Movimiento de un Cuerpo Rígido-Movimiento Angular de una Partícula-Movimiento Angular de un Sólido Rígido-Momento de Inerca-Teorema de Figura Plana-Teorema de Steiner-Momento de Torción-Impulso Angular

1. DINÁMICA DE ROTACIÓN
DINÁMICA
ROTACIONAL

2. MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO
TRASLACION
Por traslación entendemos al movimiento en el que lodos los puntos del cuerpo
se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad y la misma
aceleración en cada instante.
“El movimiento de traslación del cuerpo rígido es como si toda su masa estuviera
concentrada en el centro de masa y las fuerzas externas actuaran sobre él”.

3. MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO
ROTACION
Es el movimiento en que uno de los puntos se considera fijo. Sí se considera
fijo un punto, el único movimiento posible es aquel en el que cada uno de los
otros puntos se mueve en la superficie de una esfera cuyo radio es la distancia
del punto móvil al punto fijo. Si se consideran dos puntos fijos, el único
movimiento posible es aquel en que todos los puntos con excepción de aquellos
que se encuentran sobre la línea que une los dos puntos fijos, conocida como
EJE, se mueven en circunferencias alrededor de éste.

4. MOMENTO ANGULAR DE UNA
PARTÍCULA
Se define momento angular de
una partícula como el producto
vectorial del vector posición r
por el vector momento lineal
mv
L = r x p
L = r x mv

5. Las partículas de un sólido rígido en
rotación alrededor de un eje fijo
describen circunferencias centradas
en el eje de rotación, con una
velocidad que es proporcional al
radio de la circunferencia que
describen
vi = ω ·ri
El módulo del vector
momento angular es:
Li = rimivi
MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO
RÍGIDO

6. El momento angular de todas las
partículas del sólido es:
MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO
RÍGIDO
La proyección Lz del vector momento
angular a lo largo del eje de rotación es :
El término entre paréntesis se denomina
momento de inercia :

7. Para estos ejes podemos relacionar el
momento angular y la velocidad angular,
dos vectores que tienen la misma dirección,
la del eje de rotación
L=Iω
MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO
RÍGIDO
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede
ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje
de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación
pasa por el centro de masa.
Es importante darse cuenta que el
momento de inercia depende de la
distribución de la masa del cuerpo.

8. ∫= dmrI 2
MOMENTO DE INERCIA
linealdensidad→=
L
m
λ
dxdm λ=
lsuperficiadensidad→=
A
m
σ
dAdm σ=
aVolumétricdensidad→=
V
m
ρ dVdm ρ=

9. ¿De qué depende el momento de inercia de un cuerpo?
1. De la posición del eje de rotación.
a) Verdadero b) Falso
2. De la velocidad angular del cuerpo.
a) Verdadero b) Falso
3. De la momento resultante de las fuerzas aplicadas al cuerpo.
a) Verdadero b) Falso
4. De la aceleración angular.
a) Verdadero b) Falso
Pregunta 1:

10. De los siguientes objetos que tienen la misma masa, ¿cuál tiene
mayor momento de inercia respecto al eje indicado?
Pregunta 2:

11. En qué grafica resulta más fácil poner a girar el sistema?
Pregunta 3:

12. MOMENTO DE INERCIA DE UN
CILINDRO
( )dVrdmrdI ρ22
==
∫∫ == dVrdII 2
ρ
( )rdrLrI πρ 22
∫=
drrLI ∫= 3
2πρ
4
2
4
2
4
2
0
4
R
L
LR
Mr
LI
R






==
π
ππρ
2
2
1
MRIC
= Cilindros, Poleas,
discos

13. MOMENTO DE INERCIA DE UN
ANILLO

14. TEOREMA DE LA FIGURA PLANA
El momento de inercia de una figura plana con respecto a un eje perpendicular a la
misma es igual a la suma de los momentos de inercia de la figura plana con
respecto a dos ejes rectangulares en el plano de la figura los cuales se intersecan
con el eje dado.

15. Determinar el momento de inercia del sistema mostrado en la
figura, las masas son puntuales unidas por varillas rígidas de masa
despreciable. Asuma que el eje pasa por la masa m y es
perpendicular al plano del papel.
Problema 1:

16. TEOREMA DE STEINER
El teorema de Steiner es una fórmula
que nos permite calcular el momento
de inercia de un sólido rígido cuando
conocemos el momento de inercia
respecto a un eje paralelo al anterior y
que pasa por el centro de masas.

17. Determinar el momento de inercia de una varilla delgada rígida de
longitud L y masa m.
a) Con respecto al centro de masa.
b) Con respecto a un extremo
Problema 2:

18. Solución (Literal a):

19. Solución (Literal b):

20. Para un cilindro hueco uniforme de longitud L, con radio interior
R1 y radio exterior R2, determinar el momento de inercia alrededor
del eje de simetría del cilindro.
Problema 3:

22. Una barra de longitud L y masa M puede girar en uno de sus
extremos. En el otro se encuentra pegado una esfera de radio R y
masa m como se muestra en la figura. ¿Calcule el momento de
inercia del sistema respecto a “o”?
M=2 kg
m=2 kg
L=1 m
R=0.25 m
Tarea:

23. Energía Cinética de Rotación
Las partículas del sólido describen
circunferencias centradas en el eje de
rotación con una velocidad que es
proporcional al radio de la circunferencia
que describen: vi=ω ·ri .
( )22
2
1
2
1
iiiii
rdmvdmdK ω==
( ) 22
2
1
ω∫= ii
dmrK
2
2
1
ωIKRot
=

24. Un cable ligero, flexible y que no se estira está enrollado varias
vueltas en el tambor de un malacate, un cilindro sólido de 50kg y
0.120m de diámetro , que gira sobre un eje fijo horizontal montado
en cojinetes sin fricción , tal como se muestra en la gráfica adjunta.
Una fuerza constante de magnitud 9.0N tira del extremo libre del
cable a lo largo de una distancia de 2.0m. El cable no resbala, y hace
girar al cilindro al desenrollarse. Si el cilindro estaba inicialmente
en reposo, determinar su rapidez angular final y la rapidez final del
cable.
Asuma que el cable es ligero y que sólo el cilindro tiene energía
cinética.
Problema 4:

25. En un experimento de laboratorio para probar la conservación de
energía en el movimiento rotacional, se enrolla un cable ligero y
flexible en un cilindro sólido de masa M y radio R. El cilindro gira
con fricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Se ata
al extremo libre del cable un objeto de masa m y se suelta el objeto
sin velocidad inicial a una altura h sobre el piso. Al caer el objeto, el
cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el
cilindro. Determinar la rapidez del objeto que cae y la rapidez
angular del cilindro justo antes de que el objeto golpee al piso.
Problema 5:

26. Es la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para
causar o alterar la rotación de un cuerpo.
Se define momento de torsión o momento de una fuerza F
respecto a O como el producto de dicha fuerza y el brazo
(distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y
O).
Su unidad en S.I. es: Nm (no Joules).
Siempre se debe escoger un sentido de rotación como referencia
para colocar signos.
Momento de torsión
Fr

×=τ

27. Ejemplo:

28. Para un cuerpo rígido entero se tiene una ecuación análoga
rotacional a la segunda ley de Newton.
El momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo rígido es
igual al momento de inercia del cuerpo alrededor de su eje de
rotación multiplicado por su aceleración angular. La sumatoria
de torques sólo incluye los momentos de torsión de fuerzas
externas.
Momento de torsión y aceleración angular de un
cuerpo rígido
∑ = ατ I zz
αz : debe ser medida en rad/s2

29. Problema 6:
Un cable ligero, flexible y que no se estira está enrollado varias
vueltas en el tambor de un malacate, un cilindro sólido de 50kg y
0.120m de diámetro, de tal forma que el cilindro gira sobre su eje.
Se tira del cable con una fuerza de 9.0N. Suponiendo que el cable se
desenrolla sin estirarse ni resbalar, determinar la aceleración del
cable.
Atención: La fuerza neta sobre el cilindro debe ser cero porque
su centro de masa no se mueve.

30. Se enrolla un cable ligero y flexible en un cilindro sólido de masa M
y radio R. El cilindro gira con fricción despreciable sobre un eje
horizontal estacionario. Se ata al extremo libre del cable un objeto
de masa m y se suelta el objeto sin velocidad inicial a una altura h
sobre el piso. Al caer el objeto, el cable se desenrolla sin estirarse ni
resbalar, haciendo girar el cilindro. Determinar la aceleración del
objeto de masa m.
Problema 7:

31. Un deslizador de masa m1 se mueve sin fricción sobre un riel de aire
horizontal , sujeto a un objeto de masa m2 con un hilo sin masa. La
polea es un cilindro hueco delgado (con rayos sin masa) de masa M
y radio R, y el hilo la gira sin resbalar ni estirarse. Determinar la
aceleración de cada cuerpo, la aceleración angular de la polea y la
tensión en cada parte del hilo.
Problema 8:

32. Se puede extender el análisis de la dinámica del movimiento
rotacional a algunos casos en los que el eje de rotación se
mueve: traslación y rotación combinados.
“ Traslación del centro de masa y rotación alrededor de un eje que
pasa por el centro de masa” Esto se cumple aun si el centro de
masa se acelera, de modo que no está en reposo en ningún marco
inercial.
Ejemplos: pelota rodando cuesta abajo, un yoyo que se
desenrolla.
Un caso importante: “rodar sin deslizar”.
Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil
22
2
1
2
1
ωcmcm IMvK +=
Cuerpo rígido
traslación y
rotación

33. Un caso importante es el de “rodar sin deslizar”. Aquí el punto
de la rueda que toca la superficie debe estar instantáneamente
en reposo para que no resbale.
Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil
ωRvcm =
Condición para rodar sin resbalar
22
2
1
2
1
ωcmcm IMvK +=

34. Un casco cilíndrico hueco (carcaza cilíndrica) de masa M y radio R
rueda sin resbalar con rapidez Vcm en una superficie plana.
Determinar la energía cinética del mismo.
Problema 9

35. Se hace un yoyo burdo enrollando un cordel varias veces alrededor
de un cilindro sólido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo
del cordel fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El
cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse al caer y girar el
cilindro. Use consideraciones energéticas para determinar la rapidez
vcm del centro de masa del cilindro sólido después de caer una
distancia h.
Problema 10

36. Problema 11
¿Quién llega primero a la base del plano inclinado?

37. Consideremos un sistema de partículas.
Sobre cada partícula actúan las fuerzas
exteriores al sistema y las fuerzas de
interacción mutua entre las partículas del
sistema.
Para cada unas de las partículas se
cumple que la variación del momento
angular con el tiempo es igual al
momento de la resultante de las fuerzas
que actúan sobre la partícula considerada.
Principio de conservación del momento angular.

38. Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto
vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos:
Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial
es cero. Por lo que nos queda:
Principio de conservación del momento angular.

39. El momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext
respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un
sistema de referencia inercial.
El momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al
sistema de referencias del centro de masas incluso si no está en reposo
con relación al sistema inercial de referencia O.
Principio de conservación del momento angular.

40. Principio de conservación del momento angular.
El principio de conservación del momento angular afirma que
si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no
implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema
aislado), el momento angular total se conserva, es decir,
permanece constante.

41. Trabajo y energía en el movimiento de rotación
Supongamos que se aplica una fuerza exterior F
en el punto P.
El trabajo realizado por dicha fuerza a medida
que el cuerpo gira recorriendo una distancia
infinitesimal ds=rdθ en el tiempo dt es
La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es
perpendicular al desplazamiento.
El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la
fuerza por el radio.
ωτ=P

42. El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es:
El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un
sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su
energía cinética de rotación.
Trabajo y energía en el movimiento de rotación

43. Impulso angular
El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido
rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el
momento angular del sólido en rotación.

44. Diga si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, y razone su respuesta.
a) Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad angular.
b) Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad lineal.
c) El momento de inercia depende de la situación del eje de rotación.
d) Si el momento neto de las fuerzas que actúan sobre un sólido es cero, el momento
angular es cero.
e) Si el momento neto de las fuerzas que actúan sobre un sólido es cero, la velocidad
angular no cambia.
f) Si la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es cero este cuerpo tiene momento
angular cero.
Pregunta1

45. Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por
una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad
constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es
despreciable.
1. ¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
2. ¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
3. ¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo realizado
durante 10 s
Problema 12 (Bloque suspendido)

46. 15
4
3.0
08.0
===
r
V
w
NmxFxRM
xF
58003.019600
196008.92000
===
==
JxMxT 15680101568 === θ
wxMxwP 156815/45800 ===

47. Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de
longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los
extremos de la barra. El péndulo se haya suspendido de un eje perpendicular a la
varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición
de equilibrio estable.
Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la
posición de equilibrio estable
Problema 13 (Péndulo Compuesto)

48. 2
0354.0 KgmIc =
65º
Mv = 0.2kg
Me = 0.5kg
L= 0.40m
R.= 0.05m
ω = ?
Pos Equilibrio
=





++





++=
++=
22222
21
24.05.005.05.0
5
2
12.02.04.02.0
12
1
05.05.0
5
2
xxxxxI
IIII
C
eveC
Datos:
2
22
2
1
ωceevv Ighmghm =+

49. Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y sin
peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa. La esfera
rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º.
Determinar:
1) La(s) tensión(es) de la cuerda.
2) La aceleración del sistema
3) La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m
partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este
apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2.
Problema 14 (Bloque Esfera)

50. Una esfera de masa m y radio r rueda por un plano y adquiere
La suficiente velocidad para recorrer un lazo de radio R. La
Esfera sólida rueda sin deslizar a lo largo de todo su recorrido.
Halle la altura mínima h a la cual se encuentra el punto de
partida, medida desde la parte superior del lazo.
Tarea 1

51. 1.- La polea de la figura tiene un radio R y un momento de inercia I.
Uno de los extremos de la masa m se conecta a un resorte cuya
constante de fuerza es K y el otro se sujeta a una cuerda enrollada
alrededor de la polea. Si se hace girar la polea en sentido antihorario
a fin de enrollar la cuerda, de modo que el resorte se estire una
distancia d, a partir de su posición no deformada y después se libera
desde el reposo. Calcule la velocidad angular de la polea cuando el
resorte queda nuevamente sin estirar.(Nota: el plano tiene un ángulo
de inclinación θ).
Tarea 2

52. Una bala de masa m y velocidad v se dispara contra un cilindro
en reposo de masa M y radio R. El cilindro esta montado sobre
un eje horizontal que pasa por su centro de masa, la línea de
acción es perpendicular a este eje y se encuentra a una altura h
temor que el radio. Encuentre la velocidad angular del cilindro si
la bala se adhiere a la superficie del cilindro.
M=2 Kg
h=0.5 m
V=120 m/s
R=1 m
m=30 g
v
R
M
h
Tarea 3

53. Un bloque de madera (m=1Kg) unido fuertemente a un disco
horizontal (M=40Kg) y radio (R=1m) es chocado tangencialmente
por una bala (m=100gr) de tal manera que lo atraviesa con una
velocidad de salida igual a un tercio de la de entrada que es de 100
m/s. Calcule la velocidad angular del disco en revoluciones por
minuto después del impacto.
V
Tarea 4

54. Una barra rígida homogénea de masa 2kg y longitud de 1m se
suspende del punto O que está a una distancia de 25cm del
extremo superior, alrededor del cual puede oscilar. En el otro
extremo se encuentra adherida una esfera maciza de radio
33cm. Si el momento de inercia con respecto al punto O del
sistema es 1.51kgm2.
¿Cuál es la masa de la esfera?
Tarea 5

55. Un bloque de 2kg y un cilindro sólido de 8 kg y radio 20cm, están unidos por
un cuerda ideal que pasa por una polea(disco) de masa igual a 0.5kg y
radio 10cm, situada en la unión de dos planos inclinados de 30º y 60º de
inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el
plano es y que el cilindro rueda sin deslizar, calcule:
La aceleración del bloque y del centro de masa del cilindro
La(s) tensión(es) de la cuerda
La aceleración angular de la polea y la velocidad del bloque cuando ha
descendido 2m a lo
largo del plano, sabiendo que parten del reposo.
Tarea 6