1. Resume el documento en 3 oraciones o menos: El documento presenta 5 problemas de integrales y sus respectivas soluciones. Cada problema involucra distribuir el diferencial, aplicar propiedades de exponentes, y realizar sustituciones para resolver las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales. Las respuestas proporcionan los pasos detallados para llegar a la solución de cada integral planteada.

1. PROBLEMAS DE INTEGRALES
www.caisa.mex.tl
13 de enero de 2011
1.- Resolver
(x − x3 − ex )dx
Respuesta:
Primero distribuimos el diferencial dx para separar los integrandos, esto es:
(x − x3 − ex )dx = xdx − x3 dx − ex dx
reslovemos cada una de las integrales de la derecha de la ecuaci´n anterior;
o
por lo tanto:
3 x x2 x4
(x − x − e )dx = − − ex + c
2 4
donde c es una constante de integraci´n
o
2.-Resolver
2 3 4 ex
( √ − √ + − )dx
x 43x x 5
Respuesta:
Primero distribuyamos el diferencial en la integral, esto es:
2 3 4 ex 2 3 4 ex
( √ − √ + − )dx = √ dx − √ dx + dx − dx
x 43x x 5 x 43x x 5
Ahora usemos la propiedad que nos dice que las constantes pueden salir de
la integral, esto es:
2 3 4 ex 1 3 1 1 1
√ dx− √ dx+ dx− dx = 2 √ dx− √ dx+4 dx− ex dx
x 43x x 5 x 4 3
x x 5
1

2. El paso siguiente es convertir el radical a exponentes fraccionario, esto es:
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1
2 √ dx− √ dx+4 dx− ex dx = 2 1 dx− 1 dx+4 dx− ex dx
x 4 3
x x 5 x 2 4 x 3 x 5
Como siguiente paso subimos el exponente del denominador al denominador,
usando las propiedades de los exponentes, esto es:
1 3 1 1 1 1 3 1 1
2 1 dx− 1 dx+4 dx− ex dx = 2 x− 2 dx− x− 3 dx+4 x−1 dx− ex dx
x 2 4 x 3 x 5 4 5
Ahora ya integramos, entonces:
1 1
1 3 1 1 1 x x− 2 +1 3 x− 3 +1 1
2 1 dx− 1 dx+4 dx− e dx = 2 1 − 1 +4lnx− ex +c
x2 4 x3 x 5 −2 + 1 4 −3 + 1 5
por lo tanto:
2 3 4 ex √ 9√ 2
3 1
( √ − √ + − )dx = 4 x − x + 4lnx − ex + c
x 4 x x
3
5 8 5
3.-Resolver:
(z 2 + 2)2
dz
z
Respuesta:
Primero necesitamos desarrollar el binomio al cuadrado, esto es:
(z 2 + 2)2 z 4 + 4z 2 + 4
dz = dz
z z
Distribuyamos el diferencial y el denominador, esto es:
z 4 + 4z 2 + 4 z4 4z 2 4
dz = + +
z z z z
Entonces:
z4 4z 2 4 1
+ + = z 3 dz + 4 zdz + 4 dz
z z z z
2

3. 1 z4 z2
z 3 dz + 4 zdz + 4 dz = + 4( ) + 4lnz + c
z 4 2
Por lo tanto:
(z 2 + 2)2 z4
dz = + 2z 2 + 4lnz + c
z 4
4.-Resolver:
√
x(x2 − 2x + 4)dx
Respuesta:
Primero pasemos el radical a su de radical fraccionaria, esto es:
√ 1
x(x2 − 2x + 4)dx = x 2 (x2 − 2x + 4)dx
Entonces:
1 1 1 1
x 2 (x2 − 2x + 4)dx = x 2 x2 − x 2 2x + 4x 2 dx
Realizando las operaciones de los exponentes y distribuyendo el diferencial,
tenemos:
1 1 1 5 3 1
x 2 x2 − x 2 2x + 4x 2 dx = x 2 dx − 2 x 2 dx + 4 x 2 dx
5 3 1
5 3 1 x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1
x dx − 2
2 x dx + 4
2 x dx = 5
2 −23 +41 +c
2
+1 2
+1 2
+1
Por lo tanto;
√ 2 7 4 5 8 3
x(x2 − 2x + 4)dx = x 2 − x 2 + x 2 + c
7 5 3
5.-Resolver:
sin x
(tan x − + π)dx
4
Respuesta:
Primero distribuyamos el diferencial:
sin x sin x
(tan x − + π)dx = tan xdx − dx + πdx
4 4
3

4. En las pasadas integrales, la unica dificultad es la integral de la tangente, asi
´
que nos enfocaremos en resolverla.
Para resolver la integral de la tangente necesitamos usar el m´todo de susti-
e
tuci´n, esto es, sustituir la tangente de x por su equivalencia que es seno
o
x/cosenos x, entonces tenemos:
sin x
tan xdx = dx
cos x
Ahora hacemos una segunda sustituci´n, si hacemos u = cos x, entonces
o
tenemos que du = − sin xdx, por lo cual:
sin x dx
dx = − du
cos x u
entonces:
dx
− du = − ln u
u
Pero u = cos x, asi que por consiguiente:
tan xdx = − ln cos x
Por lo tanto:
sin x 1
(tan x − + π)dx = − ln cos x + cos x + πx + c
4 4
4