Saia uft

1. REPUBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA “SAIA”
ESCUELA DE INGENIERIA
Realizado Por:
Vicente Simosa
C.I:27767325
Mérida, marzo de 2019
Derivadas implícitas y
Orden superior

2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Se empieza con conceptos e ideas claves para entender el método de derivación o
diferenciación implícita, pasando a establecer los pasos para obtener la derivada de una
función por este método cuando la función viene dada por una ecuación en que la variable
dependiente no está despejada. Un ejemplo es desarrollado usando la notación de Leibniz
EJEMPLOS
En el video mostramos dos ejemplos de cómo obtener la derivada, y´, cuando la función
viene determinada implícitamente por una ecuación, empleando el método de derivación o
diferenciación implícita. Se usa la notación prima, ´, se muestra cómo derivar distintos
términos y se dan recomendaciones de cómo despejar y´.
La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente,
esto es a funciones definidas por una ecuación en que la y no esta despejada. La ventaja de
este método es que no requiere despejar y para encontrar la derivada.
Para conseguirla derivada de y con respecto a x, dy/dx:
Primero se deriva ambos miembros de la ecuación con respecto a x, tomando en cuenta en
todo momento que y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto
a x, hay que aplicar la regla de la cadena.
Finalmente, se despejar dy/dx.
Pasos recomendados para despejar dy/dx.
P1 Si hay denominadores, multiplique ambos miembros por el mcm de los denominadores,
a fin de eliminarlos.
P2 Elimine los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva si es el caso.
P3 Agrupe los términos con dy/dx en un miembro y los otros términos en el otro miembro.
P4 Saque factor común dy/dx.
P5 Pase a dividir el factor de dy/dx.
Un ejemplo con logaritmo resuelto siguiendo los pasos
A continuación, un ejemplo con logaritmos, donde es conveniente antes de derivar,
reescribir la ecuación aplicando las propiedades de los logaritmos hasta que ningún
logaritmo sea producto, cociente o potencia.
Ejemplo Consiga dy/dx por derivación implícita

3. Solución
Preparamos antes de derivar, para que la derivación resulte más fácil. Como tenemos el
logaritmo de un producto aplicamos la propiedad, es la suma de los logaritmos,
aprovechamos de reescribir el radical
Ahora se deriva implícitamente. Se deriva el lado izquierdo y el derecho con respecto a x.
Recuerde que y es función de x. El lado derecho es una constante, su derivada es cero
Falta despejar y´.
Seguimos las recomendaciones para despejar una variable que está lineal en una ecuación.
Primero multiplicar por el mcm de los denominadores (2xy ), a fin de eliminarlos, queda
La última simplificación se obtuvo al sacar -2y de factor común en el numerador y x en el
denominador. Los otros factores resultaron iguales, se cancelaron.
Derivada de orden superior
Sea y = f(x) una función derivable. La derivada de orden k es la función que se obtiene al
derivar (respecto de x) la función k veces consecutivas, y se denota como:
begin{equation*} frac{d^{k}y}{dx^{k}} = f^{(k)}(x) end{equation*}
El número k se conoce como el orden de la derivada.
Prestamos fáciles y rápidos
Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por
ejemplo, la derivada de la función y = x^2 es y' = 2,x. Observa que y' es otra función,
generalmente diferente a y. Si volvemos a derivar la función, obtenemos la segunda
derivada de la función:
begin{eqnarray*} text{Si } y = f(x) &Rightarrow& y' = f'(x)text{ es la primera
derivada de la funci'on,} &Rightarrow& y'' = dydxf{f'(x)} = f''(x)text{ es la segunda
derivada,} &Rightarrow& y''' = dydxf{f''(x)} = f'''(x)text{ es la tercera derivada,}
&Rightarrow& y^{(4)} = dydxf{f'''(x)} = f^{(4)}(x)text{ es la cuarta derivada,
etc.} end{eqnarray*}
Contenido [Mostrar]
Derivada de orden superior

4. Sea y = f(x) una función derivable. La derivada de orden k es la función que se obtiene al
derivar (respecto de x) la función k veces consecutivas, y se denota como:
begin{equation*} frac{d^{k}y}{dx^{k}} = f^{(k)}(x) end{equation*}
El número k se conoce como el orden de la derivada.
Ejemplo
Calcula la derivada de orden 5 de la siguiente función:
begin{equation*} y = cos x end{equation*}
Tenemos que derivar tres veces para obtener la derivada de orden 3. Aquí está la primera
derivada:
begin{equation*} frac{dy}{dx}= -sin x end{equation*}
La segunda derivada es:
begin{equation*} frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -cos x end{equation*}
La tercera derivada de la función es:
begin{equation*} frac{d^{3}y}{dx^{3}} = sin x end{equation*}
La derivada de cuarto orden es:
begin{equation*} frac{d^{4}y}{dx^{4}}{4} = cos x end{equation*}
Y Finalmente, la derivada de quinto orden es:
begin{equation*} frac{d^{5}y}{dx^{5}} = -sin x end{equation*}

5. Calcula la derivada de orden 3 de la función:
begin{equation*} y = e^{-x^2} end{equation*}
Para calcular la primera derivada usamos las reglas de derivación de la función exponencial
y de la cadena:
begin{equation*} frac{dy}{dx}= -2,xe^{-x^2} end{equation*}
Para calcular la segunda derivada tenemos que aplicar, además, la regla del producto.
Definimos u = -2,x, y v = e^{-x^2}. Entonces,
begin{equation*} frac{du}{dx} = -2qquadmbox{ y }qquaddvdx = -2,xe^{-x^2}
end{equation*}
Ahora sustituimos en la regla para derivar el producto de dos funciones:
begin{equation*} frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 4,x^2e^{-x^2} - 2,e^{-x^2}
end{equation*}
La derivada de tercer orden se obtiene derivando de nuevo. Para eso, definimos: u = 4,x^2,
y v = e^{-x^2}, por lo que ahora:
begin{equation*} frac{du}{dx} = -8,xqquadmbox{ y }qquaddvdx = -2,xe^{-
x^2} end{equation*}
Ahora sustituimos para terminar:
begin{eqnarray*} frac{d^{3}y}{dx^{3}} &=& left(4,x^2right)cdotleft(-2,xe^{-
x^2}right) + left(e^{-x^2}right)cdotleft(-8,xright) + 4,xe^{-x^2} &=& -8,x^3e^{-
x^2} -8,xe^{-x^2} + 4,xe^{-x^2} &=& left(-8,x^3 -8,x + 4,xright)e^{-x^2}
end{eqnarray*}
Con lo que terminamos.
Ahora haremos un paréntesis para entender qué representa la segunda derivada. Esto, a su
vez, nos permitirá entender qué representan las derivadas de orden 3, 4, etc.
Primero debemos recordar que la derivada es una razón de cambio instantánea, es decir, la
primera derivada nos dice si la función está creciendo o decreciendo en un punto. Por

6. ejemplo, cuando estudiamos la parábola y = 2 - x^2, encontramos que la derivada de la
función es positiva para valores de x negativos y negativa para valores de x positivos. En
otras palabras, la función es creciente a la derecha y decreciente a la izquierda.
Pero observa que la pendiente de las rectas tangentes (es decir, el valor de la derivada de la
función evaluada en el punto de tangencia) va disminuyendo cada vez más, porque la
primer tangente que se dibujó tiene mayor pendiente que la segunda, y ésta a su vez tiene
una pendiente mayor a la siguiente y así sucesivamente, hasta que llegamos a x = 0, donde
la pendiente es cero y la recta tangente a la parábola es horizontal. A partir de ahí la
pendiente se hace negativa y sigue decreciendo, o en otras palabras, crece con signo
negativo.
La primera derivada de esta función es: y' = -2,x. La segunda derivada es: y'' = -2. Esto nos
dice que la primera derivada tiene una razón de cambio instantánea constante e igual a -2.
Esto nos indica que la pendiente de la recta tangente (el valor de la primera derivada)
cambia en -2 unidades cada vez que x aumenta 1 unidad. Observa la recta tangente a la
función en x = -1. ¿Puedes decir cuánto vale la pendiente de esa recta?
Ahora compara ese valor con la pendiente de la recta tangente en x = 0. Y después compara
este valor con la

7. pendiente de la recta tangente a la función en x = 1. El valor de la pendiente del siguiente
punto de tangencia lo obtienes sumando -2 al anterior, y esto es así porque la segunda
derivada nos dice cómo cambia la primera derivada. A su vez, la tercera derivada nos dice
cómo cambia la segunda derivada, y así sucesivamente.