Este documento presenta conceptos fundamentales sobre razones y proporciones, regla de tres, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Introduce las definiciones de razón, proporción, magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Explica cómo plantear y resolver problemas usando la regla de tres simple y compuesta. Finalmente, define progresiones aritméticas y geométricas, y presenta fórmulas para calcular cualquier término y la suma de términos en una progresión aritmética.

1. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta
Progresiones Aritm´ticas
e
Progresiones Geom´tricas
e
Diapositiva (Gu´ 1)
ıa
´
Algebra y Trigonometr´ıa
Universidad de Antioquia
Facultad de Ingenier´
ıa
Noviembre de 2011
Universidad de Antioquia Algebra y Trigonometr`
Ia

2. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta
Progresiones Aritm´ticas
e
Progresiones Geom´tricas
e
Temas
Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta
Universidad de Antioquia Algebra y Trigonometr`
Ia

3. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta
Progresiones Aritm´ticas
e
Progresiones Geom´tricas
e
Objetivos
Conocer los conceptos de magnitudes
Directamente Proporcionales e
Inversamente Proporcionales
Plantear y resolver problemas por medio
de la regla de tres, tanto simple como
compuesta
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4. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Raz´n
o
Una raz´n es una relaci´n multiplicativa
o o
entre dos n´meros enteros a y b diferentes
u
de 0, escribimos a/b y decimos a es b, es
decir hay a elementos de un conjunto A por
b de elementos de otro conjunto B.
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5. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplo de Raz´n
o
Si en un grupo de personas hay 18 hombres
y 27 mujeres, decimos que la raz´n entre el
o
n´mero de hombres y el de mujeres es de 18
u
a 27 o 2/3 es decir hay 2 hombres por cada
´
3 mujeres
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6. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Proporci´n
o
Se le llama proporci´n a la igualdad entre
o
dos razones.
Por ejemplo si a/b y c/d son razones iguales,
entonces a/b = c/d es una proporci´n y
o
decimos que a es a b como c es a d
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7. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Proporci´n
o
5 10
= es una proporci´n
o
3 6
3 1
= es una proporci´n
o
9 3
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8. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Decimos que dos magnitudes (entidades
medibles) son Directamente Proporcionales
(DP) o que est´n en una relaci´n de
a o
proporci´n directa si el cociente entre ambas
o
es constante
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9. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Magnitudes Directamente
Proporcionales
El n´mero de art´
u ıculos que se compran y
el precio a pagar, son DP
El n´mero de manos (normales) y el
u
n´mero de dedos de esas manos, son DP
u
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10. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Magnitudes Directamente
Proporcionales
Manteniendo una velocidad constante, el
tiempo empleado y la distancia distancia
recorrida por un m´vil, son DP
o
El n´mero de obreros y la cantidad de
u
trabajo realizado (suponiendo que
trabajan con la misma eficiencia),son DP
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11. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)
Decimos que dos magnitudes (entidades
medibles) son Inversamente Proporcionales
(IP) o que est´n en una relaci´n de
a o
proporci´n inversa si el producto de ambas
o
es siempre constante
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12. Razones y Proporciones Raz´n
o
Regla de tres simple y compuesta Proporci´n
o
Progresiones Aritm´ticas
e Magnitudes Directamente Proporcionales
Progresiones Geom´tricas
e Magnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Magnitudes Inversamente
Proporcionales
Para recorrer una distancia fija, la
velocidad y la duraci´n del recorrido
o
hecho por un m´vil son (IP)
o
Para hacer una obra fija, el n´mero de
u
obreros y el tiempo para realizar la obra
son (IP)
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13. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta Regla de tres simple
Progresiones Aritm´ticas
e Regla de tres compuesta
Progresiones Geom´tricas
e
Regla de tres
Un problema en el que se busca el valor de
una magnitud cuya relaci´n con otras
o
magnitudes es directa o inversamente
proporcional se llama regla de tres.
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14. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta Regla de tres simple
Progresiones Aritm´ticas
e Regla de tres compuesta
Progresiones Geom´tricas
e
Ejercicio de regla de tres (simple)
Una part´ıcula con velocidad constante
recorre 1200 metros en 80 segundos.
Determine
1
¿Qu´ distancia recorrer´ en media hora?
e a
2
¿Qu´ tiempo tardar´ en recorrer 1500
e a
metros?
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15. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta Regla de tres simple
Progresiones Aritm´ticas
e Regla de tres compuesta
Progresiones Geom´tricas
e
Ejercicio de regla de tres (simple)
3 obreros construyen un muro en 12 horas.
Si trabajan con la misma eficiencia:
¿Cu´nto tardar´n en construirlo 6 obreros?
a a
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16. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta Regla de tres simple
Progresiones Aritm´ticas
e Regla de tres compuesta
Progresiones Geom´tricas
e
Ejercicio de regla de tres (compuesta)
5 buses transportan 800 pasajeros en 4
viajes.
¿Cu´ntos viajes son necesarios para
a
transportar 400 pasajeros usando 2 buses?
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17. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta Regla de tres simple
Progresiones Aritm´ticas
e Regla de tres compuesta
Progresiones Geom´tricas
e
Temas
Progresiones Aritm´ticas
e
Progresiones Geom´tricas
e
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18. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta Regla de tres simple
Progresiones Aritm´ticas
e Regla de tres compuesta
Progresiones Geom´tricas
e
Objetivos
Identificar las Progresiones Aritm´ticas y
e
Geom´tricas
e
Obtener f´rmulas para encontrar
o
cualquier t´rmino de una progresi´n y
e o
para la suma de n t´rminos de la
e
progresi´n
o
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19. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.A
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n t´rminos de una P.A
e
Progresiones Geom´tricas
e
Progresi´n Aritm´tica
o e
Una progresi´n aritm´tica es una colecci´n
o e o
ordenada de n´meros reales
u
{a1, a2, a3, ...., an} tal que la diferencia
entre dos t´rminos consecutivos es siempre
e
constante; es decir:
a2 − a1 = a3 − a2 = ...... = an − an−1 = d
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20. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.A
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n t´rminos de una P.A
e
Progresiones Geom´tricas
e
Ejemplo de progresiones Aritm´ticas
e
Las siguientes colecciones son progresiones
aritm´ticas.
e
5, 10, 15, 20, 25
0, 1 , 1,
2
3
2
-4, -8, -12, -16, -20
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21. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.A
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n t´rminos de una P.A
e
Progresiones Geom´tricas
e
Progresiones Aritm´ticas
e
Definiciones
1
a1 se llama el primer t´rmino de la
e
progresi´n
o
2
an se llama el n-´simo t´rmino de la
e e
progresi´n
o
3
n es el n´mero de t´rminos de la
u e
progresi´n
o
4
d se llama la diferencia com´n
u
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22. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.A
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n t´rminos de una P.A
e
Progresiones Geom´tricas
e
Progresiones Aritm´ticas
e
El en´simo t´rmino de una progresi´n
e e o
aritm´tica viene dado por
e
an = a1 + (n − 1)d
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23. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.A
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n t´rminos de una P.A
e
Progresiones Geom´tricas
e
Suma de t´rminos de una progresi´n Aritm´tica
e o e
La suma de una progresi´n aritm´tica con n
o e
t´rminos viene dada por
e
n
Sn = [2a1 + (n − 1)d] .
2
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24. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Progresi´n Geom´trica
o e
Una progresi´n Geom´trica es una colecci´n
o e o
ordenada de n´meros reales
u
{a1, a2, a3, ...., an} tal que el cociente entre
dos t´rminos consecutivos es siempre
e
constante; es decir:
a2/a1 = a3/a2 = ...... = an/an−1 = r
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25. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Ejemplo de progresiones Geom´tricas
e
Las siguientes colecciones son progresiones
geom´tricas.
e
4, 12, 46, 108, 324, 972
−2, −4, −8, −16, −32
-3, 6, -12, 24, -48
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26. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Progresiones Geom´tricas
e
Definiciones
a1 se llama el primer t´rmino de la
1
e
progresi´n
o
2
an se llama el n-´simo t´rmino de la
e e
progresi´n
o
3
n es el n´mero de t´rminos de la
u e
progresi´n
o
4
r se llama la raz´n com´n
o u
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27. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Progresiones Geom´tricas
e
El en´simo t´rmino de una progresi´n
e e o
geom´trica viene dado por
e
an = a1rn−1
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28. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Suma de t´rminos de una progresi´n Geom´trica
e o e
La suma de una progresi´n geom´trica con
o e
n t´rminos viene dada por
e
a1(1 − rn)
Sn = con r = 1.
1−r
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29. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Ejemplo
Encuentre una progresi´n geom´trica cuyo
o e
noveno t´rmino es 32 y el cuarto es 2.
e
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30. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Ejemplo
A un se˜or le ofrecen un trabajo con un
n
salario de 400,000 mensuales y le prometen
aumentos mensuales de 3000 calcule el
sueldo devengado a los 5 a˜os de trabajo.
n
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31. Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta n-´simo t´rmino de una P.G
e e
Progresiones Aritm´ticas
e suma de n-t´rminos de una P.G
e
Progresiones Geom´tricas
e
Ejemplo
Encuentre una progresi´n geom´trica de seis
o e
t´rminos de modo que la suma de los tres
e
primeros t´rminos es 7 y la suma de los tres
e 4
ultimos es 14
´
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