Dinámica estructural de un grado de libertad

SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS
DE LIBERTAD
DINÁMICA ESTRUCTURAL

SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD
Los sistemas estructurales son continuos, es decir que se
caracterizan por poseer un número infinito de grados de
libertad. En Dinámica Estructural, el problema se formula
discretizando la estructura en un número finito de grados
de libertad (N).

DISCRETIZACIÓN DE SISTEMAS
Pórtico Plano: 3 grados de libertad por nodo

Despreciando la deformación axial de vigas y columnas

Grados de libertad para las fuerzas de inercia
(CONDENSACIÓN ESTÁTICA)

En el caso de pórticos planos, por ejemplo, se tiene:
3 G.L. por nodo 1 G.L. por piso
Sistema de fuerzas arbitrario: Sistema de fuerzas horizontales:

La suma de los 3 vectores de fuerzas involucradas (fuerzas
de inercia, de amortiguamiento, y elásticas), equilibra el
vector de solicitaciones externas. Resulta el siguiente
Sistema de Ecuaciones del Equilibrio Dinámico:
ECUACIONES DEL EQUILIBRIO DINÁMICO
M = Matriz de Masa
C = Matriz de amortiguamiento
K = Matriz de Rigidez
𝑴 ሷ
𝒖 + 𝑪 ሶ
𝒖 + 𝑲𝒖 = 𝒇(𝒕)

Matriz de Rigidez (K)
Un elemento Kij de esta matriz es la fuerza que se debe
aplicar en el grado de libertad i, cuando se da un
desplazamiento unitario en el grado j, siendo todos los
desplazamientos restantes iguales a cero.

Matriz de Masa (M)
Generalmente, la masa está distribuida a lo largo de una
estructura real, pero se la puede idealizar como
concentrada en los nodos de la estructura discretizada.
Usualmente, esta suposición es satisfactoria.
La masa concentrada en un nodo de la estructura es la
suma de las contribuciones de todos los elementos
conectados al nodo.

Cuando se eligen los grados de libertad en el centro de
masa, la matriz de masa resulta diagonal.
m : Fuerza de inercia, desarrollada en el grado de libertad
i, debido a una aceleración unitaria en el grado j.

Matriz de Amortiguamiento (C)
Puede ser definida de modo análogo que las anteriores.
Sin embargo, en la mayoría de los casos, no es necesario
obtener de forma explícita la matriz de amortiguamiento.
Si fuera necesario, muchas veces se la define por una
proporcionalidad de las matrices de rigidez y masa por
medio de la siguiente expresión:
𝑪 = 𝜶𝑲 + 𝜷𝑴
α; β : parámetros independientes, convenientemente definidos
Matriz de amortiguamiento
de Rayleigh

AMORTIGUAMIENTO
Los efectos del amortiguamiento son usualmente
aproximados por un amortiguador viscoso.
Sin embargo, el amortiguamiento estructural no es viscoso,
sus mecanismos no están bien entendidos y presenta
dificultad para incluirlo exactamente en las ecuaciones del
equilibrio dinámico.

Amortiguamiento estructural:
• Fricción en elementos estructurales y juntas
• Amortiguamiento histerético por las características
de la fuerza restauradora elasto – plástica
• Por acción de elementos no estructurales
• Por disipación de energía en el terreno

AMORTIGUAMIENTO
Modelos de amortiguamiento:
a) Mecanismos reales de disipación (Modelos
fenomenológicos):
• Histéresis elasto - plástica
• Fricción en las uniones estructurales
• Microfisuras en el material

AMORTIGUAMIENTO
Modelos de amortiguamiento:
b) Métodos simplificados:
• Amortiguador viscoso
• Porcentaje del amortiguamiento crítico (ξ)

AMORTIGUAMIENTO
En general, la respuesta total u de una estructura está
dominada por algunos pocos modos. En ese caso,
resulta posible identificar, por vías experimentales, el
coeficiente de amortiguamiento que típicamente
exhiben tales estructuras en asociación con las
frecuencias modales respectivas.
En la práctica, debido al valor relativamente bajo de las
fuerzas de amortiguamiento, resulta suficiente para
estos casos utilizar directamente los valores típicos de
los coeficientes de amortiguamiento modal ξj, en la
ecuación diferencial de la coordenada modal, sin
necesidad de expresar explícitamente la matriz de
amortiguamiento C.

VIBRACIONES LIBRES NO
AMORTIGUADAS

Vibración libre
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
No hay fuerzas externas aplicadas
ni movimiento en los apoyos
La vibración libre se origina sacando al sistema de su
posición de equilibrio, por medio de desplazamientos
iniciales.
La Ecuación del equilibrio dinámico, resulta:
𝑴 ሷ
𝒖 + 𝑲𝒖 = 𝟎
𝑪 = 𝟎
No amortiguadas

En este caso, la curva de los desplazamientos varía con
el tiempo, como se puede apreciar en la figura (b)

Ahora, el movimiento de cada masa no es una función
simple armónica, y la frecuencia del movimiento no se
puede definir.

No obstante, una estructura o sistema no amortiguado
puede experimentar un movimiento simple armónico, sin
cambios en la forma de la deformada, si la vibración libre
se inicia con una apropiada distribución de los
desplazamientos en los distintos G.L.
Modo natural de vibración 1

Modo natural de vibración 2

Período natural de vibración del modo n
Frecuencia natural de vibración del modo n

La vibración libre de un sistema no amortiguado en uno de
sus modos naturales de vibración se puede describir
matemáticamente por una función armónica simple:
𝑴 ሷ
𝒖 + 𝑲𝒖 = 𝟎

El vector Φ representa la forma del sistema deformado, la
cual no cambia con el tiempo, por lo que:

Resulta:
Dividiendo por sen ωt:
𝑴 ሷ
𝒖 + 𝑲𝒖 = 𝟎
Sustituyendo en:

Que es un sistema de N ecuaciones lineales homogéneas
(N = número de G.L.).
Además de la solución trivial (nula), este sistema tiene
otras soluciones, si anulamos el determinante de la matriz
del sistema:
Que es una ecuación algebraica en ω2 de grado N. Es la
Ecuación Característica del Sistema, de la cual se
obtienen las frecuencias (ω) de los N modos naturales de
vibración del sistema.

Para cada ωn se obtiene el correspondiente Φn, modo
natural de vibración, resolviendo la ecuación:
Que tiene infinitas soluciones, o sea que el vector φn no
está determinado en magnitud.
Se puede obtener una solución particular, por ejemplo,
haciendo unitaria una de las componentes del vector:
Φ1n = 1

Vector que caracteriza la
deformada del n-ésimo
modo natural de
vibración (n: grado de
libertad genérico)

Ejemplo: Hallar los modos naturales de vibración del
pórtico de la figura. Se suponen vigas de rigidez infinita.
E = 2 x107 kN/m2

a) Matriz de Rigidez:

b) Matriz de Masa:
En el caso de masas concentradas en los G.L. elegidos, y
despreciando la masa de las columnas, no habrá
transmisión de fuerzas de inercia entre pisos.

Por lo tanto:
m12 = m21 = 0
M resulta una matriz de masa diagonal:

c) Determinación de las frecuencias naturales de vibración:

d) Determinación de los modos naturales de vibración:
Haciendo: Resulta:
1º MODO:

Haciendo: Resulta:
2º MODO:

CONDICIONES DE ORTOGONALIDAD
Considerando dos vectores modales, o modos de
vibración Φm y Φn:
Para el modo Φn, se tiene:
Y para el modo Φm:

Aplicando el teorema de Betti:
Donde:

En general, en las estructuras, las N frecuencias son
diferentes:
Para m ≠ n
En forma análoga, para la matriz de rigidez se demuestra que:
Para m ≠ n
Que son las Condiciones de Ortogonalidad de los modos de
vibración con respecto a la matriz de Masa, y a la matriz de
Rigidez.

M = Matriz de Masa
C = Matriz de amortiguamiento
K = Matriz de Rigidez
𝑴 ሷ
𝒖 + 𝑪 ሶ
𝒖 + 𝑲𝒖 = 𝒇(𝒕)
MÉTODOS DE SOLUCIÓN

1. Método de Superposición Modal
2. Método de solución paso a paso (Integración
Directa)
3. Análisis Modal Espectral
4. Análisis en el Dominio de las Frecuencias

• Efectivo para análisis de sistemas estructurales
lineales.
1. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
• Reduce las ecuaciones a un conjunto de N
ecuaciones diferenciales desacopladas (Reduce
considerablemente el tiempo de cómputo).
• Se obtiene una respuesta completa en su variación en
el tiempo (tiempo-historia) de los desplazamientos en
los nudos, y de las fuerzas en los elementos.

• Desventajas:
a) Produce mucha información, con gran esfuerzo
computacional, al considerar todas las variables para
verificar el diseño como una función del tiempo.
b) Para efectos sísmicos, el análisis debe repetirse
para varios sismos (al menos 3), para asegurar que
todos los modos significativos sean excitados.

2. MÉTODO DE SOLUCIÓN PASO A PASO (INTEGRACIÓN
DIRECTA)
• Es el método más completo para análisis dinámicos,
con un sistema incremental paso a paso en el tiempo.
(Existen varios métodos)
• Involucra una solución del todo el conjunto de
ecuaciones (1) en cada incremento de tiempo Δt.
• Apto para sistemas no lineales, donde puede ser
necesario reformular la matriz de rigidez del sistema
estructural en cada paso. Además se efectúan
iteraciones en cada paso de tiempo, para satisfacer
las condiciones de equilibrio.

• Desventajas:
a) Requerimiento significativo de tiempo. Puede
emplearse para sistemas con pocos cientos grados de
libertad.
b) La matriz de amortiguamiento debe formularse
explícitamente, para obtener soluciones estables.

3. ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL
• Es un método ventajoso para realizar análisis
sísmicos, y estimar los desplazamientos y fuerzas de
un sistema estructural.
• Implica la determinación de solamente los valores
máximos de los desplazamientos y aceleraciones en
cada modo, empleando un espectro de diseño
(envolvente del espectro de respuesta para diversos
sismos, en una cierta zona o región).
• Los valores más probables de desplazamientos y
fuerzas se obtienen combinando esos valores
máximos, aplicando por ejemplo, la raíz cuadrada de
la suma de los cuadrados; o la combinación
cuadrática completa.

4. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LAS FRECUENCIAS
• Las ecuaciones del movimiento se resuelven en el
dominio de las frecuencias, expresando las fuerzas
externas F(t) en una expansión de términos en Series
de Fourier.
• Procedimiento efectivo para cargas periódicas
(vibración de máquinas, problemas de acústica,
efectos de olas de mar).
• Desventajoso para problemas de ingeniería sísmica,
ya que no es una acción periódica, sólo es válido para
sistemas lineales, e involucra procedimientos
matemáticos complejos.

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