El documento habla sobre las funciones implícitas y explícitas. Explica que las funciones implícitas están definidas por una ecuación en lugar de una expresión explícita. Luego, describe el método de derivación de funciones implícitas usando derivadas parciales y la regla de la cadena. Finalmente, analiza casos de funciones continuas pero no derivables en ciertos puntos.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
Integrante:
José Miguel Castillo Z.
CI. 21128039
Matemática I

2. Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y
= 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
En general las funciones se han presentado de la forma , expresando una
variable en términos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables están
implícitas.
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está
escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el
contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida
implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo,
¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil
despejar y como función explícita de x?

3. El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación
será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde
aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el
segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis
cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,

4. ,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
segundo,

5. ahora el cociente,
acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Otros ejemplos:
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta
derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo
presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Ejemplos

6. Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar
el cálculo:
Ejemplos
Diferencial de una función
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al
incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.

7. Interpretación geométrica
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la
tangente, correspondiente a un incremento de la variable.
Ejemplos

8. Aplicamos la definición de logaritmo:
Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del
cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se
comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

9. Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando
ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una
esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia
milésimas de centímetro.
Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las aproximaciones del
error absoluto y relativo?
Derivabilidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que,
sin embargo, no son derivables.

10. Ejemplos
Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

11. f(x) = x2 en x = 0.
La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
En x = 0 la función es continua y derivable.
Dada la función:
¿Para qué valores de a es derivable?

12. Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en
todos sus puntos:
Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la función no
es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de
a y b que hagan continua la función.
Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.
Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

13. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

14. La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es
derivable.
Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas
trigonómetricas inmediatas.
Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.