UPBC

1. Calculo Integral
Integracion de suma de Diferenciales
Miembros Del Equipo:
Cristina Dominguez
Marcos Eleazar
Jesse Salazar
Josue Garcia

2. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada
una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser
derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de
f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones
derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas,
diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

3. Formula
Formula

4. ∫ du + dx - dz = ∫ du + ∫ dx - ∫ dz
Esta fórmula nos indica que hay que integrar una
suma de diferenciales.
•Para este tipo de pasos usualmente se presentan
cuatro casos.
1.er Caso. Producto de dos o más factores.
2.do Caso. Productos notables.
3.er Caso. Quebrados cuyo denominador consta
de un solo termino.
4.to Caso. Quebrados cuyo denominador consta
de dos o más términos.

5. Primer caso. Producto de dos o mas
factores
Se efectúan las operaciones, se separan integrales y a cada
una de las integrales resultantes se le aplican los pasos de
las lecciones anteriores según sea el caso.
Ejemplo:
∫ ( x – 1 ) ( x + 3 ) x dx
= ∫ (x² - 2x + 3 ) x dx
= ∫(x³ - 2x² + 3x ) dx
= ∫ x³ dx - ∫ 2x² dx + ∫ 3x dx
= ∫ x³ dx - 2 ∫ x² dx + 3 ∫ x dx
= x /4 - 2x³/3 + 3x²/2 + C⁴

6. Segundo Caso. Productos notables
Se resuelven en la misma forma que el
primer caso.
Ejemplo:
∫ ( x² - 1 )² dx
= ∫ (x - 2 x² + 1 ) dx⁴
= ∫ x dx – 2 ∫ x² dx + ∫ 1 dx⁴
= x /5 – 2x³/3 + x + C⁵

7. Se separan integrales poniendo cada termino del numerados entre el
término del denominador.
Después se simplifica cada integral y se le aplican los pasos del
ejemplo anterior.
∫ [( x³ + 5x² - 4 ) / x²] dx
Se separan integrales.
= ∫ x³/ x² dx + ∫ 5x²/ x² dx – ∫ 4/ x² dx
Se simplifica.
= ∫ x dx + ∫ 5 dx – ∫ 4/ x² dx
Se aplican los pasos.
= ∫ x dx + 5 ∫ dx – 4 ∫ x-² dx
= x²/2 + 5x – 4x-¹/-1
= x²/2 + 5x – 4/x + C
Tercer Caso. Quebrados cuyo denominador consta de un
solo termino.

8. Cuarto Caso. Quebrados cuyo denominador consta de dos o
más términos.
Se efectúa la división hasta que el exponente de la variable del residuo sea
menor que el exponente de la variable del divisor y e expresa el resultado
poniendo primero el cociente y sumándole el residuo el cual se expresa
divido entre el divisor.
Después se procede como en los casos anteriores.
Ejemplo 1:
∫ [(x² + 2x) / (x+1)² ]
= ∫ (x² + 2x) / (x² + 2x +1)
Se efectúa la división.
( x² + 2x ) / ( x² + 2x +1) = 1 y el residuo es -1
Y se expresa.
= ∫ 1- [ 1 / ( x+1 )² ] dx

9. • Separando integrales resulta.
• = ∫ 1 dx - ∫ 1 / ( x+1 )² dx
• = ∫ 1 dx - ∫ ( x+1 )-² dx
• = x - ( x+1 )-¹/-1
• = x + 1 /( x+1 ) + C

10. Ejemplo dos
∫ [( x³ + 3x +2) / (x + 3)] dx
Se efectúa la división.
( x³ + 3x +2) / (x + 3) = x² - 3x + 12 Con residuo -34
Se expresa de la siguiente manera.
= ∫ [ x² - 3x + 12 – (34/(x+3)) ] dx
Separando integrales resulta.
= ∫ x² dx - ∫ 3x dx + ∫ 12 dx – ∫ 34/(x+3) dx
= ∫ x² dx - 3 ∫ x dx + 12 ∫ dx – 34 ∫ (x+3)-¹ dx
= ∫ x² dx - 3 ∫ x dx + 12 ∫ dx – 34 ∫ (x+3)-¹ dx
= x³/3 - 3x²/2 + 12 x – 34 Ln (x+3) + C