasta el eje y unir puntos para determinar las figuras afines.
El documento describe diferentes métodos para hallar el eje radical de dos circunferencias. Explica cómo calcular el eje radical cuando las circunferencias son secantes, tangentes o exteriores, así como cómo encontrar el polo de una recta con respecto a una circunferencia y el segmento media proporcional entre dos segmentos usando el concepto de potencia.
El documento explica las curvas cónicas, que son las que resultan de la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución. Las tres curvas cónicas principales son la elipse, la parábola y la hipérbola. Se describen los elementos característicos de cada una como ejes, focos, directrices, así como métodos para su construcción.
Algunos empalmes, tangentes y curvas cíclicas.reyezuelo
El documento describe tres métodos para empalmar dos arcos o rectas mediante una curva de transición: 1) empalmar dos arcos de circunferencia trazando un tercer arco con un radio dado, 2) empalmar dos rectas mediante un arco de circunferencia, 3) empalmar dos rectas paralelas mediante dos arcos de circunferencia.
O documento descreve as definições e propriedades básicas de circunferências e círculos, incluindo:
1) A definição de circunferência como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto central chamado de centro;
2) A definição de círculo como o conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio;
3) As posições relativas de pontos, retas e circunferências em relação a uma circunferência de referência.
O documento descreve as principais relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. 1) No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2) Outras relações envolvem a altura, projeções e produtos dos lados. 3) Essas relações podem ser aplicadas para calcular diagonais, alturas e diagonais de figuras.
TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO 2. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATOJUAN DIAZ ALMAGRO
Explicación paso a paso de un conjunto de trazados fundamentales de geometría plana. Está diseñado para 2º curso de Dibujo Técnico (2º de Bachillerato), pero repite conceptos de primer curso, a modo de repaso.
El documento presenta 10 ejercicios sobre transformaciones geométricas por afinidad. Explica cómo encontrar puntos, líneas y figuras afines dados un eje de afinidad y uno o más puntos afines de referencia. Los pasos incluyen trazar paralelas a la dirección de afinidad, prolongar líneas hasta el eje y unir puntos para determinar las figuras afines.
El documento describe diferentes métodos para hallar el eje radical de dos circunferencias. Explica cómo calcular el eje radical cuando las circunferencias son secantes, tangentes o exteriores, así como cómo encontrar el polo de una recta con respecto a una circunferencia y el segmento media proporcional entre dos segmentos usando el concepto de potencia.
El documento explica las curvas cónicas, que son las que resultan de la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución. Las tres curvas cónicas principales son la elipse, la parábola y la hipérbola. Se describen los elementos característicos de cada una como ejes, focos, directrices, así como métodos para su construcción.
Algunos empalmes, tangentes y curvas cíclicas.reyezuelo
El documento describe tres métodos para empalmar dos arcos o rectas mediante una curva de transición: 1) empalmar dos arcos de circunferencia trazando un tercer arco con un radio dado, 2) empalmar dos rectas mediante un arco de circunferencia, 3) empalmar dos rectas paralelas mediante dos arcos de circunferencia.
O documento descreve as definições e propriedades básicas de circunferências e círculos, incluindo:
1) A definição de circunferência como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto central chamado de centro;
2) A definição de círculo como o conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio;
3) As posições relativas de pontos, retas e circunferências em relação a uma circunferência de referência.
O documento descreve as principais relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. 1) No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2) Outras relações envolvem a altura, projeções e produtos dos lados. 3) Essas relações podem ser aplicadas para calcular diagonais, alturas e diagonais de figuras.
Este documento presenta información sobre las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola). Define cada curva, explica sus parámetros clave como ejes, focos y excentricidad, y métodos para trazarlas. También proporciona ejemplos de cómo se usan estas curvas en aplicaciones como órbitas planetarias, telescopios, relojes solares y navegación.
Este documento describe las diferentes tipos de rectas que pueden aparecer en un sistema diédrico de proyecciones. Explica cómo obtener las proyecciones y trazas de una recta simple, y cómo determinar las partes vista y oculta. También define rectas paralelas, perpendiculares u oblicuas a los planos de proyección, y rectas que cortan o se cruzan.
Este documento descreve conceitos básicos de geometria plana, incluindo pontos, retas, planos e suas propriedades. Define pontos como entidades sem dimensão, retas como conjuntos infinitos de pontos e planos como conjuntos infinitos de pontos. Explora propriedades como vários pontos determinarem retas e planos, e que por um ponto passam infinitas retas.
Este documento explica los diferentes tipos de planos en un sistema diédrico de dibujo técnico y cómo se representan. Describe las trazas de los planos y cómo se determinan, incluyendo por dos rectas, tres puntos o un punto y una recta. Explica los planos proyectantes, paralelos a los de proyección, la línea de tierra y los bisectores.
HOMOLOGÍA Y AFINIDAD. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATOJUAN DIAZ ALMAGRO
El documento presenta una serie de ejercicios sobre homología que involucran puntos, rectas y figuras planas. Los ejercicios guían al lector paso a paso para encontrar puntos y figuras homólogos mediante la construcción de elementos geométricos como centros de homología, ejes de homología y rectas límite.
El documento presenta 111 ejercicios resueltos de dibujo técnico para la Selectividad en Andalucía, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse. Incluye las soluciones de los ejercicios, con explicaciones cuando sea necesario, así como un blog donde se pueden ver las soluciones de forma interactiva. El autor espera que esta guía sirva de ayuda para los estudiantes.
El documento muestra una serie de trazados básicos en geometría plana. Aunque se ha diseñado para 3º de la ESO, también se puede utilizar en 1º de la ESO
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas. Define transformaciones isométricas como aquellas que conservan las magnitudes y ángulos de la figura original, e incluye la igualdad, traslación, simetría y giro como ejemplos. También describe transformaciones isomórficas como homotecias y semejanza que conservan solo la forma, y transformaciones anamórficas como equivalencia, homología, afinidad e inversión que cambian completamente la figura.
O documento discute o conceito de traço de uma reta em geometria descritiva. O traço é o ponto de interceptação da reta nos planos de projeção horizontal e vertical, permitindo identificar a direção da reta no espaço. Retas paralelas a ambos os planos não possuem traço, enquanto retas oblíquas ou com paralelismo a apenas um plano possuem um ou dois traços.
The document provides information on constructing conic sections like ellipses, parabolas, and hyperbolas using the eccentricity method. It gives step-by-step procedures to draw the curves based on the distance between the focus and directrix and the eccentricity. It also describes how to draw tangents and normals to these curves at any given point. Examples are included to practice constructing each type of conic section based on given parameters.
Ocho ejercicios planteadosy resueltos paso a paso. No son ejercicios excesivamente laboriosos pero si el tipo de ejercicios que hay que controlar si se quiere dominar la homología.
El documento explica cómo localizar un punto en el espacio utilizando proyecciones ortogonales y un sistema de coordenadas de tres ejes. Se describe abrir un cubo de cristal para exponer sus caras y establecer ejes de coordenadas perpendiculares a partir de un punto de referencia común. Las proyecciones del punto sobre cada eje permiten determinar su posición en el espacio tridimensional.
Este documento trata sobre la congruencia de triángulos y elementos secundarios. Define la congruencia de triángulos como dos triángulos que tienen lados y ángulos correspondientes iguales. Presenta postulados de congruencia como tener dos lados y el ángulo opuesto al mayor lado iguales. Incluye ejemplos y ejercicios sobre elementos secundarios como alturas, bisectrices y más.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
El documento describe las cuatro secciones cónicas principales: la elipse, la hipérbola, la parábola y la circunferencia. Explica que son curvas formadas por la intersección de un cono y un plano, y proporciona detalles sobre cómo construir y representar mediante ecuaciones cada una de estas curvas, incluyendo sus focos, excentricidad y cambios de centro.
El documento describe una serie de problemas geométricos relacionados con triángulos y circunferencias. Se pide construir triángulos rectángulos y determinar sus centros, así como representar circunferencias inscritas y circunscritas. También se plantean problemas sobre triángulos isósceles, trapecios y posicionamiento mediante ángulos visuales.
El documento describe diferentes métodos para trazar rectas y circunferencias tangentes entre sí o que pasan por puntos y son tangentes a otras figuras. Explica cómo trazar rectas tangentes a una circunferencia que pase por un punto interior o exterior a ella, así como circunferencias tangentes a dos circunferencias, una recta y una circunferencia, o que pasen por dos puntos o un punto y sean tangentes a una recta o circunferencia.
El documento presenta diferentes métodos para construir óvalos, ovoides, espirales de Arquímedes y volutas. Para construir un óvalo se pueden usar como datos el eje mayor, el eje menor o dos ejes perpendiculares. Para ovoides se usa el eje mayor o el diámetro menor. Las espirales de Arquímedes se construyen conociendo el paso, y las volutas usando el paso y trazando arcos tangentes entre sí con centros en los vértices de un polígono.
Este documento resume las principales cónicas geométricas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola). Define cada curva como el lugar geométrico de puntos que cumplen cierta propiedad métrica con respecto a puntos u objetos fijos. Explica las ecuaciones, elementos y algunas aplicaciones prácticas de cada curva cónica.
Afinidad que transforma el cuadrilátero en cuadradoAntonio García
Este documento describe cómo transformar un paralelogramo en un cuadrado mediante una afinidad. Se prolongan dos lados del paralelogramo para obtener los puntos P y Q en el eje de afinidad. Se halla el punto medio O entre P y Q y se traza una circunferencia pasando por estos puntos. Trazando líneas paralelas al eje de afinidad a través de los vértices del paralelogramo original, se obtienen los vértices del cuadrado resultante.
Este documento describe los pasos para resolver la sección de una pirámide por un plano oblicuo. Contiene la arista CV en un plano proyectante vertical. La intersección de los dos planos produce la recta r que se corta con la arista VC para producir el punto M de la sección buscada. Luego prolonga la arista de la base CD hasta alfa1 donde une con M1, obteniendo así el punto P1 en la arista VD.
Este documento presenta información sobre las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola). Define cada curva, explica sus parámetros clave como ejes, focos y excentricidad, y métodos para trazarlas. También proporciona ejemplos de cómo se usan estas curvas en aplicaciones como órbitas planetarias, telescopios, relojes solares y navegación.
Este documento describe las diferentes tipos de rectas que pueden aparecer en un sistema diédrico de proyecciones. Explica cómo obtener las proyecciones y trazas de una recta simple, y cómo determinar las partes vista y oculta. También define rectas paralelas, perpendiculares u oblicuas a los planos de proyección, y rectas que cortan o se cruzan.
Este documento descreve conceitos básicos de geometria plana, incluindo pontos, retas, planos e suas propriedades. Define pontos como entidades sem dimensão, retas como conjuntos infinitos de pontos e planos como conjuntos infinitos de pontos. Explora propriedades como vários pontos determinarem retas e planos, e que por um ponto passam infinitas retas.
Este documento explica los diferentes tipos de planos en un sistema diédrico de dibujo técnico y cómo se representan. Describe las trazas de los planos y cómo se determinan, incluyendo por dos rectas, tres puntos o un punto y una recta. Explica los planos proyectantes, paralelos a los de proyección, la línea de tierra y los bisectores.
HOMOLOGÍA Y AFINIDAD. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATOJUAN DIAZ ALMAGRO
El documento presenta una serie de ejercicios sobre homología que involucran puntos, rectas y figuras planas. Los ejercicios guían al lector paso a paso para encontrar puntos y figuras homólogos mediante la construcción de elementos geométricos como centros de homología, ejes de homología y rectas límite.
El documento presenta 111 ejercicios resueltos de dibujo técnico para la Selectividad en Andalucía, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse. Incluye las soluciones de los ejercicios, con explicaciones cuando sea necesario, así como un blog donde se pueden ver las soluciones de forma interactiva. El autor espera que esta guía sirva de ayuda para los estudiantes.
El documento muestra una serie de trazados básicos en geometría plana. Aunque se ha diseñado para 3º de la ESO, también se puede utilizar en 1º de la ESO
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas. Define transformaciones isométricas como aquellas que conservan las magnitudes y ángulos de la figura original, e incluye la igualdad, traslación, simetría y giro como ejemplos. También describe transformaciones isomórficas como homotecias y semejanza que conservan solo la forma, y transformaciones anamórficas como equivalencia, homología, afinidad e inversión que cambian completamente la figura.
O documento discute o conceito de traço de uma reta em geometria descritiva. O traço é o ponto de interceptação da reta nos planos de projeção horizontal e vertical, permitindo identificar a direção da reta no espaço. Retas paralelas a ambos os planos não possuem traço, enquanto retas oblíquas ou com paralelismo a apenas um plano possuem um ou dois traços.
The document provides information on constructing conic sections like ellipses, parabolas, and hyperbolas using the eccentricity method. It gives step-by-step procedures to draw the curves based on the distance between the focus and directrix and the eccentricity. It also describes how to draw tangents and normals to these curves at any given point. Examples are included to practice constructing each type of conic section based on given parameters.
Ocho ejercicios planteadosy resueltos paso a paso. No son ejercicios excesivamente laboriosos pero si el tipo de ejercicios que hay que controlar si se quiere dominar la homología.
El documento explica cómo localizar un punto en el espacio utilizando proyecciones ortogonales y un sistema de coordenadas de tres ejes. Se describe abrir un cubo de cristal para exponer sus caras y establecer ejes de coordenadas perpendiculares a partir de un punto de referencia común. Las proyecciones del punto sobre cada eje permiten determinar su posición en el espacio tridimensional.
Este documento trata sobre la congruencia de triángulos y elementos secundarios. Define la congruencia de triángulos como dos triángulos que tienen lados y ángulos correspondientes iguales. Presenta postulados de congruencia como tener dos lados y el ángulo opuesto al mayor lado iguales. Incluye ejemplos y ejercicios sobre elementos secundarios como alturas, bisectrices y más.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
El documento describe las cuatro secciones cónicas principales: la elipse, la hipérbola, la parábola y la circunferencia. Explica que son curvas formadas por la intersección de un cono y un plano, y proporciona detalles sobre cómo construir y representar mediante ecuaciones cada una de estas curvas, incluyendo sus focos, excentricidad y cambios de centro.
El documento describe una serie de problemas geométricos relacionados con triángulos y circunferencias. Se pide construir triángulos rectángulos y determinar sus centros, así como representar circunferencias inscritas y circunscritas. También se plantean problemas sobre triángulos isósceles, trapecios y posicionamiento mediante ángulos visuales.
El documento describe diferentes métodos para trazar rectas y circunferencias tangentes entre sí o que pasan por puntos y son tangentes a otras figuras. Explica cómo trazar rectas tangentes a una circunferencia que pase por un punto interior o exterior a ella, así como circunferencias tangentes a dos circunferencias, una recta y una circunferencia, o que pasen por dos puntos o un punto y sean tangentes a una recta o circunferencia.
El documento presenta diferentes métodos para construir óvalos, ovoides, espirales de Arquímedes y volutas. Para construir un óvalo se pueden usar como datos el eje mayor, el eje menor o dos ejes perpendiculares. Para ovoides se usa el eje mayor o el diámetro menor. Las espirales de Arquímedes se construyen conociendo el paso, y las volutas usando el paso y trazando arcos tangentes entre sí con centros en los vértices de un polígono.
Este documento resume las principales cónicas geométricas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola). Define cada curva como el lugar geométrico de puntos que cumplen cierta propiedad métrica con respecto a puntos u objetos fijos. Explica las ecuaciones, elementos y algunas aplicaciones prácticas de cada curva cónica.
Afinidad que transforma el cuadrilátero en cuadradoAntonio García
Este documento describe cómo transformar un paralelogramo en un cuadrado mediante una afinidad. Se prolongan dos lados del paralelogramo para obtener los puntos P y Q en el eje de afinidad. Se halla el punto medio O entre P y Q y se traza una circunferencia pasando por estos puntos. Trazando líneas paralelas al eje de afinidad a través de los vértices del paralelogramo original, se obtienen los vértices del cuadrado resultante.
Este documento describe los pasos para resolver la sección de una pirámide por un plano oblicuo. Contiene la arista CV en un plano proyectante vertical. La intersección de los dos planos produce la recta r que se corta con la arista VC para producir el punto M de la sección buscada. Luego prolonga la arista de la base CD hasta alfa1 donde une con M1, obteniendo así el punto P1 en la arista VD.
Dados tres segmentos hemos de hallar el cuarto proporcional a ellos.Problema clásico de proporcionalidad, que resolveremos utilizando las bases de proporcionalidad.
En este tipo de ejercicios lo importante es realizarlos utilizando única y exclusivamente el compás como herramienta de construcción de ángulos, ya sea obteniendo puntos con el trazado de la bisectriz, o bien trasladando distancias.
Dividiremos un segmento entre otro utilizando proporcionalidad y nada más que soluciones gráficas, nunca numéricas.La unidad es la clave ya que depende de como la utilicemos en la proporción establecida, conseguiremos la solución.
Vamos a analizar los distintos tipos de ángulos que se pueden relacionar con una circunferencia.Calcular su valor y estudiar sus relaciones geométricas.
El documento explica cómo dibujar la bisectriz de un ángulo. Se dibujan dos rectas que se cortan en un punto para formar un ángulo. Se hace un arco con centro en el vértice del ángulo para encontrar dos puntos en las rectas. Luego se une el vértice con un tercer punto encontrado al hacer otro arco entre los dos primeros puntos, formando así la línea bisectriz que divide el ángulo en dos partes iguales.
Perpendicular a una recta por un punto exteriorAntonio García
Por un punto que no pertenece a la recta, hay que hacer pasar una recta que forme noventa grados con la recta propuesta, y todo ello sin la ayuda de una escuadra o cartabón, utilizando solamente el compás.
Recta paralela a otra por un punto exterior.Antonio García
Dado un punto P exterior a una recta r, se puede trazar una recta s paralela a r pasando por P. Primero se traza un arco desde P que corta a r en un punto M, luego desde M con radio igual a la distancia MP se traza otro arco que corta a r en un punto N, la distancia NP se traslada desde N hasta M obteniendo el punto Q, y finalmente uniendo P y Q se obtiene la recta s paralela a r que pasa por P.
Dado dos segmentos cualesquiera, hallaremos un tercer segmento que es tercera porporcional de los otros dos siguiendo el razonamiento del quebrado que expresa la proporcionalidad.
Ejercicios Resueltos Transformaciones GeoméTricas En El Plano Z7,Z8 Yqvrrafa
1) El documento contiene varios ejercicios resueltos sobre transformaciones geométricas como homologías, inversión y homotecia.
2) Se explican procedimientos para hallar puntos, figuras y polígonos transformados dados un centro, eje u otros elementos de la transformación.
3) Los ejercicios abarcan temas como hallar puntos homólogos, figuras homólogas de polígonos, puntos afines e inversos de figuras.
El documento presenta varios ejercicios sobre la construcción de curvas cónicas como elipses e hipérbolas. Explica cómo trazar estas curvas dados diferentes elementos como ejes, focos, diámetros conjugados o asíntotas. También muestra cómo determinar puntos de tangencia, intersección con rectas u otros elementos geométricos relacionados con estas curvas.
El documento presenta varios ejercicios sobre la construcción de curvas cónicas como elipses e hipérbolas. Se describen métodos para trazar estas curvas dados diferentes elementos como ejes, focos, diámetros conjugados o asíntotas, así como para determinar puntos tangentes, de intersección con rectas u otros elementos asociados a las curvas cónicas.
Este documento presenta información sobre diferentes construcciones geométricas, incluyendo la bisección de líneas y ángulos, la transferencia de ángulos, y cómo trazar triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y octágonos regulares. También explica cómo trazar círculos a través de puntos dados, encontrar el centro de un círculo, y dibujar tangentes a círculos y curvas de enlace.
1ºdt tema 1 t fundamentales en el plano1 v.7qvrrafa
Este documento trata sobre diferentes conceptos geométricos como lugares geométricos, paralelismo, perpendicularidad, segmentos, ángulos y sus propiedades. Explica cómo construir y trazar estos elementos geométricos de forma fundamental en el plano mediante el uso de compás y regla.
Este documento describe los procedimientos para trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia, incluyendo pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos y decágonos. Para cada polígono, se especifican los pasos para dividir la circunferencia en las partes necesarias y unir los puntos resultantes para formar el polígono regular correspondiente.
El documento describe las secciones cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) y presenta tres métodos para construir cada una: la definición geométrica, el método de las circunferencias concentricas y el método del paralelogramo para la elipse; la definición, el método del paralelogramo y la envolvente parabólica para la parábola. También explica cómo construir una elipse o parábola a partir de un cono recto.
El documento presenta instrucciones para construir diferentes curvas cónicas (elipses, hipérbolas y parábolas) mediante diferentes métodos geométricos como haces proyectivos, envolventes y uso de circunferencias principales y focales. Se explican procedimientos paso a paso para trazar estas curvas dados sus elementos característicos como ejes, focos y vértices.
Este documento presenta apuntes sobre dibujo geométrico para estudiantes de primer año de Educación Secundaria Obligatoria. Incluye instrucciones para realizar operaciones geométricas como trazar rectas paralelas y perpendiculares, sumar y restar segmentos, bisectriz de ángulos, y construir figuras como triángulos, cuadriláteros y circunferencias. Explica conceptos básicos como elementos de la circunferencia y posiciones relativas entre figuras geométricas.
1) El documento presenta 8 ejercicios de construcciones geométricas para trazar circunferencias tangentes a otras figuras geométricas como rectas y circunferencias.
2) Los ejercicios explican paso a paso cómo encontrar los centros y puntos de tangencia requeridos para trazar las circunferencias solución.
3) Los procedimientos incluyen trazar perpendiculares, bisectrices, mediatrices y circunferencias auxiliares para determinar los elementos geométricos necesarios.
Este documento trata sobre lugares geométricos y trazados geométricos fundamentales como perpendiculares, paralelas, segmentos, ángulos y sus propiedades. Explica cómo construir y realizar operaciones con estos elementos geométricos utilizando reglas, compases y escuadras. Incluye definiciones, teoremas y métodos de construcción de perpendiculares, paralelas, mediatrices, bisectrices, divisiones de segmentos y más.
Construcciones BáSicas Para Congruenciaestela muñoz
El documento presenta las construcciones básicas con regla y compás, incluyendo la simetral de un trazo, copiar un ángulo y dibujar la bisectriz de un ángulo. También define el concepto de congruencia y los cinco criterios para determinar si dos triángulos son congruentes: lado-lado-lado, lado-ángulo-lado, lado-lado-ángulo y ángulo-lado-ángulo. Finalmente, describe cómo construir un triángulo dados dos lados y el ángulo opuesto al menor o mayor
El documento proporciona información sobre varios conceptos y trazados geométricos fundamentales como la perpendicularidad, paralelismo, proporcionalidad, sección áurea, ángulos y la circunferencia. Explica cómo construir lugares geométricos como la mediatriz de un segmento y el arco capaz de un ángulo, y cómo aplicar estos conceptos para construir triángulos dados un lado y el ángulo opuesto.
El documento describe varios métodos para construir geometrías como mediatrices, bisectrices, tangentes y espirales usando reglas, compases y cálculos trigonométricos o de coordenadas. Incluye instrucciones paso a paso con ilustraciones para trazar estas figuras geométricas de manera manual o con herramientas como el espirógrafo.
Este documento describe los conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, segmentos, ángulos y figuras geométricas planas como triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica cómo construir estas figuras geométricas utilizando regla, compás y otros instrumentos. El documento contiene instrucciones detalladas para realizar operaciones geométricas y construir diferentes tipos de figuras a partir de la información dada.
Tema 3 polgonos_triangulos_y_cuadrilateros_v7-1o_dtqvrrafa
El documento proporciona información sobre la clasificación y construcción de triángulos y cuadriláteros. Explica cómo los triángulos se pueden clasificar según sus lados o ángulos, y describe elementos notables como las alturas, medianas, bisectrices y circunferencias asociadas. También detalla métodos para construir triángulos dados diferentes combinaciones de lados, ángulos y elementos. Finalmente, presenta una breve clasificación de cuadriláteros.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de la geometría plana, incluyendo geometría métrica (trazados básicos, polígonos, proporcionalidad, circunferencia), geometría proyectiva (homología, afinidad, homotecia) y otros temas como simetría, giro, traslación e inversión. Explica conceptos geométricos fundamentales y ofrece ejemplos ilustrativos de cada tema.
El documento describe diferentes métodos geométricos para construir figuras planas utilizando solo dobleces de papel, como triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y octágonos regulares. También incluye instrucciones para construir un tetraedro regular mediante la unión de triángulos doblados.
1. Los problemas propuestos involucran el cálculo de longitudes y medidas de ángulos formados por segmentos colineales y no colineales ubicados sobre rectas o entre rectas paralelas.
2. Los valores solicitados incluyen longitudes de segmentos, puntos medios y diferencias, así como medidas de ángulos formados entre rectas paralelas, rectas y segmentos colineales.
3. La resolución de los problemas requiere la aplicación de propiedades de ángulos, triángulos, paralelogramos y segmentos colineales
209 ptr-11-angulos en la circunferencia web 2016Pilar Lizama
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con ángulos en la circunferencia. Define conceptos como circunferencia, radio, tangente, arco, ángulo del centro, secante, cuerda y diámetro. Explica cómo se miden los ángulos inscritos, exteriores y semi-inscritos en una circunferencia. Además, incluye 27 problemas de ángulos en la circunferencia con sus respectivas figuras.
Diseñamos un dibujo dentro de un cuadrado, para ello nos basamos en los principios decorativos básicos de la utilización de formas geométricas simples, en este caso el cuadrado.
Instalaremos distintas fuentes tipográficas en Inkscape y dejaremos dicho que también nos van a servir para GIMP y para Libreoffice. También vemos distintas plataformas desde las que descargar distintas fuentes tipográficas, todas ellas de carácter gratuito.
Realizamos el logotipo de la marca Mitsubishi utilizando herramientas básicas del programa Inkscape. En esta ocasión vamos a desarrollar un trabajo de situar elementos en el plano y en referencia con otros objetos.
Utilizando las herramientas básicas de este maravilloso programa de sortware libre dibujaremos el logo de Nike y le daremos un toque personalizado realizando un bonito degradado.
Utilizamos Inkscape, programa de software libre disponible para todas las plataformas, para realizar una tarjeta de felicitación en la cual estudiaremos las herramientas básicas de este marivilloso programa de diseño vectorial.
Apredemos a configurar la versión 2.10 de este magnífico programa de edición de imágenes. La versión que estudiamos viene por defecto en un entorno muy diferente de las anteriores, por lo que puede ser muy interesante saber cambiar su aspecto a algo más parecido al de versiones anteriores, sobre todo si estamos acostumbrados a ese aspecto concreto.
El documento describe los pasos para crear un diseño con formas geométricas básicas como cuadrados, triángulos y círculos usando el programa de dibujo técnico Librecad y luego rellenar las formas con colores usando el programa de edición de imágenes GIMP. Los pasos incluyen dibujar las formas, exportar el diseño como imagen PNG, abrir la imagen en GIMP, seleccionar colores de la paleta y rellenar las formas con la herramienta de cubeta.
Diédrico: distancia entre dos planos paralelos.Antonio García
Para encontrar la distancia entre dos planos paralelos, se traza una recta perpendicular a ambos planos. Luego, se encuentran los puntos donde la recta intersecta cada plano y se mide la diferencia de cotas entre esos puntos. La distancia entre los planos es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la línea entre los puntos y la recta perpendicular.
El documento describe un método geométrico para calcular la distancia entre un punto A y un plano P. Primero se traza una línea r que pasa por A y es perpendicular a las trazas del plano P. Luego se traza un plano proyectante Q que contiene r. La intersección de los planos P y Q es una línea s. Finalmente, la distancia es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la diferencia de cotas entre los puntos de intersección de r y s.
Intersección de dos planos paralelos a la L.T.Antonio García
Este documento describe la intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra. El plano P es perpendicular al segundo bisector y atraviesa tres diedros, mientras que el plano Q atraviesa tres diedros diferentes y corta al plano P por debajo de la línea de tierra. El documento explica cómo usar un plano de perfil para ver la posición de los dos planos en una tercera proyección y cómo la unión de las trazas giradas y abatidas con las trazas verticales inamovibles da la tercera proyección de cada plano
Realización de la figura plana denominada octógono por el método que se denomina dado el lado, en contraposición al que se denomina inscrito en la circunferencia.
Circunferencias tangentes a circunferencias pasando por un punto P exterior..Antonio García
Buscamos las circunferencias tangentes a otras dos y que a su vez pasen por un punto dado P, que es exterior a las circunferencias propuestas. Vamos a utilizar el concepto de inversión positiva.
Circunferencias tangentes a circunferencias pasando por un punto P.Antonio García
En esta ocasión hay que resolver el problema de hacer pasar las circunferencias por un punto dado y que sean tangentes a las propuestas. Para ello empleamos los conceptos de inversión y potencia de un punto respecto de una circunferencia. Este par de soluciones que aquí se entregan están halladas por inversión negativa, es decir situando el centro de inversión entre los dos puntos inversos, los centros de las circunferencias propuestas. Ni que decir tiene que existen otro par de soluciones que se resuelven por inversión positiva.
Realizar la pieza dada a escala 1:1 resolviendo los problemas básicos de tangencias entre circunferencias, suma y resta de radios, tangencias interiores y exteriores entre circunferencias de radio conocido.
Circunferencias tangentes exteriores a una recta y a una circunferencia, pasa...Antonio García
Hemos de resolver el caso de circunferencias que pasando por un punto o lugar determinado, son tangentes a dos elementos propuestos cuales son una recta y una circunferencia. Para resolver este problema clásico que se atribuye a Apolonio de Perga, hemos de echar mano de los conocimientos adquiridos sobre transformaciones geométricas, como son la inversión y la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y que aquí ejercen un papel prerponderante.
Apolonio: circunferencias tangentes interiores a una circunferencia que pasan...Antonio García
Este documento describe cómo resolver el noveno problema de Apolonio para encontrar las circunferencias tangentes interiores a una circunferencia dada y a una recta, que también pasan por un punto dado. Se utiliza el concepto de inversión negativa para transformar el problema en uno de autoinversión. Trazando varias circunferencias auxiliares, se determinan los puntos de tangencia en la recta original para luego hallar los centros de las dos circunferencias solución.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
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2. Ejercicio Nº 41
Dada una par de segmentos homológicos AB y A'B' y el punto doble P, hallar el
homológico del punto C
A
B
P=P'
A'
C
B'
3. 1º Unimos A y B así como A' y B' el punto de corte es un punto del eje.
2º Unimos el punto anterior 1 con el punto dado P = P' y tenemos el eje.
A
B
P=P'
A'
C
B'
eje
1
4. 3º Unimos A' y A así como B' y B y obtenemos el punto O centro de Homología.
4º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje,
si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el
punto solicitado
A
B
P=P'
A'
C
B'
eje
1
O
5. 4º Unimos el punto C con O.
A
B
P=P'
A'
C
B'
eje
1
O
6. 5º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje,
si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el
punto solicitado
A
B
P=P'
A'
C
B'
eje
C'
1
O
2
7. Ejercicio Nº 42
De una homología se conocen el centro, O, el eje, e, y la pareja de puntos
homólogos A-A'. Hallar el homólogo del punto B.
eje
O
B
A'
A
8. 1º Tomamos un punto cualquiera C y hallamos el homólogo C' por medio del punto A-A',
Unimos C con O, unimos C con A y prolongamos C-A hasta que corte el eje en el punto
1, unimos 1 con A' y determinamos el punto C' al cortarse con la recta C-O
eje
O
B
A'
A
C'
C
1
9. 2º Unimos B con C y nos da el punto 2 al cortarse con el eje, si unimos el punto C' con el
punto 2 y determinamos el punto B' solicitado.
eje
O
B
A'
A
C'
C
B'
1
2
10. Ejercicio Nº 43
En una homología se conocen el centro, O, el eje, e y la recta limite RL, hallar
la figura homológíca del triángulo ABC
eje
A
B
C
11. 1º El punto C es un punto doble por estar situado en el eje por lo tanto C=C'.
eje
O
A
B
C=C'
RL
12. 2º Prolongamos el lado A-C hasta que corte a la recta limite RL en el punto
1.Unimos el punto anterior 1 con el centro de homología O.
eje
O
A
B
C=C'
RL
1
13. 3º Por el punto C trazamos una paralela a la recta anterior O1, unimos O con A y el
punto de corte con la recta anterior nos determina el punto A' homologo del A .
eje
O
A
B
C=C'
RL
A'
1
14. 4º Unimos el punto A' con el punto 2 que corta en B' a la recta O-B y tenemos
resuelto el problema
eje
O
A
B
C=C'
RL
A'
1
B'
2
15. Ejercicio Nº 44
Hallar la figura homológica del paralelogramo ABCD conociendo el centro, O,
el eje, e, y la recta limite RL‘
A
B
C
D
eje
RL'O
16. 1º El punto A es un punto doble por encontrarse en el eje por lo tanto A=A'.
A=A'
B
C
D
eje
RL'O
17. 2º Trazamos la recta límite RL sabiendo que la distancia entre el eje, el centro
de homología y las rectas límites RL y RL' es como se acota en la figura.
A=A'
B
C
D
eje
RL'O
RL
D
D
D
'
D'
18. 3º Prolongamos el lado CD hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1,
unimos el punto 1 con el centro O y por el punto 2 trazamos una paralela a O1
que corta a la recta CO en el punto C' homologo del C.
A=A'
B
C
D
eje
RL'O
RL
C'
1
2
D
D
D
'
D'
19. 4º Prolongamos el lado CB hasta que corte al eje en el punto 3 unimos 3 con
C' que corta al lado AB en el punto B' que es el punto que nos falta.
A=A'
B
C
D
eje
RL'O
RL
C'
3
1
2
B'
D
D
D
'
D'
20. 5º Unimos D con O y obtenemos el vértice D’ homologo del D
A=A'
B
C
D
eje
RL'O
RL
C'D'
3
1
2
B'
D
D
D
'
D'
21. 6º Unimos los vértices A’, B’, C’ y D’ y tenemos la figura homologa buscada
A=A'
B
C
D
eje
RL'
O
RL
C'D'
3
1
2
B'
D
D
D
'
D'
22. Ejercicio Nº 45
Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadrado
Sea el cuadrilátero ABCD y queremos que su transformada sea un cuadrado.
A
B
C
D
23. 1º Se determina la recta Limite y el Centro de homología. Si Prolongamos los lados
opuestos AB y CD, su punto de intersección 1 es un punto de la RL, si prolongamos BC
y AD obtenemos el punto 2 que es otro punto de RL, Se traza RL.
A
B
C
D
3
1
4
2
24. 2º Prolongamos las diagonales que cortan a RL en los puntos 3 y 4.El centro de
homología debe ser un punto en que se vean los segmentos 1-2 y 3-4 bajo un ángulo
recto trazamos dos lugares geométricos que son dos semicircunferencia de diámetros 1-
2 y 3-4 que se cortan en el punto C, Centro de homología.
A
B
C
D
RL
3
1
4
2
C
25. 3º El eje se coloca a cualquier distancia solamente influye para la longitud del lado del
cuadrado. Unimos el centro de homología con los puntos 1, 2, 3 y 4. Los lados del
cuadrado serán paralelos a la dirección C-1 y C-2 como se ve en la figura. Por el eje se
trazan paralelas a C-1 y a C-2 tal como vemos y ya tenemos el cuadrado, las diagonales
no hace falta trazarlas.
A
B
C
D
RLeje
3
1
4
2
C
26. Como se ve no hace falta tampoco unir el centro de homología con los puntos A, B, C y
D para determinar los homólogos pero se hace para que se vea que cumple la
homología
A
B
C
D
RLeje
3
1
4
2
C
D'
A'
B'
C'
27. Ejercicio Nº 46
Transformación homológica de la circunferencia en una elipse
Datos centro C, eje e y la recta limite RL, así como la circunferencia de centro O que
corta el eje en los puntos J y K.
O
C
JK
RL
eje
28. Por C trazamos una recta cualquiera CN, por el punto N se trazan las tangentes a la
circunferencia t1 y t2, cuyos puntos de tangencia son T1 y T2, centro
O
C
T2
T1
N
1
JK
t1
t2
2
RL
eje
29. Prolongamos la recta T1-T2 se obtiene el punto M desde el que se trazan las
otras dos tangentes t3 y t4 cuyos puntos de tangencia son T3 y T4
O
C
T2
T1
N
M
t3
t4
T3
T4
1
JK
3
t1
t2
2
RL
eje
30. Si unimos T3 y T4 dan otra cuerda que pasa por N . Las direcciones CN y CM
son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse
O
C
T2
T1
O1
N
M
t3
t4
T3
1
J
4
K
3
t1
t2
2 R
RL
eje
31. Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse
de centro
Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2
Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4
Hallamos los puntos de tangencia de T1, T2, T3 y T4, puntos T'1, T'2, T'3 y T'4.
O
C
T2
T1
O1
N
M
t3
t4
T3
O'1
T'2
T'3
1
J
4
K
3
t1
t2
2 R
RL
eje
32. Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2
Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4
O
C
T2
T1
O1
N
M
t3
t4
T3
T4
O'1
T'2
T'3
T'4
T'1
1
J
4
K
3
3
t1
t2
t'4
t'3
t'2
2 R
RL
eje
33. Hallamos los homólogos de los puntos de T1, T2, T3 y T4, uniendo estos con el
centro de homología y donde corte a las rectas anteriores determinan los punto
homólogos T'1, T'2, T'3 y T'4.
O
C
t
t'
T2
T1
O1
N
M
t3
t4
T3
T4
O'1
T'2
T'3
T'4
T'1
1
J
4
K
3
3
t1
t2
t'4
t'3
t'2
2 R
RL
eje
35. Ejercicio Nº 47
En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L /
AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF
e
36. 1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares
al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje
e
B
C-C'
D
E
F
37. 2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y
trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t,
unimos s y t.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
r
38. 3º Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t
que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada
en la razón de afinidad 3/4.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
r
39. 3º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la
razón de 3/4.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
r
40. 4º Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto
con B' y determinamos el vértice A'.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
r
41. 5º Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice
D'.
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
D'
r
42. 6º Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y
obtenemos el vértice F'.
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
F'
D'
r
43. 7º Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
F'
E'
D'
r
44. Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afin del exágono dado.
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
F'
E'
D'
r
45. Ejercicio Nº 48
Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'
A
B B'
C
D
Eje
46. 1º Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos
paralelas al eje.
A
B B'
C
D
Eje
47. 2º Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el
eje con B' y obtenemos el vértice A'.
A
B B'
C
D
Eje
A'
48. 3º Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con
B' y obtenemos el vértice C'.
A
B B'
C
D
Eje
A'
C'
49. 4º Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y
obtenemos el vértice que nos falta D'
A
B B'
C
D
Eje
A' D'
C'
50. Ejercicio Nº 49
En una homología se da el centro O, la recta limite RL y el eje e. Hallar la figura
homóloga del polígono ABCDEF.
O
e
B
C
E
F
A
D
51. 1º Prolongamos los lados A-B y A-F, hasta que corten a la recta limite RL en N
y M respectivamente. Unimos el centro O con N y M.
O
e
B
C
E
F
N
M
A
D
52. 2º Por el punto A trazamos paralelas a ON y OM unimos el centro O con B y F
que cortan a las paralelas a ON y OM respectivamente en B' y F'
O
e
A'
B
C
E
F
N
M
B'
F'
A
D
53. 3º Como BF que contiene a los vértices C y E es paralela al eje su homóloga
también lo es, por lo que la recta B'-F' es paralela al eje, unimos B'-F' y nos da
el punto C' al cortar a la recta que une O y C, y E’ al cortar la recta O-E.
O
e
A'
B
C
E
F
N
M
B'
F'
A
C'
E'
D
54. 4º Unimos D y C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' que corta a la
recta que une O con D en el vértice D'.
O
e
A'
B
C
D'
E
F
N
M
B'
F'
A
C'
E'
D
55. 5º Unimos E’ y D’ y tenemos la figura afín de la dada.
O
e
A'
B
C
D'
E
F
N
M
B'
F'
A
C'
E'
D
56. Ejercicio Nº 50
Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB =30 mm.,
en una homología de centro O, eje e y siendo A' el punto homólogo de A.
Realizar el dibujo a escala 2:1
O
A
A'
B
e
58. 2º Trazamos el Triángulo equilátero de lado dado hacemos centro en A con
radio AB, hacemos centro B con el mismo radio y determinamos el otro vértice
C. (se podría construir el triángulo por el otro lado)
eje
O
A
A'
B
C
59. 3º Unimos el centro O con A, C y B en estas rectas tienen que estar sus
homólogos
eje
O
A
A'
B
C
60. 4º Prolongamos A-B hasta que corte el eje punto 1, unimos el punto 1 con A' y
obtenemos B'.
eje
O
A
A'
B
C
B'
61. 5º Unimos A' o B' con el punto que la recta AC o la BC corta al eje y
obtenemos el punto C'.
eje
O
A
A'
B
C
B'
C'
62. Ejercicio Nº 51
Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las
figura afín de la dada.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
63. 1º La dirección de afinidad es la recta A-A'
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
d.a
64. 2º Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la
dirección de afinidad d.a.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
d.a
65. 3º Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el
vértice B'.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1
B'
d.a
66. 4º Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con
B' y obtenemos los vértices C', F' y G'
5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.
6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1
B' F'
C'
G'
d.a
67. 5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1 2 3 4
B'
D'
E'
F'
C'
G'
H'
d.a
68. 6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1 2 3 4
B'
D'
E'
F'
C'
G'
d.a
69. Ejercicio Nº 52
Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del
A.
A
B
C
D
A'
eje
70. 1º La dirección de afinidad es la recta A-A'.
d.a.
A
B
C
D
A'
eje
71. 2º Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección
afinidad A-A'.
d.a.
A
B
C
D
A'
eje
72. 3º Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el
punto A' y obtenemos el punto B'.
d.a.
A
B
C
D
A'
B'
1
eje
73. 4º Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los
puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y
D', que son los otros dos vértices de la figura afín.
d.a.
A
B
C
D
A'
C'
D'
B'
1
2
3
eje
74. 5º También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los
vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son
sus afines A'-D' y B'-C'
Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.
d.a.
A
B
C
D
A'
C'
D'
B'
1
2
3
eje
75. Ejercicio Nº 53
Dado el trapezoide ABCD y el punto doble P = P', hallar el eje y el centro de
homología, para que se transforme en un cuadrado el trapezoide ABCD.
P=P'
A
D
B
C
76. 1º Prolongamos los lados del trapezoide que no se corta AB y CD que se
cortan en el punto M, AD y BC que se cortan en el punto N, los puntos M y N
son puntos de la recta limite RL.
P=P'
A
D
B
C
M
N
77. 2º Prolongamos las diagonales que cortan a la RL en los punto F y Q
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
78. 3º Por P = P' trazamos una paralela a RL que es el eje de homología.
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
eje
79. 4º Para determinar el centro de homología con la condición de que el trapezoide se
transforme en un cuadrado tenemos que tener un punto que vea a las diagonales y a los
lados que se cortan con un ángulo de 90º, para eso trazamos la mediatriz de MN y
trazamos una semicircunferencia de diámetro MN, hacemos lo mismo con los punto de
corte de las diagonales FQ y donde se corte ambas semicircunferencias resulta el centro
de homología O.
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
O
eje
80. 5º Unimos O con M y con N que son las direcciones de los lados del cuadrado
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
O
eje
8
8
81. 6º Prolongamos las rectas MDC y NDA hasta que corten al eje por los puntos de corte
con el eje trazamos paralelas a OM y ON respectivamente, donde se corten ambas
paralelas es el vértice D'.
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
O
eje
8
8
82. 7º Por los puntos de corte con el eje de las rectas MDC y NDA trazamos paralelas a OM
y ON respectivamente, donde se corten ambas paralelas es el vértice D'.
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
O
eje
8
8
83. 8º Unimos el centro de homología O con los vértices A, B, C y D y obtenemos los
vértices homólogos A’, D’ y C’
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
O
eje
8
8
C'
A'
D'
84. 9º Unimos C’ con el punto de corte del lado B-C con el eje y obtenemos el vértice B’, se
podria hacer lo mismo uniendo A’ con el punto de corte del lado A-B.
P=P'
A
D
B
C
RL F
M
Q
N
O
eje
8
8
C'
B'
A'
D'
85. Ejercicio Nº 54
Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura
afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:
e
A
A'
87. 2º Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.
d.a
A
A'
eje
88. 3º Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.
d.a
A
A'
B
C
D
eje
89. 4º Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo
prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el
vértice B'.
d.a
A
A'
B'
B
C
D
eje
1
90. 5º Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando
obtenemos el punto C'.
d.a
A
A'
B'
B
C
C'
D
eje
1
2
91. 6º prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este
con C' y obtenemos el vértice D'.
d.a
A
A'
B'
B
C
C'
D
D'
eje
1
2
3
92. Ejercicio Nº 55
Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la
elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elips
r
s C
s'
r'
93. 1º La dirección de afinidad (d.a.) es la recta que une P y P' puntos donde se
cortan r-s y r'-s'.
r'
s'
C
s
r
P
P'
d.a
94. 2º Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r - r'
y s-s' puntos 1-1' y 2-2'.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
1-1'
2-2'
95. 3º Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este
punto trazamos la recta 3-3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por
3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la
anterior en C' afín del C.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
1-1'
2-2'
3
3'
96. 4º Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos
paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
1-1'
2-2'
3
3'
97. 4º Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo
unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'1-1'
2-2'
3
3'
98. 5º Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A',
punto M’
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
1-1'
2-2'
3
3'
99. 6º Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’
que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los
puntos N' y N.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
1-1'
2-2'
3
3'
100. 7º Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
1-1'
2-2'
3
3'
101. 8º Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
1-1'
2-2'
3
3'
102. 9º Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los
ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
F'
G'
H'
I'
1-1'
2-2'
3
3'
103. 7º Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus
puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse
paralelas a los ejes tal como vemos en la figura
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
F'
G'
H'
I'
1-1'
2-2'
3
3'
104. Ejercicio Nº 56
Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del
centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2:1
e
O
O'
106. 2º La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.
eje
O
O'
d.a
107. 3º Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos
una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son
puntos de los ejes.
eje
O
O'
d.a
GM
N
108. 4º Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de
la circunferencia.
eje
O
O'
d.a
A
B
C
D
GM
N
109. 5º determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D.
Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los
las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.
eje
O
O'
d.a
A
B
C
D
G
C'
A'
D'
B'
M
N
110. 6º Por ultimo se dibuja la elipse 6º Por ultimo se dibuja la elipse
eje
O
O'
d.a
A
B
C
D
G
C'
A'
D'
B'
M
N