Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Explica que si f es una función continua en un intervalo [a,b], entonces la función g definida como la integral de f es continua y diferenciable en ese intervalo, con g' = f. También muestra que la integral definida entre los límites a y b es igual a la antiderivada de f evaluada en b menos la antiderivada de f evaluada en a. Proporciona ejemplos para ilustrar estas ideas.

2. C ´ALCULO INTEGRAL
SEMANA 2
Alfonso Cubillos
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO
g(x) =
x
a
f(t) dt
donde f es una funci´on continua sobre el intervalo [a, b] y x est´a variando de
a a b.
Si f es una funci´on positiva tenemos que

4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO PARTE I
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO PARTE I
Si f es una funci´on continua sobre [a, b], entonces la funci´on g definida por
g(x) =
x
a
f(t) dt, a ≤ x ≤ b
es continua sobre [a, b], diferenciable sobre en (a, b) y g (x) = f(x).
Usando la notaci´on de Leibniz tenemos que
d
dx
x
a
f(t) dt = f(x)
EJEMPLO
Hallar la derivada de la siguiente funci´on Consideremos la funci´on
g(x) =
x4
1 csc t dt, entonces g (x) = 4x3 csc x4.

5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO PARTE I
EJEMPLOS
Calcular la derivada de las siguientes funciones
1 Si g(x) =
1
x
(t − t2
)8
dt entonces g (x) = −(x − x2)8.
2 Si G(x) =
x2
x
et2
dt entonces G (x) = 2xex4
− ex2
.

6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO PARTE I
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO
Tabla de f´ormulas de antiderivadas

7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO PARTE II
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ´ALCULO PARTE II
Si f es una funci´on continua sobre [a, b], entonces
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
donde F es la antiderivada de f.
EJEMPLO
Tenemos que
3
1
ex
dx = ex
|3
1
= e3
− e