Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas e incrementos. Explica la definición de incremento y cómo calcular el incremento en una función. Luego introduce conceptos como tasas de cambio, límites, análisis marginal y costo marginal. Proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.

1. LA DERIVADA
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2. INCREMENTOS Y TASAS
 El calculo diferencial es el estudio del
cambio que ocurre en una cantidad
cuando ocurren variaciones en otras
cantidades de las cuales depende la
cantidad original
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3. Incremento
 Definición: Sea x una variable con un
primer valor x1 y un segundo valor x2.
Entonces el cambio en el valor de x,
que es x2 – x1, se denomina
incremento de x y se denota por Δx
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4. Ejemplo 1
 El volumen de ventas de gasolina de cierta
estación de servicio depende del precio
por litro. Si p es el precio por litro en
centavos, se encuentra que el volumen de
ventas q (en litros por dia) esta dado por
q = 500(150-p)
Calcule el incremento en el volumen de
ventas que corresponde a un incremento
de 120¢ a 130¢
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5.  Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1 para
x2, tenemos x2 = x1 + Δx. Usando este valor
de x2 en la definición de Δy, obtenemos
Δy=f(x1 + Δx) - f(x1)
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x
la ecuación se puede escribir como
Δy=f(x + Δx) - f(x)
En forma alternativa
y+Δy=f(x + Δx)
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6. Ejemplo 2
 Dada f(x)=x2, calcule Δy si x = 1 y
Δx=0,2
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7. Ejemplo 3
 En el caso de la funcion y = x2,
determine Δy cuando x=1 para
cualquier incremento de Δx
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8. Ejemplo 4
 De nuevo considere la función y = x2
y determine Δy para los valores
generales de x y Δx
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9. Tasa de cambio
 La tasa de cambio promedio de un función
f sobre un intervalo de x a x + Δx se define
por la razón de Δy/ Δx. Por tanto, la tasa
de cambio promedio de y con respecto a x
es
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
=
∆x ∆x
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10. Ejemplo 6
 Un fabricante de productos químicos advierte
que el costo por semana de producir x
toneladas de cierto fertilizante esta dado por
C(x)=20000+40x y el ingreso obtenido por la
venta de x toneladas esta dado por
R(x)=100x-0.01x2. La compañía actualmente
produce 3100 toneladas por semana, pero
está considerando incrementar la producción
a 3200 toneladas por semana. Calcule los
incrementos resultantes en el costo, el
ingreso y la utilidad. Determine la tasa de
cambio promedio de la utilidad por tonelada
extra producida.
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11. Limites
 Sea f(x) una función que está definida en
todos los valores de x cerca de c, con la
excepción posible de c mismo. Se dice
que L es el limite de f(x) cuando x tiende
a c, si la diferencia entre f(x) y L puede
hacerse tan pequeña como se desee con
solo restringir a x a estar lo
suficientemente cerca de c. En símbolos,
escribimos:
lim f ( x) = L
x →c
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12. Ejemplo 1
 Si f(x) = (x2-9)/(x-3), evalué lim f(x)
x3
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13. lim(mx + b) = mc + b
x →c
lim bf ( x) = b lim f ( x)
x →c x →c
lim[ f ( x)] = lim f ( x)
x →c
n
[ x →c
] n
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14. Ejemplo 2
 Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos
el resultado
lim(2 x + 3) = 2(1) + 3 = 5
x →c
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15. Ejemplo 3
 Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos
el resultado
 
lim x = lim x  = 32 = 9
2 2
x →3
 x →3 
 
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16. lim 5(2 x + 3) −1 = 5 lim(2 x + 3) −1
[ ]
x →1 x →1
−1
= 5 lim(2 x + 3)
x →1
= 5[ 2(1) + 3] = 5(5) −1 = 1
−1
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17. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim[ f ( x)] + lim[ g ( x)]
x →c x →c x →c
lim[ f ( x) − g ( x)] = lim[ f ( x)] − lim[ g ( x)]
x →c x →c x →c
lim[ f ( x) g ( x)] = lim[ f ( x)] lim[ g ( x)]
x →c x →c x →c
lim[ f ( x) ÷ g ( x)] = lim[ f ( x)] ÷ lim[ g ( x)]
x →c x →c x →c
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18. LA DERIVADA
Ejemplo
Durante el periodo de 10 años de 1970 a
1980, se encontró que la población de
cierto país estaba dada por la formula
P(t)=1+0,03t+t2
En donde P está dado en millones y t es el
tiempo medido en años desde el inicio de
1970.
Calcule la tasa de crecimiento instantánea al
inicio de 1975
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19. Sea y = f(x) una función dada. La derivada
de y con respecto a x, denotada por dy/dx,
se define por
dy ∆y
= lim
dx ∆x →0 ∆x
dy f ( x + ∆x) − f ( x)
= lim
dx ∆x→0 ∆x
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20. A la derivada también se le da el nombre de
coeficiente diferencial y la operación de calcula la
derivada de una función se denomina
diferenciación
Si la derivada de una función existe en un
punto particular, decimos que f es diferenciable en
tal punto.
La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se
denota por uno de los simbolos siguientes
d df d
( y ), , ( f ), y ' , f ' ( x), Dx y, Dx f
dx dx dx Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA 20

21. Ejemplo
 Calcule la derivada de 2x2+3x+1
 Calcule dy/dx para la ecuación cubica
y=Ax3+Bx2+Cx+D
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22. dy
Si y = x , entonces
n
= nx n −1 ( Fórmula de la potencia)
dx
d 7
( x ) = 7 x 7 −1 = 7 x 6
dx
d 3/ 2 3 3 / 2−1 3 1/ 2
(y ) = y = y
dy 2 2
d 1 d −1/ 2 − 1 −1/ 2−1 − 1 −3 / 2
( ) = (t ) = t = t
dt t dx 2 2
d 1 d −2
( 2 ) = (u ) = −2u − 2−1 = −2u −3
du u dx
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23. d du
(cu ) = c
dx dx
d d n
(cx ) = c x = c(nx n −1 )
n
dx dx
d 4 d −1 d −1 −2 −4
( ) = (4t ) = 4 (t ) = 4(−1t ) = 2
dt t dx dx t
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24. d du dv
(u + v) = +
dx dx dx
 Calcule dy/dx si y = x2 +x1/2
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25. Analisis Marginal
 Suponga que el fabricante de cierto articulo
descubre que a fin de producir x de estos
articulos a la semana, el costo total en dolares
esta dado por C=200+0.03x2. Por ejemplo si se
producen 100 articulos a la semana, el costo esta
dado por C=200+0.03(100)2=500. El costo
promedio por articulo al producir 100 articulos es
500/100=5
 Si el fabricante considera cambiar la tasa de
produccion de 100 a 100+Δx unidades por
semana, en donde Δx representa el incremento
en la produccion semanal
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26.  El costo es
C+ΔC=200+0,03(100+Δx)2
=200+0,03(10000+200Δx+ Δx2)
=500+6 Δx+0,03 Δx2
Por consiguiente, el costo extra
determinado por la produccion de los
articulos adicionales es
ΔC=(C + ΔC)- Δx
ΔC =500+6 Δx+0,03 Δx2-500
ΔC =Δx+0,03 Δx2
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27.  En consecuencia, el costo promedio
por articulo de las unidades extra es
ΔC / Δx= 6+0,03 Δx
¿Cual seria el costo promedio si se
pasa de 100 a 150 unidades?
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28.  El costo marginal se define como el valor
limite del costo promedio por articulo
extra cuando este numero de articulos
extra tiende a cero. Asi se puede pensar
que el costo marginal es como el costo
promedio por articulo extra cuando se
efectua un cambio muy pequeño en la
cantidad producida
∆C C (C + ∆x) − C ( x)
Costo m arg inal = lim = lim
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
dC
Costo m arg inal =
dx
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29.  Ejemplo
 En el caso de la funcion de costo
C(x)=o.001x3-0.3x2+40x+1000
Calcule el costo marginal cuando
x=50, x=100 y x=150
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30.  Es importante no confundir el costo
marginal con el costo promedio. Si
C(x) es la función de costo, el costo
promedio de producir x artículos es
el costo total C(x) dividido entre el
numero de los artículos producidos
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31. Ingreso Marginal
 Si R(x) denota el ingreso en dolares
por la venta de x articulos, definimos
el ingreso marginal como la derivada
R’(x)
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32.  Ejemplo
 Si la funcion de ingreso marginal
esta dada por
R(x) =10x-0,01x2
 Evalue el ingreso marginal cuando
x =200
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33.  Determine el ingreso marginal
cuando x=300 si la ecuacion de la
demanda es
x=1000-100p
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34. Utilidad marginal
 La utilidad marginal representa la
utilidad marginal adicional por
articulo si la produccion sufre un
pequeño incremento
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35.  La ecuacion de demanda de cierto
articulo es
p+0.1x=80
La funcion del costo es
C(x) = 5000+20x
Calcule la utilidad marginal cuando se
producen y venden 150 unidades y
tambien en el caso de que se
produzcan y vendan 400 unidades.
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