Este documento describe diferentes técnicas de conteo utilizadas para enumerar eventos complejos. Explica el principio fundamental del conteo, las variables involucradas como variaciones y permutaciones, y proporciona ejemplos ilustrativos como el conteo de posibles combinaciones de modelos de autos y rines.

1. Técnicas de conteo
 El principio fundamental en el proceso de
contar ofrece un método general para contar el
número de posibles arreglos de objetos dentro
de un solo conjunto o entre varios conjuntos.
Las técnicas de conteo son aquellas que son
usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.

2. Técnicas de conteo
 Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual
al repetirlo y observarlo en las mismas condiciones
en que se desarrolla sus resultados no son siempre
los mismos, sino que los datos o mediciones son
solo aproximaciones al verdadero valor de la
probabilidad del evento.

3. Ejemplo 1:
 Un juego de dados consiste en adivinar el número de puntos
que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores hacen su
apuesta por un número de puntos antes de lanzarlo. El que
adivina gana la apuesta. Si nadie adivina, lo apostado se
gana para el próximo juego. Los jugadores se turnan para
elegir primero un número por el cual apostar.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que
seleccione un número de puntos que caerán adivine?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los jugadores
adivine el número de puntos que caerán?

4.  Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6
(1, 2, 3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado
cuantos puntos caerán.
La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el
experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se obtiene
una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero valor de la
probabilidad del evento si el número de observaciones n es grande.
Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar el
dado son:
a) Caen 4 puntos, A = 4
b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6
c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.

5. Ejemplo 2:
 Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes
todas las diferentes opciones con que cuenta: auto
convertible, auto de 2 puertas y auto de 4
puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o
estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y
rines puede ofrecer el vendedor?
 Para solucionar el problema podemos emplear la
técnica de la multiplicación, (donde m es número de
modelos y n es el número de tipos de rin).
 Número total de arreglos = 3 x 2

6.  No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos
de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin
embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos
de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo
con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la
multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
 Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

7. Variables en técnicas de conteo
 Las variaciones son técnicas de conteo que
respetan el orden, es decir AB BA.
 En realidad cuando hemos resuelto el problema
de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden
escribir con las letras A B C D hemos resuelto un
problema de variaciones, porque respetamos el
orden: ABC CAB CBA etc.

8.  Además las variaciones pueden ser con repetición o sin
repetición.
 Conocemos como variaciones sin repetición…
 Variaciones sin repetición:
 Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras
de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se
dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3 en
3.
 Y se escribe 4v3 =24
 Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24

9. 5 Ejemplos de Poisson
EJEMPLO 1.- SI UN BANCO RECIBE EN PROMEDIO 6
CHEQUES SIN FONDO POR DÍA, ¿ CUALES SON
LAS PROBABILIDADES RECIBA,
a ) C U AT R O C H E Q U E S I N F O N D O E N U N D Í A D A D O ,
b) B)RECIBA 10 CHEQUES SIN FONDO EN
CUALQUIERA DE DOS DÍAS CONSECUTIVOS
VA R I A B L E D I S C R E TA = C A N T I D A D D E P E R S O N A S
I N T E RVA L O C O N T I N U O = U N A H O R A
FORMULA

10.  P(x): Probabilidad de que ocurran x éxitos
 : Número medio de sucesos esperados por unidad
de tiempo.
 e: es la base de logaritmo natural cuyo valor es 2.718
 X: es la variable que nos denota el número de éxitos
que se desea que ocurran

11.  A) x= Variable que nos define el número de cheques sin
fondo que llega al banco en un día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6 cheques sin
fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que lleguen
cuatro cheques al día

12. 
Reemplazar valores en las formulas
=6
 e= 2.718
 X= 4
 P(x=4, = 6) =(6)^4(2.718)^-6
 4!
 =(1296)(0,00248)
 24
 =o,13192
 Es la probabilidad que representa de que lleguen cuatro
cheques sin fondo al día

13.  A) x= Variable que nos define el número de cheques sin
fondo que llega al banco en un día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6 cheques sin
fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que lleguen
cuatro cheques al día

14.  B)
 X= es la variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan en dos
días consecutivos
 =6x2= 12 Cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos
 Lambda por t comprende
 al promedio del cheque a los dos días
 DATOS
 = 12 Cheques sin fondo por día
 e= 2.718
 X=10
 P(x=10, =12 )= (129^10(2.718)^-12
 10!
 =(6,191736*10^10)(0,000006151)
 3628800
 =0,104953 es la es la probalidad de que lleguen 10 cheques sin fondo en dos
días consecutivos

15.  A) x= Variable que nos define el número de cheques sin
fondo que llega al banco en un día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6 cheques sin
fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que lleguen
cuatro cheques al día

16. 5 Ejemplos de Bernoulli.
1 EJEMPLO EXPLICADO.

17. 1) Al lanzar un dado, ver si se obtiene un 5 (éxito) o cualquier otro valor
(fracaso).
Lo primero que se hace en este experimento es identificar el fracaso o el
éxito, ya que en este de bernoulli solo se pude obtener dos resultados
1)Se considera éxito sacar un 5, a la probabilidad según el teorema de
Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/5.
p = 1/5
2) Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso
sacar cualquier otro resultado, entonces a la probabilidad se le restará 1.
q= 1 –p p= 1- 1/5 p=4/5
3) La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 5", y solo
existen dos valores posibles, 0 (que no salga 5) y 1 (que salga un 5). Por
lo que el parámetro es (X= Be(1/5)
p=1/5

18. LA PROBABILIDAD DE QUE OBTENGAMOS UN 5 VIENE
DEFINIDA COMO LA PROBABILIDAD DE QUE X SEA IGUAL
A 1. ENTONCES AHORA LOS DATOS QUE OBTUVIMOS SE
SUSTITUYEN EN LA FÓRMULA.
P(X=1) = (1/5) 1 * (4/5) 0 = 1/5 = 0.2
LA PROBABILIDAD DE QUE NO OBTENGAMOS UN 6 VIENE
DEFINIDA COMO LA PROBABILIDAD DE QUE X SEA IGUAL
A 0.
P(X=0) = (1/5)0 * (4/5)1 = 4/5 = 0.8
ESTE EXPERIMENTO NOS DICE QUE HAY 0.2 DE
PROBABILIDAD DE QUE SALGA EL NUMERO 5 EN EL
DADO, Y DE QUE NO SALGA ESE NUMERO EXISTE LA
PROBABILIDAD DEL 0.8.

19. Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución
normal de media μ y desviación típica σ, y se designa
por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de
ecuación matemática de la curva de Gauss:

20.  Curva de la distribución normal
 El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
 Es simétrica respecto a la media µ.
 Tiene un máximo en la media µ.
 Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
 En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
 El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

21. El área del recinto determinado por la función y el eje
de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja
un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a
0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo
la curva.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

22. Distribución T-student

23. Definición.
 En probabilidad y estadística, la distribución t (de
Student) es una distribución de probabilidad que
surge del problema de estimar la media de una
población normalmente distribuida cuando
el tamaño de la muestra es pequeño.
 Aparece de manera natural al realizar la prueba t de
Student para la determinación de las diferencias
entre dos medias muéstrales y para la construcción
del intervalo de confianza para la diferencia entre las
medias de dos poblaciones cuando se desconoce
la desviación típica de una población y ésta debe ser
estimada a partir de los datos de una muestra.

24. Ejemplo:
 Un fabricante de focos afirma que su producto
durará un promedio de 500 horas de trabajo.
Para conservar este promedio esta persona
verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado
cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra
satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya
duración fue?:

25. AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE
TOMARON PARA RESOLVER EL PROBLEMA.
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07

26. SOLUCION
 Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se
aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los
que contamos.
 Tendremos que sustituir los datos
 t= x -μ
 SI n α = 1- Nc = 10%
 v = n-1 = 24
 t = 2.22

27. Procedimiento: se demostrara la forma en que se
sustituirán los datos.
 VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA
 µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22
 n=25 12.07 25
 Nc=90% v = 25 -1 = 24
 X=505.36 α = 1- 90% = 10%
 S=12.07

28. Enseguida se muestra la distribución del problema según el
grafico sig.