Este documento presenta varias identidades trigonométricas importantes como seno al cuadrado más coseno al cuadrado igual a uno, seno de alfa igual a coseno de beta cuando alfa más beta es noventa grados, y divisiones como tangente de alfa igual a seno de alfa sobre coseno de alfa. También cubre identidades pitagóricas y cómo resolver ecuaciones trigonométricas utilizando propiedades como distribución y factorización.

1. TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PROF. WALTER FAILOC

2. RECORDANDO IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
Propiedades
Sen  . csc  = 1
Cos  . sec  = 1
Tg  . ctg  = 1
* Si  +  = 90º
Sen  = cos 
Sec  = csc 
tg  = ctg 
Identidades por división:
𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 𝛼
sen 𝛼
Identidades Pitagóricas :
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1
𝑠𝑒𝑐2 𝛼 − 𝑡𝑔2 𝛼 = 1
𝑐𝑠𝑐2
𝛼 − 𝑐𝑡𝑔2
𝛼 = 1

3. sen2x + 3sen2x + 3cos2x + 5(1 + tg2x) + 7 tg2x
sen2x + 3 + 5 + 5tg2x + 7 tg2x
sen2x + 12tg2x + 8 = a sen2x + btg2x + c
Entonces : a = 1, b = 12 y c = 8
Luego: a + b + c = 21
Por distribución

4. 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑠𝑒𝑛4
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
=
1 − 2𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
−
2𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
= sec2x . csc2x – 2 = sec2x . csc2x – a
Entonces: a = 2
Pero: 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1
Elevando al cuadrado:
𝑠𝑒𝑛4
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1
𝑠𝑒𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥

5. 𝑏
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
− 1
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
− 1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 1
𝑏
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑏
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑏
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
−
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑏
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
−
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= 1
𝑏 =
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑏 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
. 𝑐𝑜𝑠𝑥
b = ctg x . Cos x

6. 1 – cos2x + 4cosx = 4
Cos2x – 4cosx + 3 = 0
acomodando
Sea: cos x = a
a2 – 4a + 3 = 0
Entonces:
(por aspa simple)
a - 3
a - 1
(a – 3)(a – 1) = 0
Entonces: a = 3 y a = 1
Como: a = cos x
cos x = 3
cos x = 1
No es posible
Respuesta

7. Sea tg x + ctg x = a
Elevando al cuadrado
𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 2
= 𝑎2
Tg2x + ctg2x + 2tgx.ctgx = a2
Por dato igual a 7
7 + 2 = a2
Igual a 1 por propiedad
Entonces a = 3
Entonces: tg x + ctg x = 3
Elevando al cubo:
𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 3 = 33
tg3x + ctg3x + 3tgx.ctgx(tg x + ctg x) = 27
tg3x + ctg3x + 3. 1(3) = 27
1 3
tg3x + ctg3x = 18