La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Se define como el límite de la pendiente de la secante cuando el cambio en el valor del argumento tiende a cero. Se denota como f'(x0) y representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

1. Derivada
Es la pendiente de la recta tangente a
una curva en un punto cualquiera

2. t
Y
s X= x₀+h-x₀= h
Q Y=f(x₀+h)-f(x₀)
f(x₀+h)
α
y
f(x₀) β
P
x
x₀ x₀+h X
Pend de s = tg β Pend de t = tg α
ΔY f(x₀+h)-f(x₀)
Pend de s = =
Δx h

3. t
Y s
X= x₀+h-x₀ = h
Q Y=f(x₀+h)-f(x₀)
f(x₀+h)
α
y
f(x₀) β
P
X
x₀ x₀+h X
ΔY f(x₀+h)-f(x₀)
Pend de s = =
Δx h

4. t
Y
s X= x₀+h-x₀ = h
Y=f(x₀+h)-f(x₀)
f(x₀+h) Q
α y
β
f(x₀)
P
x
x₀ x₀+h X
ΔY f(x₀+h)-f(x₀)
Pend de s = =
Δx h

5. t
Y
s
f(x₀+h) = f(x₀)
Q= P
x₀+h= x₀ X

6. ΔY f(x₀+h)-f(x₀) Pend de t = tg α
Pend de s = =
Δx h
Lim pend de s = pend de t
h→o
Entonces
f(x₀+h)-f(x₀)
pend de t = lim
h
h→o
Con la condición de que exista este limite, llamamos derivada de
f en x₀ o f`(x₀) a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el
punto de abscisa x₀
f(x₀+h)-f(x₀)
f`(x₀) = lim
h
h→o

7. Cálculos auxiliares
Ej: f(x)= -x²+4 en el x₀=1
f(1+h) = -(1+h) ² + 4 =
f(x₀+h)-f(x₀) = -(1² + 2.1.h + h²) +4 =
f`(x₀) = lim
h = -1 -2h - h² + 4 =
h→o
f(1+h)-f(1) = -h² -2h +3
f`(1) = lim =
h
h→o
f(1) = 3
-h² -2h +3 -3
= lim =
h
h→o
-h² -2h
= lim =
h
h→o
h(-h -2)
= lim = -2
h
h→o

8. Cálculos auxiliares
Ej: f(x)= 3x²+2 en el x₀=2
f(2+h) = 3(2+h) ² + 2 =
f(x₀+h)-f(x₀) = 3(2² + 2.2.h + h²) +2 =
f`(x₀) = lim
h = 12+12h +3h² + 2 =
h→o
f(2+h)-f(2) = 3h²+12h +14
f`(2) = lim =
h
h→o
f(2) =14
3h²+12h +14-14
= lim =
h
h→o
3h² +12h
= lim =
h
h→o
3 h (h +4)
= lim = 12
h
h→o

9. Cálculos auxiliares
Ej: f(x)= -x²+4 en el x₀=x
f(x+h) = -(x+h) ² + 4 =
f(x+h)-f(x) = -(x² + 2.x.h + h²) +4 =
f`(x) = lim
h = -x² -2xh - h² + 4
h→o
-x² -2xh - h² + 4- (-x²+4)
= lim =
h
h→o
-x² -2xh - h² + 4 + x²- 4)
= lim =
h
h→o
-h² -2xh
= lim =
h
h→o
h(-h -2x)
= lim = -2x
h
h→o