Este documento describe diferentes tipos de límites cuando x tiende a infinito o números finitos. Explica límites como 3, -2, +∞, -∞, indeterminados y continuidad. También presenta ejercicios de cálculo de límites de funciones algebraicas, logarítmicas y raíces cuando x tiende a +∞ o números finitos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento presenta 28 teoremas sobre cálculo diferencial e integral. Incluye teoremas sobre derivadas de funciones compuestas, potencias y funciones trigonométricas. También presenta 32 ejercicios para practicar el cálculo de derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, racionales y compuestas. Finalmente, incluye 8 ejercicios adicionales para practicar derivadas de funciones más complejas.
El documento presenta ejercicios sobre el cálculo de primitivas. Incluye ejemplos de integrales de funciones con potencias, trigonométricas, exponenciales y raíces. También contiene ejercicios para practicar el cálculo de primitivas de funciones compuestas utilizando técnicas como la integración por partes.
Este documento presenta los conceptos y métodos de integración indefinida y definida. Incluye ejemplos resueltos de diferentes métodos de integración como integración inmediata, sustitución o cambio de variables e integración por partes. También incluye aplicaciones como cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
El documento presenta varias reglas y ejemplos para calcular integrales indefinidas utilizando el método del cambio de variables y propiedades de las integrales. Explica cómo realizar sustituciones para simplificar integrales y resuelve ejemplos como integrales de polinomios, funciones racionales y funciones exponenciales.
1) El documento presenta la definición formal de derivada y algunos ejemplos de cálculo de derivadas.
2) Explica conceptos como derivadas laterales y la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
3) Finalmente, provee fórmulas para derivar funciones especiales como polinomios, funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
Este documento presenta doce teoremas sobre derivadas de funciones. Resume los teoremas clave sobre la derivada de una función, incluidas las reglas del producto, el cociente y la cadena. También explica las derivadas de funciones exponenciales, trigonométricas y sus inversas.
Este documento explica qué es una derivada y proporciona reglas y fórmulas para calcular derivadas de funciones. Las derivadas miden cómo cambia el valor de una función cuando cambia su variable independiente. Se proporcionan ejemplos de cómo derivar sumas, productos, divisiones, funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento presenta 28 teoremas sobre cálculo diferencial e integral. Incluye teoremas sobre derivadas de funciones compuestas, potencias y funciones trigonométricas. También presenta 32 ejercicios para practicar el cálculo de derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, racionales y compuestas. Finalmente, incluye 8 ejercicios adicionales para practicar derivadas de funciones más complejas.
El documento presenta ejercicios sobre el cálculo de primitivas. Incluye ejemplos de integrales de funciones con potencias, trigonométricas, exponenciales y raíces. También contiene ejercicios para practicar el cálculo de primitivas de funciones compuestas utilizando técnicas como la integración por partes.
Este documento presenta los conceptos y métodos de integración indefinida y definida. Incluye ejemplos resueltos de diferentes métodos de integración como integración inmediata, sustitución o cambio de variables e integración por partes. También incluye aplicaciones como cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
El documento presenta varias reglas y ejemplos para calcular integrales indefinidas utilizando el método del cambio de variables y propiedades de las integrales. Explica cómo realizar sustituciones para simplificar integrales y resuelve ejemplos como integrales de polinomios, funciones racionales y funciones exponenciales.
1) El documento presenta la definición formal de derivada y algunos ejemplos de cálculo de derivadas.
2) Explica conceptos como derivadas laterales y la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
3) Finalmente, provee fórmulas para derivar funciones especiales como polinomios, funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
Este documento presenta doce teoremas sobre derivadas de funciones. Resume los teoremas clave sobre la derivada de una función, incluidas las reglas del producto, el cociente y la cadena. También explica las derivadas de funciones exponenciales, trigonométricas y sus inversas.
Este documento explica qué es una derivada y proporciona reglas y fórmulas para calcular derivadas de funciones. Las derivadas miden cómo cambia el valor de una función cuando cambia su variable independiente. Se proporcionan ejemplos de cómo derivar sumas, productos, divisiones, funciones exponenciales y trigonométricas.
El documento presenta varios ejemplos de derivadas aplicadas a situaciones de la vida cotidiana como tomar el autobús, carreras de relevos y más. En el primer ejemplo, se calcula la velocidad de un pasajero que corre para alcanzar un autobús en marcha. En el segundo ejemplo, se explica por qué los corredores de relevos empiezan a correr antes de recibir el testigo para una transición suave. El documento también incluye ejercicios de cálculo de derivadas y tangentes medias.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Ejercicios Resueltos de Integrales (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
El documento presenta la solución de varios problemas de cálculo integral resueltos mediante diferentes métodos como sustitución, integración por partes y trigonométricas. En menos de 3 oraciones resume los principales puntos tratados: la resolución de 8 integrales indefinidas utilizando sustitución y 5 integrales utilizando integración por partes con diferentes funciones integrandas.
1) El documento presenta varios ejercicios de matemáticas resueltos. Incluye ecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjuntos solución e intervalos.
2) Los ejercicios van desde determinar conjuntos solución y comprobar desigualdades hasta calcular pendientes, ecuaciones de rectas y maximizar funciones.
3) Se resuelven problemas relacionados con áreas de triángulos, coordenadas de puntos y restricciones para funciones.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Ejercicios resueltos de matematica decimo egbDoris Caiza
El documento contiene varios ejercicios de álgebra que involucran sumar y restar polinomios y términos algebraicos. Se piden realizar operaciones como sumar monomios con coeficientes separados, sumar polinomios, y evaluar expresiones algebraicas.
El documento explica los exponentes y sus propiedades. Los exponentes indican cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Las "leyes de los exponentes" se derivan de que un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica un número, mientras que un exponente negativo indica cuántas veces se divide. La multiplicación y división de monomios y polinomios siguen estas propiedades de los exponentes.
1) La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.
2) Se explican las notaciones y definiciones matemáticas para calcular la derivada.
3) Se presentan ejemplos de cálculo de derivadas de funciones algebraicas y compuestas.
Este documento trata sobre el concepto de antiderivada o primitiva. Explica que una función F es la antiderivada de f si la derivada de F es igual a f. Presenta reglas básicas para calcular antiderivadas de funciones algebraicas. También introduce el método de sustitución, donde si u es una función de x, la integral de una función de u se puede expresar como una integral sobre u en lugar de x.
Este documento presenta soluciones a varios ejercicios de cálculo integral indefinido. Se resumen los principales métodos de integración como funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas, irracionales y racionales. También incluye ejemplos resueltos de integración por partes y funciones racionales con raíces reales o complejas en el denominador.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida es otra función cuya derivada es igual a la función original. Proporciona ejemplos de funciones y sus respectivas integrales indefinidas. También cubre temas como la constante de integración y diferentes métodos para evaluar integrales indefinidas como cambios de variable e identidades trigonométricas.
Este documento presenta varios problemas de cálculo diferencial e integral. 1) Hallar la derivada de una función polinómica. 2) Calcular la derivada de otra función polinómica. 3) Encontrar la antiderivada de un monomio. 4) Calcular el cambio en y cuando x cambia una pequeña cantidad. 5) Hallar la integral de la suma de dos funciones. 6) Usar la regla de la cadena para calcular la derivada de una función compuesta.
Este documento explica el método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Define una ecuación diferencial lineal de primer orden y describe los pasos para convertirla a una forma estándar y encontrar su factor integrante. Luego, multiplica la ecuación original por el factor integrante y la integra para obtener la solución general. Resuelve varios ejemplos para ilustrar el método.
El documento resume los conceptos básicos de cálculo como la derivada de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como las derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones de derivadas a problemas de máximos, mínimos y razones de cambio. Finalmente, incluye los datos personales del autor.
Ejercicios De Suma Y Multiplicacion De Expresiones Algebraicasanmenra
Este documento contiene ejercicios de suma y multiplicación de expresiones algebraicas. En la primera sección hay 8 ejercicios de suma de expresiones que involucran variables como x, y, z y constates. En la segunda sección hay 8 ejercicios de multiplicación de expresiones que también involucran variables como x, y, z, a y constantes. Los ejercicios piden resolver operaciones algebraicas básicas como suma, resta, multiplicación y factorización de polinomios y expresiones.
Este documento presenta una guía de ejercicios de cálculo para estudiantes de matemáticas en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras. Incluye 78 ejercicios que cubren conceptos como límites, derivadas y gráficas de funciones. Los ejercicios piden calcular límites de funciones, construir gráficas que cumplan con ciertas condiciones, y aplicar reglas de límites como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones. El documento también incluye teoremas sobre límites que serán
El documento presenta definiciones sobre asintotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones. Luego, proporciona 30 ejercicios para encontrar las asintotas de funciones específicas. Finalmente, incluye ejercicios adicionales sobre límites de funciones y la creación de gráficas de funciones según ciertas condiciones.
Este documento presenta varios temas relacionados con el cálculo de derivadas, incluyendo derivadas de constantes, potencias, sumas, productos, cocientes y funciones trigonométricas. También cubre la regla de la cadena y problemas de aplicación de máximos y mínimos. El autor es Erving Quintero Gil y proporciona varios ejemplos resueltos de cómo calcular derivadas de funciones compuestas.
Este documento presenta una introducción a las funciones reales de varias variables. Define funciones reales de n variables independientes y explica conceptos como el dominio de una función de varias variables. Luego, analiza casos específicos de funciones de dos y tres variables, y presenta ejemplos para ilustrar conceptos como el dominio y la gráfica de funciones reales de varias variables. Finalmente, introduce conceptos como límite y continuidad de funciones de varias variables y presenta ejemplos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una guía sobre cálculo I que incluye temas como límites de funciones, continuidad de funciones y derivación de funciones. En la sección de límites de funciones, analiza ejemplos numéricos y gráficos de funciones cuando el argumento tiende a cierto valor. En continuidad de funciones, identifica puntos de continuidad y discontinuidad. Finalmente, en derivación de funciones aplica la definición de derivada para calcular la derivada de funciones dadas y derivar expresiones algebraicas y trigonométricas.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y provee ejemplos para ilustrar cómo calcular límites. Define formalmente el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica cómo analizar formas indeterminadas y aplicar identidades para evaluar límites. Finalmente, analiza la continuidad de funciones en su dominio.
El documento explica diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) sacar factor común, 2) usar igualdades notables como diferencia de cuadrados o trinomio cuadrado perfecto, 3) factorizar trinomios de segundo grado igualándolos a cero, y 4) usar el teorema del resto y la regla de Ruffini para polinomios de grado superior. Proporciona ejemplos resueltos de cada método.
El documento presenta varios ejemplos de derivadas aplicadas a situaciones de la vida cotidiana como tomar el autobús, carreras de relevos y más. En el primer ejemplo, se calcula la velocidad de un pasajero que corre para alcanzar un autobús en marcha. En el segundo ejemplo, se explica por qué los corredores de relevos empiezan a correr antes de recibir el testigo para una transición suave. El documento también incluye ejercicios de cálculo de derivadas y tangentes medias.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Ejercicios Resueltos de Integrales (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
El documento presenta la solución de varios problemas de cálculo integral resueltos mediante diferentes métodos como sustitución, integración por partes y trigonométricas. En menos de 3 oraciones resume los principales puntos tratados: la resolución de 8 integrales indefinidas utilizando sustitución y 5 integrales utilizando integración por partes con diferentes funciones integrandas.
1) El documento presenta varios ejercicios de matemáticas resueltos. Incluye ecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjuntos solución e intervalos.
2) Los ejercicios van desde determinar conjuntos solución y comprobar desigualdades hasta calcular pendientes, ecuaciones de rectas y maximizar funciones.
3) Se resuelven problemas relacionados con áreas de triángulos, coordenadas de puntos y restricciones para funciones.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Ejercicios resueltos de matematica decimo egbDoris Caiza
El documento contiene varios ejercicios de álgebra que involucran sumar y restar polinomios y términos algebraicos. Se piden realizar operaciones como sumar monomios con coeficientes separados, sumar polinomios, y evaluar expresiones algebraicas.
El documento explica los exponentes y sus propiedades. Los exponentes indican cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Las "leyes de los exponentes" se derivan de que un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica un número, mientras que un exponente negativo indica cuántas veces se divide. La multiplicación y división de monomios y polinomios siguen estas propiedades de los exponentes.
1) La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.
2) Se explican las notaciones y definiciones matemáticas para calcular la derivada.
3) Se presentan ejemplos de cálculo de derivadas de funciones algebraicas y compuestas.
Este documento trata sobre el concepto de antiderivada o primitiva. Explica que una función F es la antiderivada de f si la derivada de F es igual a f. Presenta reglas básicas para calcular antiderivadas de funciones algebraicas. También introduce el método de sustitución, donde si u es una función de x, la integral de una función de u se puede expresar como una integral sobre u en lugar de x.
Este documento presenta soluciones a varios ejercicios de cálculo integral indefinido. Se resumen los principales métodos de integración como funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas, irracionales y racionales. También incluye ejemplos resueltos de integración por partes y funciones racionales con raíces reales o complejas en el denominador.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida es otra función cuya derivada es igual a la función original. Proporciona ejemplos de funciones y sus respectivas integrales indefinidas. También cubre temas como la constante de integración y diferentes métodos para evaluar integrales indefinidas como cambios de variable e identidades trigonométricas.
Este documento presenta varios problemas de cálculo diferencial e integral. 1) Hallar la derivada de una función polinómica. 2) Calcular la derivada de otra función polinómica. 3) Encontrar la antiderivada de un monomio. 4) Calcular el cambio en y cuando x cambia una pequeña cantidad. 5) Hallar la integral de la suma de dos funciones. 6) Usar la regla de la cadena para calcular la derivada de una función compuesta.
Este documento explica el método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Define una ecuación diferencial lineal de primer orden y describe los pasos para convertirla a una forma estándar y encontrar su factor integrante. Luego, multiplica la ecuación original por el factor integrante y la integra para obtener la solución general. Resuelve varios ejemplos para ilustrar el método.
El documento resume los conceptos básicos de cálculo como la derivada de funciones constantes, potencias, suma, producto y cociente, así como las derivadas de funciones trigonométricas. También cubre temas como la regla de la cadena y aplicaciones de derivadas a problemas de máximos, mínimos y razones de cambio. Finalmente, incluye los datos personales del autor.
Ejercicios De Suma Y Multiplicacion De Expresiones Algebraicasanmenra
Este documento contiene ejercicios de suma y multiplicación de expresiones algebraicas. En la primera sección hay 8 ejercicios de suma de expresiones que involucran variables como x, y, z y constates. En la segunda sección hay 8 ejercicios de multiplicación de expresiones que también involucran variables como x, y, z, a y constantes. Los ejercicios piden resolver operaciones algebraicas básicas como suma, resta, multiplicación y factorización de polinomios y expresiones.
Este documento presenta una guía de ejercicios de cálculo para estudiantes de matemáticas en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras. Incluye 78 ejercicios que cubren conceptos como límites, derivadas y gráficas de funciones. Los ejercicios piden calcular límites de funciones, construir gráficas que cumplan con ciertas condiciones, y aplicar reglas de límites como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones. El documento también incluye teoremas sobre límites que serán
El documento presenta definiciones sobre asintotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones. Luego, proporciona 30 ejercicios para encontrar las asintotas de funciones específicas. Finalmente, incluye ejercicios adicionales sobre límites de funciones y la creación de gráficas de funciones según ciertas condiciones.
Este documento presenta varios temas relacionados con el cálculo de derivadas, incluyendo derivadas de constantes, potencias, sumas, productos, cocientes y funciones trigonométricas. También cubre la regla de la cadena y problemas de aplicación de máximos y mínimos. El autor es Erving Quintero Gil y proporciona varios ejemplos resueltos de cómo calcular derivadas de funciones compuestas.
Este documento presenta una introducción a las funciones reales de varias variables. Define funciones reales de n variables independientes y explica conceptos como el dominio de una función de varias variables. Luego, analiza casos específicos de funciones de dos y tres variables, y presenta ejemplos para ilustrar conceptos como el dominio y la gráfica de funciones reales de varias variables. Finalmente, introduce conceptos como límite y continuidad de funciones de varias variables y presenta ejemplos para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una guía sobre cálculo I que incluye temas como límites de funciones, continuidad de funciones y derivación de funciones. En la sección de límites de funciones, analiza ejemplos numéricos y gráficos de funciones cuando el argumento tiende a cierto valor. En continuidad de funciones, identifica puntos de continuidad y discontinuidad. Finalmente, en derivación de funciones aplica la definición de derivada para calcular la derivada de funciones dadas y derivar expresiones algebraicas y trigonométricas.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y provee ejemplos para ilustrar cómo calcular límites. Define formalmente el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica cómo analizar formas indeterminadas y aplicar identidades para evaluar límites. Finalmente, analiza la continuidad de funciones en su dominio.
El documento explica diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) sacar factor común, 2) usar igualdades notables como diferencia de cuadrados o trinomio cuadrado perfecto, 3) factorizar trinomios de segundo grado igualándolos a cero, y 4) usar el teorema del resto y la regla de Ruffini para polinomios de grado superior. Proporciona ejemplos resueltos de cada método.
El documento resume los principales temas sobre derivadas de funciones que incluyen: derivada de constantes, potencias, suma, producto, cociente, funciones trigonométricas y cadenas. Además, presenta ejemplos resueltos de aplicación de estas reglas y problemas sobre máximos y mínimos. El autor es Erving Quintero Gil, ingeniero electromecánico de Bucaramanga, Colombia, quien ofrece sus datos de contacto para cualquier consulta.
Este documento resume varios métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo: factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y trinomios de la forma Ax^2n + Bx^n + C. Explica cada método con ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicarlos para descomponer completamente una expresión en factores.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Este documento presenta ejercicios sobre operaciones con polinomios como sumar, restar, multiplicar, dividir y factorizar monomios y polinomios. También incluye determinar si expresiones son polinomios o no, calcular raíces y valores para que polinomios tengan raíces dadas.
Este documento presenta ejercicios de factorización de polinomios. Muestra cómo descomponer polinomios en factores comunes y utilizando identidades notables como la suma y diferencia de cuadrados. También cubre divisibilidad, raíces de polinomios, y aplica la regla de Ruffini para evaluar polinomios en números específicos.
1) El documento presenta una serie de funciones matemáticas con sus dominios y expresiones.
2) Incluye ejercicios para calcular límites, dominios de funciones y representar gráficamente funciones.
3) Aborda conceptos como continuidad, vértice de una parábola, y comportamiento de funciones para valores muy grandes o próximos a cierto punto.
Este documento presenta información sobre álgebra, incluyendo factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales. Explica métodos para factorizar expresiones, realizar operaciones con fracciones algebraicas y resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. También incluye ejemplos resueltos de cada tema.
Este documento presenta ejercicios sobre operaciones con polinomios como sumar, restar, multiplicar y dividir monomios y polinomios. También incluye factorizar polinomios, hallar raíces y determinar si expresiones son polinomios. Se proveen detalles sobre grado, coeficientes, divisibilidad y evaluación de polinomios.
Este documento presenta varios ejercicios sobre cálculo de límites y continuidad de funciones. En el primer ejercicio, se piden calcular doce límites y especificar las propiedades utilizadas en cada caso. El segundo ejercicio contiene cinco límites adicionales. El tercer ejercicio pide calcular ocho límites utilizando el límite del logaritmo natural. El cuarto ejercicio pide determinar los conjuntos de puntos de discontinuidad de seis funciones. Finalmente, el quinto ejercicio pide encontrar
Este documento contiene varios ejercicios de cálculo y álgebra. En el ejercicio 1, se piden calcular cuatro límites. En el ejercicio 2, se piden resolver operaciones entre polinomios y calcular tres límites. En el ejercicio 3, se piden calcular cinco límites de funciones.
Este documento contiene varios ejercicios de cálculo de límites, operaciones con polinomios, análisis de convergencia de series, cálculo de límites de funciones, graficación de cónicas y cuádricas, graficación y análisis de funciones, obtención de raíces de ecuaciones y resolución de sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo de primitivas. En cada ejercicio se pide calcular la primitiva de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También incluye ejemplos de cambio de variables para calcular primitivas más complejas.
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Este documento presenta 4 problemas de probabilidad. El primero pide calcular la probabilidad de sacar 1, al menos 1 o 3 cartas del mismo palo al sacar 3 cartas de una baraja. El segundo calcula diferentes probabilidades dados los eventos A y B. El tercero calcula la probabilidad de sacar una bola verde al sacarla de una urna después de mover 2 bolas de una urna a otra. El cuarto calcula la probabilidad de suspender un examen en función de quién lo elaboró y la probabilidad de que lo elaborara cada profesor.
El documento presenta 5 ejercicios de álgebra lineal y cálculo. El ejercicio 1 involucra matrices y su inversa. El ejercicio 2 pide calcular una matriz X. El ejercicio 3 analiza un sistema de ecuaciones lineales parametrizado y pide resolver casos específicos. El ejercicio 4 modela un problema de floristería. El ejercicio 5 estudia la derivabilidad de una función.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Explica la definición intuitiva y formal de límite de una función en un punto, así como los límites laterales y los límites en el infinito. También cubre las propiedades de los límites, los diferentes tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
Examen 3 eva funciones 3ºf para elegir preguntasklorofila
El documento presenta 5 problemas de matemáticas relacionados con funciones y gráficas. El primer problema analiza una gráfica que muestra el trayecto de dos ciclistas en función del tiempo y la distancia, identificando las variables independiente y dependiente, comparando los tiempos y distancias de los ciclistas, y determinando si alguno se detuvo. El segundo problema halla la ecuación de una recta y una recta paralela a partir de puntos dados. El tercer problema estudia los componentes de una recta dada por su ecuación. El cuart
Este documento presenta 6 problemas de matemáticas. El primero pide resolver 2 ecuaciones. El segundo pide calcular la cantidad de peces en 3 peceras de tamaños diferentes si se distribuyen en proporción al tamaño. El tercer problema pide calcular el precio de un libro si Juan tiene 400€ y Rosa 350€ después de comprarlo. Los problemas 4 y 5 piden resolver sistemas de ecuaciones usando diferentes métodos. El sexto problema analiza un gráfico de afluencia de clientes en una tienda a lo largo del día y hace 4 pregunt
El documento contiene 7 preguntas de matemáticas sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas. La primera pregunta pide resolver una ecuación radical. La segunda y tercera preguntas involucran ecuaciones. La cuarta y quinta preguntas piden resolver inecuaciones dando el intervalo de soluciones. La sexta pregunta es sobre un sistema lineal. Y la última pregunta trata sobre un sistema de inecuaciones.
Este documento presenta 6 problemas matemáticos que incluyen: 1) racionalizar y operar raíces; 2) descomponer en factores y simplificar una expresión; 3) operar y simplificar fracciones; 4) resolver ecuaciones; 5) determinar el valor de m para que una ecuación tenga raíces en una relación dada; y 6) escribir operaciones de conjuntos como intervalos.
El documento presenta 34 problemas de ecuaciones y matemáticas, incluyendo problemas sobre mezclas, velocidades, geometría, porcentajes y edades. Los problemas involucran hallar números desconocidos, cantidades, precios y dimensiones usando ecuaciones y operaciones matemáticas básicas.
El documento presenta 5 problemas de geometría analítica sobre puntos, rectas y ecuaciones. El problema 1 pide hallar un punto R que verifique dos puntos dados. El problema 2 trata sobre rectas paralelas y resuelve una ecuación para m. El problema 3 pide escribir la ecuación de una recta paralela y determinar si un punto pertenece a una recta. El problema 4 determina un valor de k para que puntos estén alineados y halla un vector. El problema 5 pide ecuaciones para un lado y una mediana entre tres puntos.
1) La función f(x) = √x2+2−√5x2+3x+3 tiene asintotas verticales en x = -3 y x = 0 y no tiene asintotas horizontales.
2) a) El límite cuando x→0 es 1. b) El límite cuando x→-∞ es 0. c) El límite cuando x→-∞ es -2.
3) b = 5 para que el límite cuando x→-∞ sea 1/5.
4) La función f(x) es continua excepto en x = 3 donde hay discontinuidad por salto
1. El documento presenta 6 problemas de matemáticas relacionados con trigonometría y geometría. Los problemas incluyen hallar razones trigonométricas sabiendo un valor de tangente, determinar ángulos a partir de senos, cosenos y tangentes, calcular medidas en un trapecio isósceles, hallar puntos alineados y puntos medios entre puntos dados, y encontrar ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados.
El documento contiene 4 problemas relacionados con límites y asíntotas de funciones. El primer problema pide comprobar si una función tiene una asíntota vertical en x=2. El segundo problema pide determinar si una función tiene asíntotas horizontal y vertical y expresarlas algebraicamente. El tercer problema pide calcular 3 límites. El cuarto problema pide calcular el valor de a para que un límite sea igual a un valor dado.
Este documento presenta varios problemas de cálculo y álgebra. En la primera sección, se piden los límites de cuatro funciones, algunas de las cuales tienen asíntotas. La segunda sección contiene un sistema de ecuaciones lineales y una ecuación logarítmica. La tercera sección pide los dominios de dos funciones racionales. La cuarta sección solicita representar gráficamente una función por trozos e indicar sus discontinuidades.
El documento describe la construcción del triángulo de Sierpinski de manera iterativa, comenzando con un triángulo equilátero y dividiendo cada triángulo en tres copias más pequeñas en cada paso. Luego analiza las progresiones de triángulos, perímetros y áreas a medida que se repite el proceso. Finalmente, extiende el análisis a tres dimensiones considerando un tetraedro de Sierpinski.
Este documento presenta 6 problemas de geometría y álgebra. Problema 1) encuentra el punto C para que sea alineado con A y B o para que el vector BC tenga longitud √32. Problema 2) encuentra el punto D simétrico a A sobre B o que divida AB en 7 partes iguales. Problema 3) encuentra puntos y vector director de una recta dada y escribe la recta en paramétricas. Problema 4) calcula valores para un triángulo rectángulo. Problema 5) demuestra una igualdad trigonométrica
1. Pablo observa un accidente desde su ventana a 61° y luego desde la azotea a 10 metros más arriba a 37°. Se pide determinar la altura del edificio de Pablo.
2. Se piden calcular diferentes funciones trigonométricas racionalizando los resultados.
3. Dado un paralelogramo de lados 12 cm y 20 cm formando un ángulo de 48°, calcular su área.
1. UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD
Páginas 130 y 131
Describe las siguientes ramas:
a)
b)
c)
d)
e)
lím f (x) = 3
x → +∞
lím f (x) no existe
x → +∞
lím f (x) = 3
x → +∞
lím f (x) = +∞
x → +∞
lím f (x) = –∞
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 1
2. f)
g)
h)
i)
j)
1
2
1
2
lím f (x) = +∞
x → –∞
lím f (x) = –2
x → –∞
f (x) no existe;
lím
x → –∞
lím f (x) = 0
x → +∞
1 f (x) = +∞
lím
x → –1–
2 lím f (x) = –∞
x → –1+
1 f (x) = 5
lím
x → 4–
2 lím f (x) = 2
x → 4+
Unidad 5. Límites y continuidad 2
3. k)
l)
1
π 2
lím f (x) = –2
x → 2
1 f (x) = +∞
lím
x → π–
2 lím f (x) = 0
x → π+
Página 133
1. Si u (x) →2 y v (x) →–3 cuando x→+∞, calcula el límite cuando x→+∞ de:
a) u(x) + v (x) b) v (x)/u (x) c) 5u (x)
d) e) u (x) · v (x) f)
3√v (x) √u (x)
a) [u(x) + v(x)] = 2 + (–3) = –1 b) =
c) 5u(x) = 52 = 25 d) no existe
e) [u(x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6 f) =
3√2
2. Si u (x) →–1 y v (x) →0 cuando x→+∞, calcula el límite cuando x→+∞ de:
a) u(x) – v (x) b) v (x) – u (x) c) v (x)/u (x)
d) log2 v (x) e) u (x) · v (x) f)
a) [u(x) – v (x)] = –1 – 0 = –1
lím
x → +∞
b) [v (x) – u(x)] = 0 – (–1) = 1
lím
x → +∞
c) = 0 = 0
–1
v (x)
u(x)
lím
x → +∞
3√u (x)
3lím √u (x)
x → +∞
lím
x → +∞
lím √v (x)
x → +∞
lím
x → +∞
–3
2
v (x)
u(x)
lím
x → +∞
lím
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 3
4. d) log2v (x) =
e) [u(x) · v (x)] = –1 · 0 = 0
lím
x → +∞
f) = = –1
Página 134
3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±∞) cuando x → +∞:
a) 3x5– + 1 b) 0,5x c) –1,5x
d) log2x e) 1/(x3 + 1) f )
g) 4x h) 4–x i) –4x
lím √x
x → +∞
a) (3x5 – + 1) = +∞ → Sí
b) 0,5x = 0 → No
lím
x → +∞
c) (–1,5x) = –∞ → Sí
lím
x → +∞
d) log2x = +∞ → Sí
1
x3 + 1
lím
x → +∞
e) = 0 → No
lím
x → +∞
lím √x
x → +∞
f) = +∞ → Sí
g) 4x = +∞ → Sí
lím
x → +∞
h) 4–x = 0 → No
lím
x → +∞
i) –4x = –∞ → Sí
lím
x → +∞
4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:
√x
log2x x2 3x5 1,5x 4x
b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:
√x
1,5x lím
x → +∞
3x5
x2 lím
x → +∞
log2 x
√x
lím
x → +∞
a) 4x 1,5x 3x5 x2 √x log2x
√x
√x
3√–1
3lím √u (x)
x → +∞
–∞ si v (x) → 0+
no existe si v (x) → 0–
lím
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 4
5. b) = 0
= +∞
= 0
3x5
x2 lím
x → +∞
√x
1,5x lím
x → +∞
Página 135
5. Sabiendo que, cuando x → +∞, f (x) → +∞, g (x) → 4, h(x) → –∞, u(x) → 0,
asigna, siempre que puedas, límite cuando x→+∞ a las expresiones siguientes:
a) f (x) – h(x) b) f (x) f (x) c) f (x) + h(x)
d) f (x)x e) f (x) · h(x) f) u (x)u (x)
g) f (x)/h(x) h) [–h(x)]h(x) i) g (x)h(x)
j) u (x)/h(x) k) f (x)/u (x) l) h (x)/u (x)
m) g (x)/u (x) n) x + f (x) ñ) f (x)h(x)
o) x + h(x) p) h (x)h(x) q) x –x
a) ( f (x) – h (x)) = +∞ – (–∞) = +∞ + ∞ = +∞
lím
x → +∞
b) f (x) f (x) = (+∞)+∞ = +∞
lím
x → +∞
c) ( f (x) + h (x)) = +∞ + (–∞) → Indeterminado
lím
x → +∞
d) f (x) x = +∞+∞ = +∞
lím
x → +∞
e) ( f (x) · h (x)) = +∞ · (–∞) = –∞
lím
x → +∞
f ) u (x)u(x) = 00 → Indeterminado
lím
x → +∞
g) = → Indeterminado
h) [–h (x)]h(x) = [+∞]–∞ = 0
lím
x → +∞
i) g (x)h(x) = 4–∞ = 0
lím
x → +∞
j) = = 0
k) = +∞ = ±∞
(0)
f (x)
u(x)
lím
x → +∞
0
–∞
u(x)
h (x)
lím
x → +∞
+∞
–∞
f (x)
h (x)
lím
x → +∞
log2 x
√x
lím
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 5
6. l) = = ±∞
m) = = ±∞
n) (x + f (x)) = +∞ + (+∞) = +∞
lím
x → +∞
ñ) f (x)h(x) = (+∞)–∞ = 0
lím
x → +∞
o) (x + h (x)) = +∞ + (–∞) → Indeterminado
lím
x → +∞
p) h (x)h (x) = (–∞)–∞ → No existe
lím
x → +∞
q) x –x = (+∞)–∞ = 0
lím
x → +∞
Página 136
6. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 7 (página anterior).
Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si
es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el límite:
a) f (x) + h(x) b) f (x)/h(x) c) f (x)–h(x) d) f (x)h(x)
e) f (x) · u(x) f) u(x)h(x) g) [g (x)/4] f (x) h) g (x) f (x)
a) ( f (x) + h (x)) = +∞ + (–∞). Indeterminado.
lím
x → +∞
b) = . Indeterminado.
c) f (x)–h(x) = (+∞)+∞ = +∞
lím
x → +∞
d) f (x)h(x) = (+∞)–∞ = 0
lím
x → +∞
e) f (x) · u(x) = (+∞) · (0). Indeterminado.
lím
x → +∞
f) u(x)h(x) = 0–∞ = ±∞
lím
x → +∞
g) [ ]f (x)
= 1+∞. Indeterminado.
h) lím g (x)f (x) = 4+∞ = +∞
x → +∞
g(x)
4
lím
x → +∞
+∞
–∞
f (x)
h(x)
lím
x → +∞
4
(0)
g(x)
u(x)
lím
x → +∞
–∞
(0)
h(x)
u(x)
lím
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 6
7. Página 137
1. Calcula los siguientes límites:
a) b)
c) d)
a) = +∞ b) = –∞
c) = 0 d) =
2. Calcula:
a) b)
c) d)
a) = =
= = –∞
b) = = 9
c) = +∞
d) = = =
Página 138
3. Sin operar, di el límite, cuando x → +∞, de las siguientes expresiones:
a) (x2– ) b) (x2 – 2x) c) –
d) 3x – 2x e) 5x– f) – log5 x4
a) (x2 – ) = +∞ b) (x2 – 2x) = –∞
c) ( – ) = +∞ d) lím (3x – 2x ) = +∞
x → +∞
lím √x2 + 1 √x
x → +∞
lím
x → +∞
3lím √2x + 1
x → +∞
√x
3√x8 – 2
√x2 + 1 √x
3√2x + 1
2
3
2x
3x
lím
x → +∞
3 √8x3
3x
lím
x → +∞
3 √8x3 – 5x
3x
lím
x → +∞
√x3 – 5x + 3
x2 – 2x
lím
x → +∞
9x3 + 6x2 + x
x3 – 10x
lím
x → +∞
(3x + 1)2x
x3 – 10x
lím
x → +∞
9x4 – 3x3 – 5x2 – x
–9x2 – 27x – 27
lím
x → +∞
9x4 – 3x3 – 5x2 – x
x3 – (x3 + 9x2 + 27x + 27)
lím
x → +∞
(3x + 1)2(x – 1)x
x3 – (x + 3)3 lím
x → +∞
3√8x3 – 5x
3x
√x3 – 5x + 3
lím
x2 – 2x
x → +∞ lím
x → +∞
(3x + 1)2x
x3 – 10x
lím
x → +∞
(3x + 1)2 (x – 1)x
x3 – (x + 3)3
lím
x → +∞
5
3
5x4 – 6x + 2
3x4 + x – 1
lím
x → +∞
6x2 – 3x
x3 + 1
lím
x → +∞
3x4 – 6x + 1
–5x3 + 3x2 lím
x → +∞
3x4 – 6x + 1
5x3 + 3x2 lím
x → +∞
5x4 – 6x + 2
3x4 + x – 1
lím
x → +∞
6x2 – 3x
x3 + 1
lím
x → +∞
3x4 – 6x + 1
–5x3 + 3x2
lím
x → +∞
3x4 – 6x + 1
5x3 + 3x2
lím
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 7
8. e) (5x – ) = +∞ f ) ( – log5 x4) = +∞
4. Calcula el límite, cuando x → +∞, de las siguientes expresiones:
a) – b) – c) –
d) (x + 5)x2 – 5x + 1 e) ( )x
x2 + x
f ) ( x – 2
)2x – 3
3x + 5
2x + 1
3x3 4x3 a) ( + 5
– – x
)= (3x3 + 5)(x – 2) – (4x3 – x)(x + 2)
lím
=
x + 2
x – 2
x → +∞
(x + 2)(x – 2)
3x4 – 6x3 + 5x – 10 – 4x4 – 8x3 + x2 + 2x
lím
x → +∞
= =
x2 – 4
–x4 – 14x3 + x2 + 7x – 10
lím
x → +∞
= = –∞
x2 – 4
lím
x → +∞
( )= 2x3 b) – – x (2x2 + 1)
= =
2(2x2 + 1)
–x
4x2 + 2
lím
x → +∞
= = 0
lím
x → +∞
2x3 – 2x3 – x
4x2 + 2
lím
x → +∞
x
2
x3
2x2 + 1
lím
x → +∞
c) ( 3x + 5
x2 – – 2
)= 3x2 + 5x – 2x2 + 4
lím
lím
= = +∞
x → +∞
2
x
x → +∞
d) (x + 5)x2 – 5x + 1 = (+∞)+∞ = +∞
lím
x → +∞
e) ( )x
= ( )+∞
= +∞
3x + 5
2x + 1
lím
x → +∞
f) ( )x2 + x
3
2
= ( )+∞
= 0
1
2
x – 2
2x – 3
lím
x → +∞
2x
Página 139
1. Halla el de las siguientes expresiones:
lím
x → –∞
5x4 – 6x + 2
3x4 + x – 1
a) b)
√x3 – 5x + 3
x2 – 2x
5x4 + 6x + 2
3x4 – x – 1
5x4 – 6x + 2
3x4 + x – 1
a) = =
√x3 – 5x + 3
x2 – 2x
lím
x → –∞
b) =
√–x3 + 5x + 3
x2 + 2x
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
5
3
x2 + 5x + 4
2x
lím
x → +∞
No existe, pues el radicando toma valores negativos cuando x → –∞.
x2 – 2
x
3x + 5
2
x
2
x3
2x2 + 1
4x3 – x
x – 2
3x3 + 5
x + 2
lím √x
x → +∞
3lím √x8 – 2
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 8
9. 2. Halla el de las siguientes expresiones:
lím
x → –∞
a) b) – c) 3x
a) = = =
= = –
b) ( – ) = ( – ) =
= =
= = –∞
c) 3x= 3–x= = 0
Página 141
1. Si f (x) = 3 y g (x) = 2, di el valor del límite cuando x tiende a 1 de
las siguientes funciones:
a) f (x) + g (x) b) f (x) · g (x) c)
d) f (x)g (x) e) f) 4 f (x) – 5 g (x)
a) ( f (x) + g (x)) = 3 + 2 = 5
lím
x → 1
b) ( f (x) · g(x)) = 3 · 2 = 6
lím
x → 1
c) =
d) f (x)g(x) = 32 = 9
lím
x → 1
lím √g(x) √2
x → 1
e) =
f ) lím (4f (x) – 5g(x)) = 12 – 10 = 2
x → 1
3
2
f (x)
g(x)
lím
x → 1
√g (x)
f (x)
g (x)
lím
x → 1
lím
x → 1
1
3x
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
–x4 + 14x3 + x2 – 7x – 10
x2 – 4
lím
x → +∞
3x4 – 5x + 6x3 – 10 – 4x4 + x2 + 8x3 – 2x
x2 – 4
lím
x → +∞
–4x3 – x
–x – 2
–3x3 + 5
–x + 2
lím
x → +∞
4x3 – x
x – 2
3x3 + 5
x + 2
lím
x → –∞
1
3
x
–3x
lím
x → +∞
√x2
–3x
lím
x → +∞
√x2 + 5x + 3
–3x – 2
lím
x → +∞
√x2 – 5x + 3
3x – 2
lím
x → –∞
4x3 – x
x – 2
3x3 + 5
x + 2
√x2 – 5x + 3
3x – 2
Unidad 5. Límites y continuidad 9
10. 2. Si f (x) = l y g (x) = m, entonces [ f (x) + g (x)] = l + m.
Enuncia las restantes propiedades de los límites de las operaciones con fun-ciones
empleando la notación adecuada.
Si f (x) = l y g (x) = m, entonces:
1) [ f (x) + g(x)] = l + m
lím
x → a
2) [ f (x) – g(x)] = l – m
lím
x → a
3) [ f (x) · g(x)] = l · m
l
m
lím
x → a
4) = (Si m ≠ 0).
5) Si f (x) > 0, [f (x)g(x)] = lm
6) Si n es impar, o si n es par y f (x) ≥ 0 → =
7) Si α > 0 y f (x) > 0, [logα f (x)] = logα l
3. Si p(x) = +∞, q(x) = +∞, r (x) = 3 y s (x) = 0, di, en los casos
que sea posible, el valor
del de las siguientes funciones:
(Recuerda que las expresiones (+∞)/(+∞), (+∞) – (+∞), (0) · (+∞), (1)(+∞),
(0)/(0) son indeterminaciones).
a) 2p (x) + q (x) b) p (x) – 3q (x) c) d)
e) f) g) s (x) · p (x) h) s (x) r (x)
i ) p (x) r (x) j ) r (x) s (x) k) l) [ ]s (x)
m) r (x)p (x) n) r (x) –q (x) ñ) ( )p (x)
o) ( )–p (x)
a) [2p(x) + q(x)] = +∞ + (+∞) = +∞
lím
x → 2
b) [p(x) – 3q(x)] = +∞ – (+∞). Indeterminado.
lím
x → 2
c) = 3 = 0
+∞
r (x)
p(x)
lím
x → 2
r (x)
3
r (x)
3
r (x)
3
3 – r (x)
s (x)
p (x)
q (x)
s (x)
q (x)
p (x)
p (x)
r (x)
p (x)
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → a
n√l
nlím √f (x)
x → a
lím
x → a
f (x)
g(x)
lím
x → a
lím
x → a
lím
x → a
lím
x → a
lím
x → a
lím
x → a
Unidad 5. Límites y continuidad 10
11. d) = 1 = 1
e) = = 0
f ) = . Indeterminado.
g) [s (x) · p(x)] = 0 · (+∞). Indeterminado.
lím
x → 2
h) S(x)r (x) = 03 = 0
i) p(x)r (x) = +∞3 = +∞
lím
x → 2
j) r (x)s (x) = 30 = 1
lím
x → 2
k) = = . Indeterminado.
l) ( )s (x)
= 10 = 1
m) r (x)p(x) = 3+∞ = +∞
lím
x → 2
n) r (x)–q(x) = 3–∞ = 0
lím
x → 2
ñ) ( )p(x)
= 1+∞. Indeterminado.
o) ( )–p(x)
= 1–∞. Indeterminado.
Página 142
4. Calcula los límites siguientes:
a) b)
a) = =
= = =
b) = = 15
28
45
84
x3 – 5x + 1
x3 + 2x2 – 3x
lím
x → 4
–9
8
9
–8
x2 – 3x + 5
x – 7
lím
x → –1
(x + 1)(x2 – 3x + 5)
(x + 1)(x – 7)
lím
x → –1
x3 – 2x2 + 2x + 5
x2 – 6x – 7
lím
x → –1
x3 – 5x + 1
x3 + 2x2– 3x
lím
x → 4
x3 – 2x2 + 2x + 5
x2 – 6x – 7
lím
x → –1
r (x)
3
lím
x → 2
r (x)
3
lím
x → 2
r (x)
3
lím
x → 2
0
0
3 – 3
(0)
3 – r (x)
s (x)
lím
x → 2
+∞
+∞
p(x)
q(x)
lím
x → 2
0
+∞
s (x)
q(x)
lím
x → 2
lím
x → 2
p(x)
p(x)
lím
x → 2
Unidad 5. Límites y continuidad 11
12. 5. Calcula: ( – )
( – ) = ( – )=
= =
= =
= = =
= = = –5
Página 149
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1 Sabemos que f (x) = +∞, g (x) = –∞ y h (x) = 3.
¿En cuáles de los siguientes casos hay indeterminación para x → +∞?
En los casos en que no la haya, di cuál es el límite:
a) f (x) + g (x) b) g (x) + h (x) c)
f (x)
g (x)
d) e) [h (x)] g (x) f ) [3 – h (x)] · f (x)
a) ( f (x) + g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) = +∞ + (–∞) =
= +∞ – (+∞) → Indeterminación.
b) (g(x) + h(x)) = g (x) + h(x) = –∞ + 3 = –∞
c) = = +∞
d) = → Indeterminación.
1
3+∞ lím
e) [h(x)]g(x) = 3–∞= = 0
x → +∞
f ) [3 – lím h(x)] · f (x) = 0 · (+∞) → Indeterminación.
x → +∞
+∞
–∞
f (x)
g(x)
lím
x → +∞
+∞
3
f (x)
g(x)
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
f (x)
h (x)
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
–10
2 · 1
–7x2 + x – 10
(x + 2)(x2 + 1)
lím
x → 0
x (–7x2 + x – 10)
x (x + 2)(x2 + 1)
lím
x → 0
–7x3 + x2 – 10x
x (x + 2)(x2 + 1)
lím
x → 0
x4 – 5x3 + 2x2 + x2 – 5x + 2 – x4 – 2x2 – x – 2x3 – 4x – 2
x (x + 2)(x2 + 1)
lím
x → 0
(x2 + 1)(x2 – 5x + 2) – (x + 2)(x3 + 2x + 1)
x (x + 2)(x2 + 1)
lím
x → 0
x3 + 2x + 1
x( x 2 + 1 )
x2 – 5x + 2
x (x + 2)
lím
x → 0
x3 + 2x + 1
x3 + x
x2 – 5x + 2
x2 + 2x
lím
x → 0
x3 + 2x + 1
x3 + x
x2 – 5x + 2
x2 + 2x
lím
x → 0
Unidad 5. Límites y continuidad 12
13. 2 Calcula los límites cuando x → –∞ de las siguientes funciones:
a) f (x) = b) g (x) =
c) h(x) = d) i (x) =
a) = = –2
b) = = 0
c) = = –∞
d) = =
3 Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y
denominador:
a) b)
c) d)
a) = =
b) = +∞
c) = 0
d) = 0
4 Calcula estos límites observando cuál es el infinito de orden superior:
a) (ex – x3) b)
c) ( – ) d)
a) lím (ex – x3) = +∞
x → +∞
ln (x2 + 1)
x
lím
x → +∞
lím √x2 + x √x + 7
x → +∞
x2 + 1
ex lím
x → +∞
lím
x → +∞
3x
√x3 + 2
lím
x → +∞
1 + √x
2x – 3
lím
x → +∞
√5x2 – 7
x + 1
lím
x → +∞
√3
2
√3 x
2x
lím
x → +∞
√3x2 + 6x
2x + 1
lím
x → +∞
3x
√x3 + 2
lím
x → +∞
1 + √x
2x – 3
lím
x → +∞
√5x2 – 7
x + 1
lím
x → +∞
√3x2 + 6x
2x + 1
lím
x → +∞
1
5
–x3 – 2x
7 – 5x3 lím
x → +∞
x3 + 2x
7 + 5x3 lím
x → –∞
3x2 – 4
–2x + 3
lím
x → +∞
3x2 – 4
2x + 3
lím
x → –∞
–10x – 5
x2 + 1
lím
x → +∞
10x – 5
x2 + 1
lím
x → –∞
–2x + 5
2 + x
lím
x → +∞
2x + 5
2 – x
lím
x → –∞
x3 + 2x
7 + 5x3
3x2 – 4
2x + 3
10x – 5
x2 + 1
2x + 5
2 – x
Unidad 5. Límites y continuidad 13
14. x2 + 1
e x lím
x → +∞
b) = 0
c) ( – ) = +∞
lím √x2 + x √x + 7
x → +∞
d) = 0
5 Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados
obtenidos:
a) (0,5x + 1) b) 2x + 1
a) (0,5x + 1) = (0,5–x + 1) = +∞
b) 2x + 1= 2–x + 1 = 0
6 Si p (x) = +∞ q (x) = –∞
r (x) = 3 s (x) = 0
di, en los casos que sea posible, el valor de los siguientes límites:
a) b) [s (x) · q (x)]
c) [r (x)]q (x) d) [p (x) – 2q (x)]
a) = = 0
b) [s (x) · q(x)] = 0 · (–∞) → Indeterminado.
lím
x → 2
c) [r (x)]q(x) = 3–∞ = 0
lím
x → 2
d) [p(x) – 2q(x)] = +∞ – 2 (–∞) = +∞ + (+∞) = +∞
lím
x → 2
7 Calcula:
x2 + 3
a) lím
( – 1
) b) lím
[ 2
– 1 ]
x → 0
x3 x
x → 1
(x – 1)2 x (x – 1)
0
+∞
s (x)
p(x)
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
s (x)
p (x)
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → –∞
ln (x2 + 1)
x
lím
x → +∞
Unidad 5. Límites y continuidad 14
15. a) ( – )= = =
Hallamos los límites laterales:
= –∞; = +∞.
b) [ – ]= = =
= =
Hallamos los límites laterales:
= +∞; = +∞.
8 Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x → +∞:
a) f (x) = b) g (x) =
c) h (x) = d) i (x) =
a) = =
b) = +∞
c) = = = =
d) = +∞
9 Calcula los siguientes límites:
a) ( – ) b) g (x) = ( )1 – x
c) (1,2x – ) d) ( )x – 1
a) ( – ) = ( )=
= = –x = –∞ 2 – 13x
2x + 2
lím
x → +∞
2x2 – 10x – 3x2 – 3x
2x + 2
lím
x → +∞
2x2 – 10x – 3x (x + 1)
2(x + 1)
lím
x → +∞
3x
2
x2 – 5x
x + 1
lím
x → +∞
3x + 4
2x + 5
lím
x → +∞
3x2
x + 1
lím
x → +∞
2x + 1
x – 3
3x
2
x2 – 5x
x + 1
lím
x → +∞
3x
2x + 1
lím
x → +∞
2 √2
√2
2√x
√—
2 √—x
lím
x → +∞
2√x
√2x
lím
x → +∞
3 + 2√x
√2x + 1
lím
x → +∞
x + 1
log x
lím
x → +∞
5
4
5x2 – 2x + 1
4x2 – 4x + 1
lím
x → +∞
5x2 – 2x + 1
(2x – 1)2 lím
x → +∞
3x
2x + 1
3 + 2 √x
√2x + 1
x + 1
log x
5x2 – 2x + 1
(2x – 1)2
x + 1
x (x – 1)2 lím
x → 1+
x + 1
x (x – 1)2 lím
x → 1–
2
(0)
x + 1
x (x – 1)2 lím
x → 1
2x – x + 1
x (x – 1)2 lím
x → 1
2x – (x – 1)
x (x – 1)2 lím
x → 1
1
x (x – 1)
2
(x – 1)2 lím
x → 1
3
x3 lím
x → 0+
3
x3 lím
x → 0–
3
(0)
3
x3 lím
x → 0
x2 + 3 – x2
x3 lím
x → 0
1
x
x2 + 3
x3 lím
x → 0
Unidad 5. Límites y continuidad 15
16. b) ( )1 – x
= 2–∞= = 0
c) (1,2x – ) = +∞
d) ( )x – 1
= ( )+∞
= +∞
Página 150
10 Calcula:
a) b)
c) d)
a) = = 0
b) = = (x – 6) = –5
c) = = =
d) = = = = 0
11 Averigua si estas funciones son continuas en x = 2:
a) f (x) = b) f (x) =
a) f (x) = (3x – 2) = 4
f (x) = (6 – x) = 4
f (2) = 6 – 2 = 4
b) f (x) = (x2 – 1) = 3
f (x) = lím (2x + 1) = 5
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
lím
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
x2 – 1 si x ≤ 2
2x + 1 si x > 2
3x – 2 si x < 2
6 – x si x ≥ 2
0
–1
x(x – 3)
x – 1
lím
x → 0
x2(x – 3)
x(x – 1)
lím
x → 0
x3 – 3x2
x2 – x
lím
x → 0
3
2
x + 2
2x
lím
x → 1
(x + 2)(x – 1)
2x(x – 1)
lím
x → 1
x2 + x – 2
2x2 – 2x
lím
x → 1
lím
x → 1
(x – 6) (x – 1)
x – 1
lím
x → 1
x2 – 7x + 6
x – 1
lím
x → 1
0
–4
(x – 1)2
x – 5
lím
x → 1
x3 – 3x2
x2 – x
lím
x → 0
x2 + x – 2
2x2 – 2x
lím
x → 1
x2 – 7x + 6
x – 1
lím
x → 1
(x – 1)2
x – 5
lím
x → 1
3
2
3x + 4
2x + 5
lím
x → +∞
3x2
x + 1
lím
x → +∞
1
2+∞
2x + 1
x – 3
lím
x → +∞
f (x) es continua en x = 2,
puesto que lím f (x) = f (2).
x → 2
f (x) no es continua en x = 2,
puesto que no existe lím f (x).
x → 2
Unidad 5. Límites y continuidad 16
17. 12 Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes:
a) f (x) = b) f (x) =
a) f (x) =
• Si x ≠ 2 ⇒ Es continua, pues está formada por funciones continuas.
• En x = 2:
f (x) = 2x = 4
f (x) = 4 = 4
f (2) = 4
lím f (x) = f (2) ⇔ f (x) es continua en x = 2.
x → 2
Por tanto, f (x) es continua en todo Á.
b) El dominio de la función es D = Á – {0}.
• Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → La función es continua.
• En x = 0: Es discontinua, puesto que f (x) no está definida para x = 0. Ade-más,
f (x) = –∞ y f (x) = +∞. Hay una asíntota vertical en x = 0.
• En x = 1: f (x) = = 1
f (x) = (2x – 1) = 1
f (1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1
f (x) es continua en x = 1,
pues lím f (x) = f (1).
x → 1
PARA RESOLVER
13 a) Calcula el límite de la función f (x) cuando x → 0, x → 2, x → 3,
x → +∞, x → –∞:
f (x) =
x – 3
x2 – 5x + 6
b) Representa gráficamente los resultados.
a) f (x) = =
f (x) = =
f (x) = = 1 .
(0)
1
x – 2
lím
x → 2
lím
x → 2
–1
2
–3
6
lím
x → 0
x – 3
(x – 3)(x – 2)
x – 3
x2 – 5x + 6
lím
x → 1+
lím
x → 1+
1
x
lím
x → 1–
lím
x → 1–
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
2x si x < 2
4 si x ≥ 2
1/x si x < 1
2x – 1 si x ≥ 1
2x si x < 2
4 si x ≥ 2
Unidad 5. Límites y continuidad 17
18. Hallamos los límites laterales: f (x) = –∞; f (x) = +∞
f (x) = = 1
f (x) = 0; f (x) = 0
b)
x2 – 9
x2 – 3x
1
–1
1 2 3
14 a) Calcula el límite de la función y = en los puntos en los que no
está definida.
b) Halla su límite cuando x → +∞ y cuando x → –∞.
c) Representa la función con la información que obtengas.
d) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de esta función?
a) El dominio de la función es: D = Á – {0, 3}, pues el denominador se anula en:
x2 – 3x = 0 → x (x – 3) = 0
y= =
= .
Hallamos los límites laterales: = –∞; = +∞
= = 2
b) = 1; = 1
c)
x + 3
x
lím
x → –∞
x + 3
x
lím
x → +∞
6
3
x + 3
x
lím
x → 3
x + 3
x
lím
x → 0+
x + 3
x
lím
x → 0–
3
(0)
x + 3
x
lím
x → 0
(x + 3)(x – 3)
x (x – 3)
x2 – 9
x2 – 3x
x = 0
x = 3
lím
x → –∞
lím
x → +∞
1
x – 2
lím
x → 3
lím
x → 3
lím
x → 2+
lím
x → 2 –
2
1
1 2 3
Unidad 5. Límites y continuidad 18
19. d) La función es discontinua en x = 0 (tiene una asíntota vertical) y en x = 3 (no
está definida; tiene una discontinuidad evitable).
15 Sea la función f (x) = .
a) Calcula: f (x); f (x); f (x); f (x)
b) ¿Cuál es la función que coincide con f (x) excepto en x = 0 y en x = 1?
c) ¿En qué puntos no es continua f (x)?
f (x) = =
a) f (x) = [x(x – 2)] = 0
f (x) = [x(x – 2)] = –1
f (x) = +∞
f (x) = +∞
lím
x → +∞
b) g (x) = x(x – 2) = x2 – 2x
c) En x = 0 y en x = 1. La función no está definida en estos valores (hay
discontinuidades evitables).
16 Calcula el límite de la función f (x) = cuando x → 0, x → 2 y
x → –2.
• f (x) = = 0
• f (x) = . Hallamos los límites laterales:
f (x) = –∞; f (x) = +∞
• f (x) = . Hallamos los límites laterales:
f (x) = +∞; lím f (x) = –∞
x → –2+
lím
x → –2–
6
(0)
lím
x → –2
lím
x → 2+
lím
x → 2–
2
(0)
lím
x → 2
0
–8
lím
x → 0
x2 – x
2x2 – 8
lím
x → –∞
lím
x → 0
lím
x → 1
lím
x → 0
lím
x → 0
x2(x – 2) (x – 1)
x(x – 1)
x4 – 3x3 + 2x2
x2 – x
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → 1
lím
x → 0
x4 – 3x3 + 2x2
x2 – x
Unidad 5. Límites y continuidad 19
20. 17 Calcula el límite de la función f (x) = 2 + cuando x → +∞, x → –∞ y
x → –1.
• f (x) = 2 + 1 = 3
lím
x → +∞
• f (x) = 2 + 1 = 3
lím
x → –∞
• f (x) = 2 + . Hallamos los límites laterales:
f (x) = +∞; f (x) = –∞
18 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean
continuas:
a) f (x) = b) f (x) =
a) • Si x ≠ 2, la función es continua.
• En x = 2:
f (x) = (x + 1) = 3
f (x) = (k – x) = k – 2 Para que sea continua, ha de ser:
k – 2 = 3 → k = 5
f (2) = 2 + 1 = 3
b) • Si x ≠ 0, la función es continua.
• En x = 0:
f (x) = (x + k) = k
f (x) = (x2 – 1) = –1 Para que sea continua, ha de ser: k = –1
f (0) = 0 + k = k
19 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea
continua:
a) f (x) = b) f (x) =
a) • Si x ≠ 1, la función es continua.
• Si x = 1:
f (x) = = (x = 3 + x2 + x + 1)(x – 1)
(x – 1)
lím
x → 1
x4 – 1
x – 1
lím
x → 1
lím
x → 1
x2 – 1
— si x < 1
x – 1
k si x ≥ 1
x4 – 1
——— si x ≠ 1
x – 1
k si x = 1
lím
x → 0+
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 0–
lím
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
x + k si x ≤ 0
x2 – 1 si x > 0
x + 1 si x ≤ 2
k – x si x > 2
lím
x → –1+
lím
x → –1–
–1
(0)
lím
x → –1
x
x + 1
Unidad 5. Límites y continuidad 20
21. = (x3 + x2 + x + 1) = 4
f (1) = k
Para que sea continua, ha de ser k = 4.
b) Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser f (x) = f (1).
Para x ≠ 1, f (x) es continua (pues está formada por funciones continuas).
Hallamos k para que f (x) = f (1):
f (x) = = = (x + 1) = 2
f (x) = k = k
f (1) = k
Ha de ser k = 2.
20 Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los
distintos valores del parámetro a:
a) f (x) = b) f (x) =
a) • En x ≠ 2, la función es continua.
• En x = 2:
f (x) = (x2 + ax) = 4 + 2a
f (x) = (a – x2) = a – 4 Para que sea continua, ha de ser:
4 + 2a = a – 4 → a = –8
f (2) = 4 + 2a
Por tanto, la función es continua si a = –8, y es discontinua (en x = 2) si a ≠ –8.
b) • En x ≠ 0, la función es continua.
• En x = 0:
f (x) = eax = 1
f (x) = (x + 2a) = 2a Para que sea continua, ha de ser:
1 = 2a → a =
f (0) = 1
Por tanto, la función es continua si a = , y es discontinua (en x = 0) si a ≠ 1 .
2
1
2
1
2
lím
x → 0+
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 0–
lím
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
eax si x ≤ 0
x + 2a si x > 0
x2 + ax si x ≤ 2
a – x2 si x > 2
lím
x → 1+
lím
x → 1+
lím
x → 1–
(x + 1)(x – 1)
(x – 1)
lím
x → 1–
x2 – 1
x – 1
lím
x → 1–
lím
x → 1–
lím
x → 1
lím
x → 1
lím
x → 1
S
Unidad 5. Límites y continuidad 21
22. Página 151
21 Se considera la función f (x) definida del modo siguiente:
f (x) =
Se desea saber si es continua en todos los puntos o deja de serlo en alguno.
• Si x ≠ –1 y x ≠ 1 → la función es continua.
• Si x = –1:
f (x) = |x + 2|= 1
f (x) = x2 = 1 La función es continua en x = –1.
f (–1) = 1
• Si x = 1 → No es continua, pues no está definida en x = 1; no existe f (1).
Además:
f (x) = x2 = 1
f (x) = (2x + 1) = 3
La discontinuidad es de salto (finito).
22 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, represéntalas
gráficamente y di cuáles son sus límites cuando x → +∞ y x → –∞.
a) f (x) = b) f (x) =
a) f (x) =
1 si x < 0
x + 1 si 0 < x < 1
x2 – 2x si 1 ≤ x
• Continuidad:
— Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → Es continua, pues está formada por funciones
continuas.
— En x = 0 → f (x) = 1 = 1
lím
x → 0–
f (x) = (x + 1) = 1
lím
x → 0+
lím
x → 0–
lím
x → 0+
No existe f (0).
Hay una discontinuidad evitable en x = 0.
3x – x2 si x ≤ 3
x – 3 si 3 < x < 6
0 si x ≥ 6
1 si x < 0
x + 1 si 0 < x < 1
x2 – 2x si 1 ≤ x
lím
x → 1+
lím
x → 1+
lím
x → 1–
lím
x → 1–
lím
x → –1+
lím
x → –1+
lím
x → –1–
lím
x → –1–
x + 2 si x < –1
x2 si –1 ≤ x < 1
2x + 1 si x > 1
lím f (x) = 1
x → 0
Unidad 5. Límites y continuidad 22
23. f (x) = (x + 1) = 2
lím
x → 1–
lím
x → 1–
— En x = 1 → f (x) = (x2 – 2x) = –1
lím
x → 1+
f (1) = –1
lím
x → 1+
Discontinuidad de salto finito en x = 1.
• f (x) = (x2 – 2x) = +∞
lím
x → +∞
f (x) = 1 = 1
lím
x → +∞
lím
x → –∞
• Gráfica:
b) f (x) =
lím
x → –∞
3x – x2 si x ≤ 3
x – 3 si 3 < x < 6
0 si x ≥ 6
1
1 2 3
3
2
–1
• Continuidad:
— Si x ≠ 3 y x ≠ 6 → Es continua, pues está formada por funciones
continuas.
f (x) = (3x – x2) = 0
lím
x → 3–
lím
x → 3–
— En x = 3 → f (x) = (x – 3) = 0
lím
x → 3+
f (3) = 0
f (x) es continua en x = 3.
lím
x → 3+
f (x) = (x – 3) = 3
lím
x → 6–
lím
x → 6–
— En x = 6 → f (x) = 0= 0
lím
x → 6+
f (6) = 0
lím
x → 6+
Discontinuidad de salto finito en x = 6.
lím f (x) = f (3)
x → 3
Unidad 5. Límites y continuidad 23
24. • f (x) = 0 = 0
f (x) = (3x – x2) = –∞
• Gráfica:
3
2
1
1 2 3
4 5 6
23 Representa gráficamente la función f (x) y estudia su continuidad:
f (x) =
f (x) = Dominio = [0, 10]
• Continuidad: Si x ∈ [0, 5) U (5, 10], es continua, pues está formada por
funciones continuas.
f (x) = (–x2 + 5x) = 0 f (x) = f (5).
En x = 5 → f (x) = (x – 5) = 0 Es continua
f (5) = 0
• Gráfica:
lím
x → 5+
lím
x → 5+
lím
x → 5
lím
x → 5–
lím
x → 5–
–x2 + 5x si 0 ≤ x ≤ 5
x – 5 si 5 ≤ x ≤ 10
–x2 + 5x si 0 ≤ x ≤ 5
x – 5 si 5 ≤ x ≤ 10
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
S
Unidad 5. Límites y continuidad 24
25. 24 Dada la función:
f (x) =
1—
+ b si x ≤ –1
x2
3x2 + 4 si –1 < x < 1
–x3 + 8 si x ≥ 1
calcula el valor de b para que f (x) sea continua en x = –1. ¿Es continua en
x = 1?
f (x) =
• Para que f (x) sea continua en x = –1, ha de tenerse que:
f (x) = f (–1)
lím
x → –1
f (x) = ( + b) = 1 + b
f (x) = (3x2 + 4) = 7 Ha de ser 1 + b = 7; es decir, b = 6.
f (–1) = 1 + b
• Veamos que la función también es continua en x = 1:
f (x) = (3x2 + 4) = 7 f (x) = f (1)
f (x) = (–x3 + 8) = 7 f (x) es continua en x = 1
f (1) = 7
S
25 Representa, estudia la continuidad y halla los límites para x→+∞ y x → –∞
de la función:
f (x) =
2x si x < 1
2 si 1 ≤ x ≤ 2
–x2 + 4x si x > 2
f (x) =
• Continuidad:
2x si x < 1
2 si 1 ≤ x ≤ 2
–x2 + 4x si x > 2
— Si x ≠ 1 y x ≠ 2 → Es continua, pues está formada por funciones
continuas.
lím
x → 1+
lím
x → 1+
lím
x → 1
lím
x → 1–
lím
x → 1–
lím
x → –1+
lím
x → –1+
1
x2
lím
x → –1–
lím
x → –1–
1—
+ b si x ≤ –1
x2
3x2 + 4 si –1 < x < 1
–x3 + 8 si x ≥ 1
S
Unidad 5. Límites y continuidad 25
26.
f (x) = 2x = 2 f (x) = f (1).
— En x = 1 → f (x) = 2= 2 f (x) es continua en x = 1.
f (1) = 2
f (x) = 2= 2
— En x = 2 → f (x) = (–x2 + 4x) = 4
f (2) = 2
Discontinuidad de salto finito en x = 2.
• f (x) = (–x2 + 4x) = –∞
f (x) = 2x = 2–∞ = 0
• Gráfica:
26 Sea f (x) =
4
3
2
1
0 1 2 3
x2 + 2x + 1 si x < –1
2x + 2 si –1 ≤ x ≤ 2
–x2 + 8x si x > 2
4 5 6
Estudia su continuidad y represéntala gráficamente.
f (x) =
x2 + 2x + 1 si x < –1
2x + 2 si –1 ≤ x ≤ 2
–x2 + 8x si x > 2
• Continuidad:
— Si x ≠ –1 y x ≠ 2 → Es continua, pues está formada por funciones continuas.
f (x) = (x2 + 2x + 1) = 0 f (x) = f (–1)
— En x = –1 → f (x) = (2x + 2) = 0 f (x) es continua
en x = –1.
f (–1) = 0
lím
x → –1+
lím
x → –1+
lím
x → –1
lím
x → –1–
lím
x → –1–
lím
x → –∞
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → +∞
lím
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
lím
x → 1+
lím
x → 1+
lím
x → 1
lím
x → 1–
lím
x → 1–
S
Unidad 5. Límites y continuidad 26
27. f (x) = (2x + 2) = 6
— En x = 2 → f (x) = (–x2 + 8x) = 12
f (2) = 6
Discontinuidad de salto finito en x = 2.
• Gráfica:
27 Dada f (x) =
2
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
16
14
12
10
8
6
4
Estudia su continuidad y represéntala gráficamente.
f (x) =
ex si x ≤ 0
1 si 0 < x < 3
–x2 + 3x + 2 si x ≥ 3
• Continuidad:
— Si x ≠ 0 y x ≠ 3 → Es continua (está formada por funciones continuas).
f (x) = ex = 1 f (x) = f (0)
— En x = 0 → f (x) = 1= 1 f (x) es continua en x = 0.
lím
x → 0+
f (0) = 1
lím
x → 0+
f (x) = 1 = 1
lím
x → 3–
lím
x → 3–
— En x = 3 → f (x) = (–x2 + 3x + 2) = 2
lím
x → 3+
f (3) = 2
lím
x → 3+
Discontinuidad de salto finito en x = 3.
lím
x → 0
lím
x → 0–
lím
x → 0–
ex si x ≤ 0
1 si 0 < x < 3
–x2 + 3x + 2 si x ≥ 3
lím
x → 2+
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → 2–
S
Unidad 5. Límites y continuidad 27
28. • Gráfica:
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3
4 5 6
3
2
–1
–2
–3
28 El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la
función:
P(t ) = , donde t se mide en años transcurridos desde t = 0.
15 + t2
(t + 1)2
Calcula:
a) La población inicial.
b) El tamaño de la población a largo plazo.
a) P(0) = 15 millones de individuos.
b) P(t ) = = 1 millón de individuos.
S
29 Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de
euros) en relación con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido por
cada uno. Dicho incentivo sigue la función:
f (x) =
0,01 x si 0 ≤ x ≤ 100
a) Estudiar la continuidad de f (x). Indicar si el incentivo recibido por un
empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es
ligeramente superior o inferior a 10 000 €.
b) ¿Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como
incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta.
a) Dominio = [0, +∞)
— Si x ≠ 100 → La función es continua, pues está formada por funciones
continuas en los intervalos definidos.
f (x) = 0,01x = 1 (100 €)
— En x = 100 → f (x) = = 1,2 (120 €)
f (100) = 1 (100 €)
30x
2x + 2 300
lím
x → 100+
lím
x → 100+
lím
x → 100–
lím
x → 100–
30x
—— si x > 100
2x + 2 300
15 + t2
(t + 1)2 lím
t → +∞
lím
t → +∞
S
Unidad 5. Límites y continuidad 28
29. Hay una discontinuidad de salto finito en x = 100.
Como f (x) ≠ lím
f (x), el incentivo recibido por un empleado sí es
x → 100+
sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o inferior
a 10 000 € (x = 100).
30x
lím
x → 100–
b) f (x) = = 15 → 1 500 €
2x + 2 300
lím
x → +∞
lím
x → +∞
30 Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de
una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante
los próximos años, por la función
f (t) = 15 000t + 10 000
, siendo t el número de años transcurridos. Se pide:
2t + 2
a) Tamaño actual de la población.
b) ¿Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años 4 y 9?
c) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño
de la población? Justifica la respuesta.
a) f (0) = 5 000 individuos.
250
5
7 250 – 7 000
f (9) – f (4)
b) T.V.M. [4, 9] = = = = 50
5
9 – 4
Aumenta en 250 individuos, lo que supone un aumento medio de 50 por año.
15 000t + 10 000
c) f (t ) = = 7 500
2t + 2
lím
t → +∞
lím
t → +∞
Se estabilizaría en 7 500 individuos.
S
Página 152
31 Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta
prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los
deportistas (x, en días), obteniéndose que:
T(x) =
300
—, 0 ≤ x ≤ 30
x + 30
1 125
———+ 2, x > 30
(x – 5)(x – 15)
a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio.
b) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba
en menos de 1 minuto? ¿Y en menos de 2?
S
Unidad 5. Límites y continuidad 29
30. T(x) =
300
—, 0 ≤ x ≤ 30
x + 30
1 125
———+ 2, x > 30
(x – 5)(x – 15)
300
x + 30
a) • La función y = es continua, salvo en x = –30; pero, como solo la
consideramos en 0 ≤ x ≤ 30, será continua en el intervalo (0, 30).
1 125
• La función y = + 2 es continua, salvo en x = 5 y en x = 15;
(x – 5) (x – 15)
pero como la estamos considerando para x > 30, es continua en el intervalo
(30, +∞).
• Por tanto, si x ≠ 30 (x ∈ [0, 30) U (30, +∞)), la función T(x) es continua.
• Si x = 30, tenemos que:
300
x + 30
T (x) = = 5
lím
x → 30–
T (x) = ( + 2) = 5 T(x) es continua en x = 30.
lím
x → 30–
lím
x → 30+
T (30) = 5
1 125
(x – 5) (x – 15)
lím
x → 30+
• Por tanto, T (x) es continua en su dominio.
b) T (0) = 10 minutos; y, a mayor tiempo de entrenamiento, menos tardan en
realizar la prueba. Además:
T (x) = ( 1 125
lím
+ 2)= 2
x → +∞
(x – 5) (x – 15)
lím
x → +∞
Por tanto, ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de
1 minuto ni en menos de 2 minutos.
32 Se ha comprobado que las pérdidas o ganancias de una empresa se ajustan a
2x – 4
x + 2
la función y = , siendo x los años de vida de la empresa (x ≥ 0) e y
en cientos de miles de €.
a) Representa la función.
b) ¿En qué año deja de tener pérdidas?
c) ¿Están limitados sus beneficios? Si lo están, ¿cuál es su límite?
Unidad 5. Límites y continuidad 30
31. a)
2x – 4
x + 2
1 2 3
2
1
–1
–2
4 5 6
b) = 0 ⇒ 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2 (y la función es creciente).
Deja de tener pérdidas en el 2-o año (x = 2).
2x – 4
x + 2
c) = 2 → 200 000 €
lím
x → +∞
El beneficio está limitado a 200 000 €.
33 Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de
producto cobra la cantidad de 5 €. No obstante, si se le encargan más de 10
unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada x unidades cobra:
C (x) =
5x si 0 < x ≤ 10
√ax2 + 500 si x > 10
a) Halla a de forma que el precio varíe de forma continua al variar el nú-mero
de unidades que se compran.
b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísi-mas”
unidades?
☛ El precio de una unidad es C (x)/x.
a) C (x) = (5x) = 50
lím
x → 10–
lím √ax2 + 500 √100a + 500
x → 10+
C (x) = =
lím
x → 10–
lím
x → 10+
C (10) = 50
Para que sea continua, ha de ser:
= 50 → 100a + 500 = 2 500 → 100a = 2 000 → a = 20
√20 √20x2 + 500
√ax2 + 500
√100a + 500
C (x)
x
b) = = = ≈ 4,47 €
x
lím
x → +∞
lím
x → +∞
CUESTIONES TEÓRICAS
34 Sea la función f (x) = .
x2 – 4
x – 2
x
lím
x → +∞
El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2. ¿Cómo
elegir el valor de f(2) para que la función f sea continua en ese punto?
Unidad 5. Límites y continuidad 31
32. f (x) = = = (x + 2) = 4
Para que f sea continua en x = 2, debemos elegir f (2) = 4.
35 Expresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación
gráfica de cada caso:
a) Podemos conseguir que f (x) sea mayor que cualquier número K, por
grande que sea, dando a x valores tan grandes como sea necesario.
b) Si pretendemos que los valores de g (x) estén tan próximos a 1 como
queramos, tendremos que dar a x valores suficientemente grandes.
c) Podemos conseguir que h(x) sea mayor que un número K, por grande
que sea, dando a x valores suficientemente próximos a 2.
a) f (x) = +∞
lím
x → +∞
b) g(x) = 1
lím
x → +∞
c) h (x) = +∞
1
2
36 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y que
para 0 < x ≤ 1 es:
g (x) =
¿Cuánto vale g (0)?
g(x) = = = (x + 1) = 1.
Por tanto, g(0) = 1.
37 Escribe una definición para cada una de estas expresiones y haz una
representación de f:
a) f (x) = 3 b) f (x) = –∞
c) f (x) = +∞ d) lím f (x) = –∞
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → +∞
lím
x → –∞
lím
x → 0+
x (x + 1)
x
lím
x → 0+
x2 + x
x
lím
x → 0+
lím
x → 0+
x2 + x
x
lím
x → 2
lím
x → 2
(x – 2)(x + 2)
(x – 2)
lím
x → 2
x2 – 4
x – 2
lím
x → 2
lím
x → 2
Unidad 5. Límites y continuidad 32
33. a) Podemos conseguir que f (x) esté tan próximo a 3 como queramos sin más que
darle a x valores suficientemente “grandes y negativos”.
b) Podemos conseguir que f (x) sea “tan negativo” como queramos sin más que
tomar x tan grande como sea necesario.
c) Podemos conseguir que f (x) tome valores tan grandes como queramos sin más
que darle a x valores tan próximos a 2 (pero menores que 2) como sea
necesario.
d) Podemos conseguir que f (x)
tome valores tan “grandes y
negativos” como queramos sin
más que darle a x valores tan
próximos a 2 (pero mayores
que 2) como sea necesario.
3
1 2
38 Si una función no está definida en x = 3, ¿puede ocurrir que f (x) = 5 ?
¿Puede ser continua la función en x = 3?
Sí, puede ser que f (x) = 5, por ejemplo:
(x – 3)(x + 2)
f (x) = es tal que = 5; y f (x) no está definida
x – 3
en x = 3.
Sin embargo, f (x) no puede ser continua en x = 3 (pues no existe f (3)).
39 De una función continua, f, sabemos que f (x) < 0 si x < 2 y f (x) > 0 si
x > 2. ¿Podemos saber el valor de f (x)?
f (x) = 0
Página 153
40 Dibuja la gráfica de una función que sea negativa si x < 2, positiva si x > 2
y que no tenga límite cuando x tiende a 2.
Por ejemplo y = 1 , cuya gráfica es:
x – 2
lím
x → 2
lím
x → 2
lím
x → 3
(x – 3)(x + 2)
x – 3
lím
x → 3
lím
x → 3
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1 2
3 4
Unidad 5. Límites y continuidad 33
34. 41 Sea P un polinomio: P(x) = ax2 + bx + c
Prueba que tiene límite en 0 y calcula su valor.
= = =
= = (ax + b) = b
42 Calcula sobre la gráfica de esta función:
lím
x → ±∞
a) f (x)
lím
x → –1
b) f (x)
lím
x → 2–
c) f (x)
lím
x → 2+
d) f (x)
4
2
Y
–4 –2
a) f (x) = 3 b) f (x) = –∞
c) f (x) = +∞ d) f (x) = –∞
43 Halla, observando la gráfica de esta función,
los siguientes límites:
a) f (x) b) f (x)
c) f (x) d) f (x)
e) f (x) f) f (x)
a) f (x) = +∞ b) f (x) = –∞
c) f (x) = –∞ d) f (x) = +∞
e) f (x) = –∞ f ) lím f (x) = +∞
x → –2+
lím
x → –2–
lím
x → 2+
lím
x → 2 –
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → –2+
lím
x → –2–
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → –∞
lím
x → +∞
lím
x → 2+
lím
x → 2–
lím
x → –1
lím
x → ±∞
lím
x → 0
x(ax + b)
x
lím
x → 0
ax2 + bx
x
lím
x → 0
ax2 + bx + c – c
x
lím
x → 0
P(x) – P(0)
x
lím
x → 0
P(x) – P(0)
x
2 4 X
2 4 X
Y
–4 –2
Unidad 5. Límites y continuidad 34
35. PARA PROFUNDIZAR
44 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, definiéndolas
previamente en intervalos, y represéntalas:
a) y = 1 – |x| b) y = |x – 3| – x c) y =
d) y = x|x| e) y = |x2 – 1| f ) y = |x – 2| + |x|
a) • Es continua en Á, pues es la diferencia de dos funciones continuas.
• y = 1 – |x|=
• Gráfica:
1 + x si x < 0
1 – x si x ≥ 0
4
3
2
–4 –3 –2 –1
1
–1
–2
–3
–4
1 2
3 4
b) • Es continua en Á, pues es la diferencia de dos funciones continuas.
• y = |x – 3|– x =
• Gráfica:
4
3
2
1
–2 –1 1 3 4 5 6
–1
–2
–3
–4
c) • Es continua en Á – {1}.
• y= =
1—
2
si x < 1
–x + 1
1—
si x > 1
x – 1
1
|x – 1|
–2x + 3 si x < 3
–3 si x ≥ 3
1
|x – 1|
Unidad 5. Límites y continuidad 35
36. • Gráfica:
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
d) • Es continua en Á, pues es el producto de dos funciones continuas.
• y = x|x|=
• Gráfica:
–x2 si x < 0
x2 si x ≥ 0
4
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
e) • Es continua en Á.
• y = |x2 – 1| =
• Gráfica:
3
2
–1
–2
–3
–4
x2 – 1 si x < –1
–x2 + 1 si –1 ≤ x ≤ 1
x2 – 1 si x > 1
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
f) • Es continua en Á, pues es la suma de dos funciones continuas.
• y = |x – 2| + |x|=
–2x + 2 si x < 0
2 si 0 ≤ x ≤ 2
2x – 2 si x > 2
Unidad 5. Límites y continuidad 36
37. • Gráfica:
6
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
45 Representa y estudia la continuidad de la función siguiente:
f (x) =
ex si x ≤ –1
|x2 – x – 2| si –1 < x
• Continuidad:
— Si x ≠ –1 → Es continua, pues está formada por funciones continuas.
f (x) = ex = e–1 = 1/e
lím
x → –1–
lím
x → –1–
— En x = –1 → f (x) = |x2 – x – 2| = 0
lím
x → –1+
f (–1) = 1/e
lím
x → –1+
Hay una discontinuidad de salto finito en x = –1.
• Gráfica:
x
x
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–1
–2
46 Estudia la continuidad de la función y = 2x+ en x = 0. ¿Qué tipo de
discontinuidad tiene?
En x = 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como:
2x – 1 si x < 0
2x + 1 si x > 0
y = , entonces: (2x – 1) = –1; (2x + 1) = 1
lím
x → 0+
lím
x → 0 –
Por tanto, hay una discontinuidad de salto (finito) en x = 0.
Unidad 5. Límites y continuidad 37
38. 47 Dada f (x) = , justifica que f (x) = 1 y f (x) = –1.
f (x) =
f (x) = = 1
f (x) = = –1
lím √x2 + 3x
x → +∞
48 Calcula ( – x).
☛ Multiplica y divide por + x
—3
—3
( – x)= =
= = =
= = = =
49 Calcula:
a) – b)
a) ( – ) = ( – ) =
= = =
= = = 0
b) = =
2 + 4x + x) lím
= = =
= = = = = 1
2
2
4
2x
4x
lím
x → +∞
x + x
4x
lím
x → +∞
√x2 + x
4x
lím
x → +∞
√x2 + 4x + x
4x
lím
x → +∞
√x2 + 4x + x
x2 + 4x – x2 lím
x → +∞
√x2 + 4x + x
(√—x
2 + 4x – x)(√—x
x → +∞
1
√x2 + 4x – x
lím
x → +∞
6
√—x
2 + 2 + √—x
2 – 4
lím
x → +∞
x2 + 2 – x2 + 4
√—x
2 + 2 + √—x
2 – 4
lím
x → +∞
x2 + 2 –(x2 – 4)
√—x
2 + 2 + √—x
2 – 4
lím
x → +∞
(√—x
2 +2 – √—x
2 – 4)(√—x2 + 2 + √—x
2 – 4)
√—x
2 + 2 + √—x
2 – 4
lím
x → +∞
lím √x2 + 2 √x2 – 4
x → +∞
lím √x2 + 2 √x2 – 4
x → –∞
1
√x2 + 4x – x
lím
x → +∞
lím √x2 + 2 √x2 – 4
x → –∞
3
2
3x
2x
lím
x → +∞
3x
x + x
lím
x → +∞
3x
√x2 + x
lím
x → +∞
3x
√x2 + 3x + x
lím
x → +∞
x2 + 3x – x2
√x2 + 3x + x
lím
x → +∞
(√—x
2 +
x – x)(√—x
2 +
x + x)
√x2 + 3x + x
lím
x → +∞
lím √x2 + 3x
x → +∞
√x2 + 3x
–x
x + 1
lím
x → –∞
lím
x → –∞
x
x + 1
lím
x → +∞
lím
x → +∞
–x
——— si x ≤ 0
x + 1
x
——— si x > 0
x + 1
lím
x → –∞
lím
x → +∞
x
x + 1
Unidad 5. Límites y continuidad 38
39. 50 Calcula: [ ]
= =
= = =
= = = =
51 Calcula los siguientes límites:
a) b)
a) = =
= = =
= = = =
b) = =
= = =
= =
Hallamos los límites laterales:
= –∞; 1 = +∞
x (√—x
+ 9 + 3)
lím
x → 0+
1
x (√—x
+ 9 + 3)
lím
x → 0–
1
(0)
1
x (√—x
+ 9 + 3)
lím
x → 0
x
x2(√—x
+ 9 + 3)
lím
x → 0
x + 9 – 9
x2(√—x
+ 9 + 3)
lím
x → 0
(√—x
+ 9 – 3)(√—x
+ 9 + 3)
x2(√—x
+ 9 + 3)
lím
x → 0
√x + 9 – 3
x2 lím
x → 0
1
2
1
1 + 1
1
1 + √—
3 – x
lím
x → 2
x – 2
(x – 2)(1 + √—
3 – x)
lím
x → 2
1 – 3 + x
(x – 2)(1 + √—
3 – x)
lím
x → 2
1 – (3 – x)
(x – 2)(1 + √—
3 – x)
lím
x → 2
(1 – √—
3 – x)(1 + √—
3 – x)
(x – 2)(1 + √—
3 – x)
lím
x → 2
1 – √3 – x
x – 2
lím
x → 2
√—
x + 9 – 3
x2 lím
x → 0
1 – √3 – x
x – 2
lím
x → 2
1
3
2
3 · 2
2
3(√—
1 + x + √—
1 – x )
lím
x → 0
2x
3x (√—
1 + x + √—
1 – x )
lím
x → 0
1 + x – 1 + x
3x (√—
1 + x + √—
1 – x )
lím
x → 0
(1 + x) – (1 – x)
3x (√—
1 + x + √—
1 – x )
lím
x → 0
(√—
1 + x – √—
1 – x )(√—
1 + x + √—
1 – x )
3x (√—
1 + x + √—
1 – x )
lím
x → 0
√—
1 + x – √—
1 – x
3x
lím
x → 0
√—
1 + x – √—
1 – x
3x
lím
x → 0
Unidad 5. Límites y continuidad 39