El documento explica los conceptos de derivación implícita de funciones. Indica que las funciones implícitas están definidas por una ecuación en lugar de una expresión explícita, y presenta la fórmula para calcular la derivada de una función implícita con respecto a la variable independiente. También cubre derivadas parciales de funciones de varias variables y aplica la regla de la cadena para derivar términos que involucren a la variable dependiente. El documento concluye con ejemplos resueltos de derivación implícita.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Extensión: Barquisimeto
Derivación Implícita
Participante: José Loreto
Mant. Mecánico
Barquisimeto,2 de septiembre del 2015

2. Derivación Implícita
Funciones explicitas y funciones implícita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos
están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y
= 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada
fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo,
¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil
despejar y como función explícita de x?
Derivada de funciones implícitas.
La derivada de la función implícita definida mediante la
ecuación puede calcularse: o bien despejando lay , o bien, mediante la
siguiente fórmula:
, siempre que
Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular
mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como
función de x.
Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables
definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las
fórmulas:
; , siempre que
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la
función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de
y entonces la ecuación define una función
explícita en un entorno de con
Dada la ecuación Si el punto cumple la
ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un

3. entorno de y entonces la ecuación define
una función explícita en un entorno de dicho punto.
El método de regla de la cadena para las funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación
será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde
aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el
segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis
cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,

4. extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
segundo,
ahora el cociente,

5. acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con
algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el
tema de derivación implícita.
Ejercicios:
Ejemplo # 1
si , encontrar .
Derivamos ambos lados de la ecuacion.
Recordemos que y es una funcion de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla
de la cadena.
y resolvemos para .
--Jorgetr 22:54 16 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #2
Encontrar y' de:
aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuacion, para quitar el
exponente x.
por leyes de los logaritmos.

6. derivamos implicitamente.
despejamos y'-
sustituimos y.
--Jorgetr 02:17 29 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #3
Derivamos implicitamente:
Dejamos y prima de un solo lado
Aplicamos Factor comun y prima
dividimos de ambos lados
Ejemplo # 4

7. Cambiamos el cos(y) a funcion de el sen(y) que seria
despejamos cos(y)
Respuesta:
--Antonio Moran 20:31 31 jul 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 5
Cambiamos el sen(y) a funcion de el cos(y) que seria
despejamos sen(y)
Respuesta: