El documento explica los conceptos de derivación implícita y funciones implícitas. Detalla que una función está definida implícitamente cuando la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Explica la estrategia para derivar funciones implícitas que involucra derivar ambos lados de la ecuación y despejar dy/dx. También cubre el uso de la regla de la cadena para funciones donde las variables no coinciden.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
DERIVACIÓN IMPLICITA
INTEGRANTE:
Miguel Colmenarez
C.I: 24667969
Sección: 1

2. DERIVACIÓN IMPLICITA
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita
cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene
dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero .
Estrategia para la Derivación Implícitas
1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x
2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y
pasar todos los demás a la derecha.
3. Sacar factor común en la izquierda.
4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x,
viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
despejando y, así, y = 1 / x = x -1
, obteniendo su derivada fácilmente: .

3. El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo
hallar dy/dx para la ecuación x2
- 2y3
+ 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como
función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación
será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la
y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo
término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el
tercer término.
.

4. La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar
y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta
ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

5. Derivar las funciones:
1.
2.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:
Ejemplo: