Este documento trata sobre el método de descomposición de Adomian para resolver ecuaciones funcionales no lineales. El método implica representar la solución como una serie y descomponer el operador no lineal también como una serie de polinomios de Adomian. Se demuestra que si el operador es una contracción, entonces la serie converge a la solución única de la ecuación funcional original. Adicionalmente, se utiliza el software WxMaxima para realizar cálculos simbólicos que ayudan a aplicar el método.

1. Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Convergencia del M´etodo de Descomposici´on
Alvaro M. Naupay Gusukuma
Julio 2015

2. ´Indice general
Resumen 3
1. Preliminares 4
1.1. Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. El M´etodo de Descomposici´on para Ecuaciones Funcionales. 6
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Resultado sobre la convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Polinomios de Adomian con WxMaxima . . . . . . . . . . . . 12
3. Problemas de prueba 14
3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Conclusiones 20
Bibliograf´ıa 22
1

3. Agradesco a mis padres por el apoyo incondicional y preocupaci´on.
2

4. Resumen
En este trabajo hemos tratado sobre un m´etodo iterativo llamado m´etodo
de descomposici´on de Adomian (MDA), en particular la convergencia de los
polinomios de Adomian que sirven para resolver los ecuaciones no lineales.
En todo momento se trabajo con ecuaciones en las cuales existen soluciones y
estas se pueden representar como una serie que es absolutamente convergente,
esto es necesario para el uso del m´etodo.
Como herramienta computacional se utiliza el software WxMaxima, el cual
permite hacer c´alculo simb´olicos, este software utiliza Maxima como herra-
mienta principal y WxMaxima es una interfase que hace m´as amigable el
trabajo con Maxima.
George Adomian fue quien desarrollo este m´etodo por primera vez a mediados
de los 80, hoy en d´ıa es utilizado y aun se siguen escribiendo art´ıculos con el
fin de mejorar el m´etodo.
3

5. Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1. Espacio de Hilbert
Definici´on 1.1 (Producto interno)
Sea V un R-espacio vectorial, un producto interno sobre V es un aplica-
ci´on
·, · : V × V −→ R
(u, v) −→ u, v
que satisface las siguientes propiedades
1. u, v = v, u , para todo u, v ∈ V .
2. u + v, w = u, w + v, w , para todo u, v, w ∈ V .
3. λu, v = λ u.v , para todo λ ∈ R y u, v ∈ V .
4. u, u ≥ 0, y u, u = 0 si y s´olo si u = 0.
El producto interno induce de manera natural una norma sobre V , de la
siguiente manera
u = u, u
4

6. Definici´on 1.2 (Espacio de Hilbert)
Un Espacio de Hilbert es un espacio vectorial H acompa˜nado con un
producto interno tal que H es completo para la norma · .
Decir que H es completo significa que toda sucesi´on de Cauchy de H converge
a un punto de H.
Definici´on 1.3 (Operador lineal)
Un operador lineal T : H → H es una aplicaci´on que verifica:
1. T(u + v) = T(u) + T(v), para todo u, v ∈ H.
2. T(λu) = λT(u), para todo u ∈ H y λ ∈ R.
Diremos que un operador es no lineal, cuando esto no sea lineal.
Definici´on 1.4 (Lipschitz)
Sea H un espacio normado y una aplicaci´on T : H → H. Diremos que T es
un operador de Lipschitz si existe una α > 0 tal que
T(u) − T(v) ≤ α u − v ∀u, v ∈ H
5

7. Cap´ıtulo 2
El M´etodo de Descomposici´on
para Ecuaciones Funcionales.
2.1. Introducci´on
Consideremos la ecuaci´on funcional general:
y − N(y) = f (2.1)
donde N es un operador no-lineal que va de un espacio de Hilbert H en H,
f es una funcional dada sobre H y deseamos encontrar una soluci´on y ∈ H
que satisface (2.1). Asumiremos que (2.1) tiene soluci´on ´unica y para cada
f.
La t´ecnica de Adomian dada inicialmente en [4] consiste en representar y
como una serie
y =
∞
i=0
yi (2.2)
6

8. Entonces el operador no-lineal es descompuesto como sigue:
N(y) =
∞
n=0
An (2.3)
donde los An son polinomios en las variables y0, y1, . . . , yn, los An son llama-
dos polinomios de Adomian que se obtienen haciendo:
z =
∞
i=0
λi
yi , N
∞
i=0
λi
yi =
∞
n=0
λn
An ,
donde λ es un par´ametro, luego para hallar los An teniendo en cuenta que
N(z) = A0 + λA1 + λ2
A2 + . . .
dN(z)
dλ
= A1 + 2λA2 + 3λ2
A3 + . . .
d2
N(z)
dλ2
= 2!A2 + 3!λA3 + . . .
d3
N(z)
dλ3
= 3!A3 + 4!λA4 + . . .
d4
N(z)
dλ4
= 4!A4 + 5!λA5 + . . .
... =
...
esto motiva la siguiente igualdad
dn
N(z)
dλn
λ=0
= n!An n = 0, 1, 2, . . .
Po consiguiente.
An =
1
n!
dn
dλn
N
∞
i=0
λi
yi
λ=0
; n = 0, 1, 2, . . . (2.4)
El par´ametro λ es introducido por conveniencia. Esto permite la determina-
ci´on de An por la f´ormula (2.4). Generalmente es posible obtener An como
una funci´on de (y0, . . . , yn) a partir de la funci´on no-linea N.
7

9. Desarrollando 2.4 tenemos que
A0 = N(y0)
A1 =
d
dλ
N
∞
i=0
λi
yi
λ=0
=
∞
i=0
iλi−1
yi N
∞
i=0
λi
yi
λ=0
= y1N (y0)
A2 =
1
2!
d2
dλ2
N
∞
i=0
λi
yi
λ=0
=
1
2!
d
dλ
∞
i=0
iλi−1
yi N
∞
i=0
λi
yi
λ=0
=
1
2!
∞
i=0
i(i − 1)λi−2
yi N
∞
i=0
λi
yi +
+
∞
i=0
iλi−1
yi N
∞
i=0
λi
yi
∞
i=0
iλi−1
yi
λ=0
=
1
2!
[2!y2N (y0) + y1N (y0)y1] = y2N (y0) +
1
2!
y2
1N (y0)
De manera an´aloga podemos obtener los dem´as Ais de forma general con lo
que tenemos
A3 = y3N (y0) + u1y2N (y0) +
1
3!
y3
1N (y0)
A4 = y4N (y0) +
1
2!
y2
2 + y1y3 N (y0) +
1
2!
y2
1y2N (y0)
... =
...
An = An(y0, y1, . . . , yn)
Primeramente, olvidaremos los problemas asociados a la convergencia de las
dos series {yn}, {An}. El principio formal del M´etodo de Adomian y los
resultados escritos por Adomian y sus colaboradores ([1], [2], [3]) es como
sigue.
Al reemplazar (2.2) y (2.3) en la ecuaci´on (2.1). Esto nos da:
∞
i=0
yi −
∞
i=0
Ai = f (2.5)
8

10. ∞
i=0
yi = f +
∞
i=0
Ai
y0 + y1 + y2 + y3 + · · · = f + A0 + A1 + A2 + · · ·
ahora identifiquemos los yi y Ai usando la siguiente relaci´on;
y0 = f; y1 = A0; y2 = A1; y3 = A2; . . . ; yn = An−1 (2.6)
Con esto definiremos y0, y1, . . . , yn de manera recurrente como sigue



y0 = f
yn+1 = An(y0, y1, . . . , yn) ∀n ≥ 0.
(2.7)
De esta manera podemos determinar cada t´ermino de la serie ∞
i=0 yi. Pero el
problema de la convergencia aun est´a pendiente, en particular aun no hemos
respondido las siguientes preguntas:
¿Qu´e hip´otesis aseguran la convergencia de yi y Ai?.
¿Es yi una soluci´on de la ecuaci´on inicial (2.1)?
Para responder estas preguntas, vamos a proponer otra definici´on de la t´ecni-
ca. Consecuentemente, se deber´a obtener un m´etodo bien adaptado para el
estudio de la convergencia.
2.2. Resultado sobre la convergencia.
Para cada serie convergente y = ∞
i=0 yi definimos N(y) por:
N(y) =
∞
i=0
Ai(y0, y1, . . . , yi) (2.8)
9

11. donde los Ai’s de (2.8) son obtenidos de las relaciones 2.4. Veremos m´as
adelante algunas hip´otesis que aseguran la convergencia de Ai.
Para cada sucesi´on parcial Un = n
i=0 yi aproximamos N(Un) por:
Nn(Un) =
n
i=0
Ai(y0, . . . , yi) (2.9)
En lo que sigue, denotaremos Nn(Un) por N(Un). Mas adelante veremos como
se aclarar´a y justificar´a esta notaci´on.
La t´ecnica de Adomian es equivalente a determinar la sucesi´on
Sn = y1 + y2 + . . . + yn usando el diagrama iterativo: (2.10)
Sn+1 = N(y0 + Sn), S0 = 0 (2.11)
En realidad tenemos
y1 = S1 = N(y0) = A0
entonces,
S2 = y1 + y2 = N(y0 + y1) = A0 + A1.
Pero tenemos que y1 = A0 y entonces y2 = A1 as´ı sucesivamente.
Paso a paso la formula (2.11) da todas las relaciones de Adomian (2.6). Las
f´ormulas (2.6), encontradas por Adomian, son equivalentes a (2.11). Pero la
relaci´on de recurrencia (2.11) puede ser asociada con la ecuaci´on funcional:
N(y0 + S) = S. (2.12)
Para el estudio de la relaci´on num´erica de (2.12) tenemos a nuestra disposi-
ci´on el teorema del punto fijo. En particular, sabemos que si N es una contrac-
ci´on ( N < 1) entonces la sucesi´on Sn definida por (2.11) converge hacia la
´unica soluci´on S de (2.12). Adem´as tenemos que l´ım yn = l´ımn→∞ Sn−Sn−1 = 0.
10

12. Teorema 2.1 Sea N un operador de un espacio de Hilbert H en H e y la
soluci´on exacta de (2.1). ∞
i=0 yi, que es obtenido por (2.7), converge a y
cuando ∃ 0 ≤ α < 1, yk+1 ≤ α yk , ∀k ∈ N ∪ {0}.
Demostraci´on: Tenemos
S0 = 0
S1 = y1
S2 = y1 + y2
... =
...
Sn = y1 + y2 + · · · + yn
y mostraremos que, {Sn}+∞
n=0 es una sucesi´on de Cauchy en el espacio de
Hilbert H. Por esta raz´on, considerar,
Sn+1 − Sn = yn+1 ≤ α yn ≤ α2
yn−1 ≤ · · · ≤ αn+1
y0 .
Pero para cada n, m ∈ N, n ≥ m, tenemos
Sn − Sm = (Sn − Sn−1) + (Sn−1 − Sn−2) + · · · + (Sm+1 − Sm)
≤ Sn − Sn−1 + Sn−1 − Sn−2 + · · · + Sm+1 − Sm
≤ αn
y0 + αn−1
y0 + · · · + αm+1
y0
≤ (αm+1
+ αm+2
+ · · · ) y0 =
αm+1
1 − α
y0 ,
por consiguiente, l´ım
n,m→+∞
Sn − Sm = 0, es decir {Sn}+∞
n=0 es una sucesi´on de
Cauchy en el espacio de Hilbert H y esto implica que ∃ S ∈ H, l´ım
n→+∞
Sn = S,
es decir, S = +∞
n=0 yn. Pero, resolver la ecuaci´on (2.1) es equivalente a re-
solver la ecuaci´on (2.12) y esto implica que si N es un operador continuo
entonces
N(y0 + S) = N l´ım
n→+∞
(y0 + Sn) = l´ım
n→+∞
N(y0 + Sn) = l´ım
n→+∞
Sn+1 = S ,
11

13. es decir, S es tambi´en una soluci´on de la ecuaci´on (2.1).
Definici´on 2.1 Para cada i ∈ N ∪ {0} definimos
αi =



yi+1
yi
, yi = 0
0 , yi = 0
(2.13)
Corolario 2.1 Con las condiciones del teorema 1.1, ∞
i=0 yi converge a una
soluci´on exacta y, cuando 0 ≤ αi < 1, i = 1, 2, 3 . . ..
2.3. Polinomios de Adomian con WxMaxima
A continuaci´on presentamos el c´odigo que ayuda a obtener los polinomios de
Adomian
(%i1) F(y):=y^5;
for n: 0 thru 6 do
(define(A[n](l),(1/n!)*diff(F(sum(l^i*y[i],i,0,n)),l,n)),
print("A[",n,"]=",expand(A[n](0))));
( %o1) F (y) := y5
A[0] = y5
0
A[1] = 5 y4
0 y1
A[2] = 5 y3
0 y0 y2 + 2 y2
1
A[3] = 5 y2
0 y2
0 y3 + 4 y0 y1 y2 + 2 y3
1
A[4] = 5 y0 y3
0 y4 + 4 y2
0 y1 y3 + 2 y2
0 y2
2 + 6 y0 y2
1 y2 + y4
1
A[5] = 5 y4
0 y5 + 20 y3
0 y1 y4 + 20 y3
0 y2 y3 + 30 y2
0 y2
1 y3 + 30 y2
0 y1 y2
2
+ 20 y0 y3
1 y2 + y5
1
A[6] = 5 (y4
0 y6 + 4 y3
0 y1 y5 + 4 y3
0 y2 y4 + 6 y2
0 y2
1 y4 + 2 y3
0 y2
3 + 12 y2
0 y1 y2 y3
+ 4 y0 y3
1 y3 + 2 y2
0 y3
2 + 6 y0 y2
1 y2
2 + y4
1 y2)
12

14. en este caso hemos obtenido los polinomios de Adomian para F(y):y^5, esto
en el c´odigo se puede cambiar por otras funciones, tambi´en se ha obtenido
hasta el t´ermino A[6] pero se puede aumentar este n´umero con el fin de
obtener una mejor aproximaci´on.
13

15. Cap´ıtulo 3
Problemas de prueba
3.1. Ejemplos
Ejemplo 3.1 Consideremos el problema de valores iniciales
y + (1 + x2
)y2
= x4
+ 2x3
+ 2x2
+ 2x + 2 (3.1)
y(0) = 1
Soluci´on: Escribiendo en forma de operadores la ecuaci´on (3.1) tenemos
Ly = (x4
+ 2x3
+ 2x2
+ 2x + 2) − (1 + x2
)y2
(3.2)
donde
L(·) =
∂(·)
∂x
y definimos el operador seudo inverso
L−1
(·) =
x
0
(·)dx . (3.3)
mediante la aplicaci´on de L−1
en ambos lados de la ecuaci´on (3.2) tenemos
L−1
Ly = L−1
((x4
+ 2x3
+ 2x2
+ 2x + 2) − (1 + x2
)y2
)
14

16. x
0
∂y
∂x
dx = L−1
(x4
+ 2x3
+ 2x2
+ 2x + 2) − L−1
((1 + x2
)y2
)
y(x) − y(0) =
1
5
x5
+
1
2
x4
+
2
3
x3
+ x2
+ 2x − L−1
((1 + x2
)y2
)
y(x) =
1
5
x5
+
1
2
x4
+
2
3
x3
+ x2
+ 2x + 1 − L−1
((1 + x2
)y2
)
Sea la soluci´on u = ∞
i=0 ui una serie que converge absolutamente, note
tambi´en que la parte no lineal es N(y) = y2
= ∞
i=0 Ai. Luego esto nos da
el siguiente esquema iterativo
y0 =
1
5
x5
+
1
2
x4
+
2
3
x3
+ x2
+ 2x + 1
yn+1 = −L−1
((1 + x2
)An) n ≥ 0 (3.4)
donde los polinomios de Adomian para el t´ermino no lineal y2
son:
A0 = y2
0
A1 = 2y0y1
A2 = 2y0y2 + y2
1
A3 = 2y0y3 + 2y1y2
A4 = 2y0y4 + 2y1y3 + y2
2
A5 = 2y0y5 + 2y1y4 + 2y2y3
Estos son obtenidos usando (2.4). El c´odigo con WxMaxima para esto es el
siguiente
--> F(y):=y^2;
k:5;
for n: 0 thru k do
(define(A[n](l),(1/n!)*diff(F(sum(l^i*y[i],i,0,n)),l,n)),
print("A[",n,"]=",expand(A[n](0))));
15

17. combinando este resultado con el esquema iterativo (3.4) podemos hallar los
yi, para esto tenemos el siguiente c´odigo.
--> y[0]:(1/5)*x^5+(1/2)*x^4+(2/3)*x^3+x^2+2*x+1$
for i: 0 thru k do
(y[i+1]:-integrate((1+x^2)*A[i](0),x,0,x));
define(y(x),sum(y[i],i,0,k))$
plot2d([y(x)], [x,-2,2],[plot_format, gnuplot])$
donde el valor de k es el mismo que esta en el c´odigo para encontrar los
polinomio de Adomian.
Luego utilizando el esquema iterativo obtenemos los yi’s
y0 =
x5
5
+
x4
2
+
2 x3
3
+ x2
+ 2 x + 1
y1 = −
x13
325
−
x12
60
−
167 x11
3300
−
19 x10
150
−
497 x9
1620
−
3 x8
5
−
311 x7
315
−
68 x6
45
−
32 x5
15
−
7 x4
3
−
7 x3
3
− 2 x2
− x
y2 =
2 x21
34125
+
19 x20
39000
+
697 x19
313500
+
89699 x18
11583000
+
2336929 x17
98455500
+
2951813 x16
46332000
+
13716251 x15
91216125
+
12170033 x14
37837800
+
7722409 x13
12162150
+
4267003 x12
3742200
+
292627 x11
155925
+
162161 x10
56700
+
2269 x9
567
+
6373 x8
1260
+
88 x7
15
+
61 x6
10
+
82 x5
15
+
25 x4
6
+
8 x3
3
+ x2
de esta manera obtenemos los yi’s, analicemos algunos αi’s.
Trabajando con yi +∞ = sup{|yi(x)| | x ∈ [−1, 1]}, entonces
y0 +∞ = 5,366666666666667
y1 +∞ = 13,4022191388858
16

18. y2 +∞ = 41,40822582741374
y3 +∞ = 129,9477639675786
y3 +∞ = 408,4876214171182
ahora veamos los αi’s
α0 =
y1 +∞
y0 +∞
= 2,4973079140781 > 1
α1 =
y2 +∞
y1 +∞
= 3,089654436948434 > 1
α2 =
y3 +∞
y2 +∞
= 3,138211342576975 > 1
α3 =
y4 +∞
y3 +∞
= 3,143475570068553 > 1
Aqu´ı como los αi’s son mayores que 1, el m´etodo de Adomian est´andar no
converge.
Veamos un ejemplo donde si converge
Ejemplo 3.2 Sea la siguiente ecuaci´on
y +
2
x
y = 110x8
(3.5)
y(0) = 0, y (0) = 0
Soluci´on: llevando al lenguaje de operadores la ecuaci´on (3.5) tenemos
Ly = 110x8
−
2
x
y (3.6)
donde
L =
∂2
∂x2
y definimos el operador seudo inverso
L−1
(·) =
x
0
x
0
(·)dxdx (3.7)
17

19. aplicando L−1
en ambos lados de la ecuaci´on (3.6) tenemos
L−1
Ly = L−1
(110x8
) − L−1 2
x
y
x
0
x
0
∂2
y
∂x2
dxdx =
x
0
x
0
(110x8
)dxdx − L−1 2
x
y
y(x) − y(0) − xy (0) =
11
9
x10
− L−1 2
x
y
tomando encuenta las condiciones iniciales
y(x) =
11
9
x10
− L−1 2
x
y
sea la soluci´on y = ∞
i=0 yi que converge absolutamente y reemplazando en
la ´ultima ecuaci´on de arriba tenemos
∞
i=0
yi =
11
9
x10
− L−1 2
x
∞
i=0
yi
lo que nos da el siguiente esquema iterativo
y0 =
11
9
x10
yn+1 = −L−1 2
x
yn , n ≥ 0
el c´odigo WxMaxima para resolver este esquema iterativo es
--> y[0]:(11/9)*x^10$
k:5;
for i: 0 thru k do
(y[i+1]:-integrate(integrate((2/x)*diff(y[i],x),x),x));
define(y(x),sum(y[i],i,0,k))$
con lo que tenemos
y0 =
11
9
x10
18

20. y1 = −
22
81
x10
y2 =
44
729
x10
y3 = −
88
6561
x10
Trabajando con yi +∞ = sup{|yi(x)| | x ∈ [−1, 1]}, luego calculando los
αi’s tenemos
α0 =
y1 +∞
y0 +∞
= 0,22222222222222 < 1
α1 =
y2 +∞
y1 +∞
= 0,22222222222222 < 1
α2 =
y3 +∞
y2 +∞
= 0,22222222222222 < 1
α3 =
y4 +∞
y3 +∞
= 0,22222222222222 < 1
con lo que podemos ver que la soluci´on converge. A decir la soluci´on exacta
es y(x) = x10
.
19

21. Cap´ıtulo 4
Conclusiones
El m´etodo estudiado aqu´ı es potente y f´acil de usar. La soluci´on en serie
converge con notable rapidez y los t´erminos de la sucesi´on yi son f´acilmente
calculables. En los art´ıculos de Adomian [1,3,4] uno puede ver una larga lista
de problemas dif´ıciles que han sido resueltos con ´exito. Esta t´ecnica num´erica
es de hecho un m´etodo iterativo que es mejorado por la descomposici´on de los
operadores no lineales. Hemos propuesto un nuevo acercamiento para descri-
bir este m´etodo. Consecuentemente, ser´a posible demostrar la convergencia
f´acilmente bajo supuesto razonables.
Cuando estas suposiciones no puedan ser hechas, una t´ecnica modificada es
propuesta. Estas dos t´ecnicas dan m´etodos interesantes para la resoluci´on
num´erica de ecuaciones funcionales que dependen de una o m´as variables.
Estos acercamientos son probablemente mejores que en la mayor´ıa de los
m´etodo num´ericos sugeridos en la literatura para resolver problemas no li-
neales. La principal ventaja es que evitamos tener que linealizar las ecua-
ciones que son b´asicamente no lineales: La generalizaci´on a las ecuaciones
funcionales, tales como: Ly − Ny = f donde L es un operador lineal, es f´acil
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22. de concebir. Esto es suficiente para resolver y − L−1
Ny = L−1
f y para esto
usar la teor´ıa previa. Por supuesto, estos m´etodos son aplicables a una muy
amplia clase de problemas in f´ısica, econom´ıa, biolog´ıa y medicina, ingenier´ıa
y tecnolog´ıa. En todos los casos la soluci´on es escrita como una supuesta
descomposici´on en componentes que ser´an encontrados con la expansi´on de
no linealidades en t´ermino de conjuntos generados de polinomios.
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23. Bibliograf´ıa
[1] Adomian, G. and Adomian, G.E., A Global Method for Solution of
Complex Systems, Mathematical Modelling, Vol5, 1984, pp. 251-63.
[2] Adomian, G. Rach, R. and Sarafyan, D., On the Solution of
Equations Containing Radicals by the Decomposition Method, Journal
of Mathematical Analysis and Applications, Vol. III No. 2, 1985, pp.
423-26.
[3] Adomian, G. and Rach, R., Polynomials Non-linearities in Differen-
tial Equations, Journal of Mathematics Analysis and Applications, Vol.
109 No. 1, 1985.
[4] Adomian, G., Non-linear Stochastic Dynamica Systems in Physical
Problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. III
No. I, 1985.
[5] George Adomian, Solving Frontier Problems of Physics: The Decom-
position Method, Kluwer Academic Publisher, 1994.
[6] Yves Cherruault, Convergence of Adomian’s Method, Medimat, Uni-
versit´e de Paris, 1988.
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24. [7] Abdul-Majid Wazwaz, Partial Differential Equations and Solitary
Waves Theory, Springer, 2009.
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