La división algebraica consiste en obtener un cociente y un posible resto al dividir un dividendo entre un divisor. Existen varios métodos para realizar divisiones de monomios y polinomios como el método normal, de coeficientes separados y de Horner. Las propiedades de la división incluyen que el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

1. DIVISIÓN ALGEBRAICA
α CASOS DE LA DIVISIÓN
α
DEFINICIÓN.- I.- Cuando se trata de dos monomios.
División algebraica es la operación que consiste en a) Se divide los signos mediante la regla de los
obtener una expresión llamada cociente, conocidas signos.
otras dos, llamadas dividendo y divisor.
b) Se divide los coeficientes.
NOTA IMPORTANTE c) Se divide las letras aplicando Teoría de expo-
nentes.
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En toda división, tramos la siguiente nomen-
clatura de grados: Ejemplo:
1) °⏐D⏐ = grado del dividendo Dividir:
-16x4y8z5
2) °⏐ d⏐ = grado del divisor E = ––––––––––
-4x2y5z4
3) °⏐ q⏐ = grado del cociente Efectuando:
E = 4x2y3z
4) °⏐R⏐ = grado del residuo o resto
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
II.- Cuando se trata de dos polinomios.
gs
pot
.c
om
Se puede utilizar cualquiera de los siguientes
métodos:
α
1) En toda división, el grado del cociente es igual al a) Método normal
lo
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.b
grado del dividendo menos el grado del divisor:
b) Método de coeficientes separados.
F1
D
c) Método de Horner.
SP
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐D⏐
O
d) Método de Ruffini.
R
IB
2) En toda división el grado del dividendo es mayor
.L
Método Normal. Para dividir mediante este méto-
w
o igual que el grado del dividendo:
w
do se debe seguir los siguientes pasos:
w
°⏐D⏐ ≥ °⏐d⏐ 1) Se ordena los polinomios, generalmente en
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forma decreciente.
3) En toda división el grado del divisor es mayor que
2) Se escribe en línea horizontal uno a contin-
el grado del resto:
uación del otro, utilizando el signo de la
división aritmética.
°⏐d⏐ > °⏐R⏐
3) Se divide el primer término del dividendo entre
4) En toda división el grado máximo del resto es el primer término del divisor, obteniéndose el
igual al grado del divisor menos 1: primer término del cociente
4) Este término se multiplica por cada uno de los
°⏐R máximo⏐ = °⏐d⏐ - 1 términos del divisor para restarlos a los corres-
pondientes términos del dividendo. A este resto,
5) En el caso de polinomios homogéneos, el grado se añade el siguiente término del dividendo.
del resto es mayor que el grado del divisor:
5) Se divide el primer término del resto obtenido
°⏐R⏐ > °⏐d⏐ entre el primer término del divisor y se obtiene
el segundo término del cociente.
6) En el caso de polinomios homogéneos, no se 6) Se procede desde el paso 4 sucesivamente
cumple la propiedad 4. hasta terminar la división.
- 90 -

2. Á L G E B R A
Ejemplo: Ejemplo:
Efectuar la siguiente división: Efectuar la división:
6x5 - 20x4 - 13x3 + 25x2 - 12x + 7
6x5 + 5x4y - 26x3y2 + 33x2y3 - 24xy4 + 6y5 ––––––––––––––––––––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x2 - 3xy + y2 3x2 - x + 1
Procedimiento:
6 - 20 - 13 + 25 - 12 + 7 3-1+1
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6x5+5x4y-26x3y2+33x2y3-24xy4+6y5 2x2 -3xy+ y2 -6 + 2 - 2 2-6-7+8
–––––––––––––––
-6x5 +9x4y-3x2y2 3x3+7x2y-4xy2+7y3 - 18 - 15 + 25
–––––––––––––––––––––––––
+14x4y-29x3y2 +33x2 y3 + 18 - 6 + 6
–––––– ––––––––
-14x4y+21x3y2 -7x2y3 - 21 + 31 - 12
––––––––––––––––––––––––––
-8x3y2 +26x2y3 -24xy4 + 21 - 7 + 7
–––––––––––––––––
+8x3y2 -12x2y3 +4xy4 24 - 5 + 7
––––––––––––––––––––––––
+14x2y3 -20xy4 +6y5 - 24 + 8 - 8
––––––––––––––––––
-14x2y3 +21xy4 -7y5 + 3-1
___________________
om
xy4 - y5 El cociente es de grado:
.c
pot
El cociente es: °⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ = 5 - 2 = 3
gs
lo
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.b
3x3 + 7x2y - 4xy2 + 7y3 El cociente es:
F1
D
El resto es :
SP
q = 2x3 - 6x2 - 7x + 8
O
4 5
xy - y
R
IB
El resto es de grado:
.L
Método de coeficientes separados. En
w
este caso, además de las consideraciones anterio- °⏐R⏐ = °⏐d⏐ - 1 = 2 - 1 = 1
w
w
res se debe tener en cuenta:
El resto es:
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1) Se trabaja solamente con los coeficientes y sus
correspondientes signos del dividendo y divisor. R = 3x - 1
2) En caso de faltar un término con una potencia Método de Horner. Este método es un caso
de la variable, se coloca en su lugar cero, tanto particular del método de coeficientes separados y
en el dividendo como en el divisor. se emplea para la división de dos polinomios de
cualquier grado.
3) De esta manera, se obtiene los coeficientes con
sus signos del polinomio cociente. Procedimiento:
1) Se escribe los coeficientes del dividendo en
4) Para determinar el grado del cociente y resto se una fila con su propio signo.
aplica las siguientes propiedades:
2) Se escribe los coeficientes del divisor en una
°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ columna a la izquierda del primer término del
dividendo; el primero de ellos, con su propio
signo y los restantes, con signos cambiados.
°⏐R⏐ = °⏐d⏐ - 1
3) El primer término del dividendo se divide
5) Este método es recomendable para polinomios entre el primer término del divisor, obtenién-
de una sola variable. dose el primer término del cociente.
- 91 -

3. α
4) Se multiplica este término del cociente sola-
mente por los términos del divisor, a los cuales
Explicación:
α
se cambió de signo, colocándose los resultados 1) Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es
a partir de la segunda fila, corriendo a un lugar el primer coeficiente del cociente.
hacia la derecha.
2) 2 se multiplica por los términos del divisor a
5) Se reduce la siguiente columna y se coloca el los cuales se cambió de signo (-1, -3), dando
resultado en la parte superior para dividirlo como resultado(-2, -6) que se coloca en la
entre el primer coeficiente del divisor y obten- segunda fila, corriendo un lugar hacia la
derecha.
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er el segundo término del cociente.
6) Se multiplica este cociente por los términos del 3) Se suma la segunda columna (correspondiente
divisor a los cuáles se cambió de signo, al dividendo) y el resultado se divide entre 4,
colocándose el resultado en la tercera fila y igual a 3; este valor es el segundo coeficiente
corriendo un lugar hacia la derecha. del cociente.
7) Se continúa este procedimiento hasta obtener 4) 3 se multiplica por (-1, -3) y de la tercera fila (-3, -9)
el término debajo del último término del divi- corriendo, un lugar hacia la derecha.
dendo, separando inmediatamente los térmi-
nos del cociente y resto.
8) Para obtener los coeficientes del residuo se
reduce directamente cada una de las columnas
que pertenecen.
gs
p
5) Se suma la tercera columna, da -4, se divide
ot
entre 4, da -1, ese resultado es el tercer coefi-
.c
om
ciente del cociente.
6) -1 se multiplica por (-1, -3) y da la fila ( +1, +3)
α
corriendo un lugar hacia la derecha.
lo
Ejercicio:
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.b
7) Se suma la cuarta columna, da +8, se divide
F1
Efectuar la división de polinomios: ente 4, da 2, este resultado es el cuarto coefi-
D
SP
ciente del cociente.
8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2
O
–––––––––––––––––––––––––––
R
4x2+ x + 3
IB
8) 2 se multiplica por (-1, -3) y da la fila -2 y -6.
.L
w
Solución: 9) Como el último término de este producto
w
w
queda debajo del último coeficiente del divi-
Los grados del cociente y residuo serán
dendo 2, se separa con una línea los términos
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°⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ = 5 - 2 = 3 obtenidos, los cuales pertenecen al cociente.
°⏐R⏐ = °⏐d⏐ - 1 = 2 - 1 = 1 10) Se reduce las siguientes columnas, da (4 , -4) y se
baja directamente, son los coeficientes del resto.
Procedimiento:
Escribiendo su parte literal:
12 - 4 + 8
4 8 + 14 + 5 + 16 + 3 + 2 Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2
-1 - 2 - 6 R(x) = 4x - 4
-3 - 3 - 9
EJERCICIOS RESUELTOS
+ 1 + 3
- 2 - 6 1.- Hallar el valor de “m” para que la división sea
exacta, en:
2 + 3 -1 + 2 4 - 4
1442443 123 x4 - ma2x2 + a4
coeficientes coeficientes –––––––––––––––
x2 - ax + a2
del cociente del resto
- 92 -

4. Á L G E B R A
Solución: 3.- Calcular p y q, si la división es exacta:
Dividiendo por el método normal. Si la división
es exacta, el residuo debe ser un polinomio idén- x4 + px2 + q
–––
–––––––––
ticamente nulo. x2 - 6x + 5
x4 + 0 - mx2a2 + 0 + a4 x2 - ax + a2 Solución:
-x4 + x3a - x2a2 x2 + xa - ma2 Para que una división sea exacta, el resto debe ser
––––––––––––––––––––
x3a - (m + 1)x2a2 un polinomio idénticamente nulo. Dividiendo
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por el método de Horner:
-x3a + x2a2 - xa3
––––––––––––––––––––––––––––––––
- mx2a2 - xa3 + a4 6 +p+31
mx2a2 - mxa3 + ma4 1 1 0 +p 0 +q
–––––––––––––––––––––––––––––––
- (1 + m)xa3 + (1 + m)a4
+6 +6 -5
Si la división es exacta:
-5 +36 -30
-(1 + m)xa3 + (1 + m)a4 ≡ 0
6p+186 -5p-155
Factorizando: 1 +6 p+31 6p+156 -5p+q-155
om
(1 + m) (-xa3 + a4) ≡ 0 .c
ot
Luego, el cociente es (grado2):
p
Igualando a cero los factores:
gs
lo
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.b
1+m=0 ; m = -1 Q(x) = x2 + 6x + (p + 31)
F1
D
Rpta.: m = -1 el resto es:
SP
O
R
2.- Hallar m + n + p si la división que sigue no deja (6p + 156)x + (-5p + q - 155)
IB
resto:
.L
Por condición:
w
12x5 - 9x4 + 14x3 - mx2 + nx - p
w
–––––––––––––––––––––––––––
w
3x3 + 2x - 6 R(x) ≡ 0x + 0
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Solución:
∴ (6p + 156)x + (-5p + q - 155) ≡ 0x + 0
Utilizando el método de coeficientes separados, el
resto debe ser un polinomio idénticamente nulo. identificando coeficientes:
12 - 9 + 14 - m + n-p 3+0+ 2-6 6p + 156 = 0 ⇒ p = -26
-12 - 0 - 8 + 24 4-3+2
––––––––––––––––––––––––––––– -5p + q-155 = 0 ⇒ q = 25
- 9 + 6 + 24 - m + n
+9+ 0 + 6 - 18 Rpta.: p = -26, q = 25
––––––––––––––––––––––– ––––
+ 6 + 30 - m + n - 18 - p
- 6 - 0 -4 + 12 4.- Determinar m y n si la división:
–––––––––––––––– –––––––––––––
30 - m + n - 22 - p + 12
x4 - 3x3a + x2a2 + mxa3 + na4
–––––––––––––––––––––––––––
Como la división no deja resto: x2 - ax + a2
30-m + n - 22 - p + 12 = 0 deja como resto:
m + n + p = 20 7xa3 + 3a4
- 93 -

5. Solución:
α El resto es:
α
( ) ( )
2
Aplicando la división normal se tendrá: R(x) = –––– - 190 x + n + -5m + 10m
33m
–––––– ––––––––––
4 4
x4 - 3x3a + x2a2 + mxa3 + na4 x2 - ax + a2
Por condición:
-x4 + x3a - x2a2 x2 - 2xa - 2a2
–––––––––––––––––––––––––––––––––
- 2x3a - 0x2a2 + mxa3 R(x) = 2x - 3
+ 2x3a - 2x2a2 + 2xa3 Luego:
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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- 2x2a2 + (m+2)xa3 + na4
(–––––––––)x + (n + -5m 4+ 10m )≡ 2x - 3
2
+ 2x2a2 + 2a3x + 2a4 33m - 190 ––––––––––
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4
(m+4)xa3 + (n+2)a4
Identificando coeficientes:
El resto es:
33m - 190
(m + 4)xa3 + (n + 2)a4 ––––––––– = 2 ⇒ m=6
4
Por dato, el resto es:
α
2
n + 10m - 5m = -3
––––––––– ⇒ n = 27
4
7xa3 + 8a4
om
Rpta.: m = 6
3 4 3 4
.c
∴ (m + 4)xa + (n + 2)a ≡ 7xa + 8a
ot
n = 27
p
gs
identificando coeficientes:
lo
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.b
6.- Si la división:
F1
(m + 4)a3 = 7a3 ⇒ m=3
D
20x4 + 6ax3 - 3bx2 - 17cx + 9d
SP
–––––––––––––––––––––––––
(n + 2)a4 = 8a4 ⇒ n=6 5x2 - 7x + 2
O
R
IB
Rpta.: m = 3, n = 6
.L
da un cociente cuyos coeficientes van aumentando
w
de 4 en 4, y deja un resto igual a 34x + 3. Hallar el
w
5.- Calcular m y n si el resto de división es: 2x - 3
w
valor de:
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12x4 - 23x3 + 8mx2 - 35x + n E = (a + b) - (c + d)
–––––––––––––––––––––––––––
4x2 - 5x + m
Solución:
Solución:
Dividiendo por el método de Horner:
Dividiendo por el método de Horner:
5 20 +6a -3b -17c +9d
-8 5m-10
+28 -8
4 12 -23 +8m -35 +n
+7 56 -16
+5 15 -3m
-2
-m
-10 +2m 84 -24
25m-50 -5m2+10m 4 8 12 -17c+68 9d-24
––––––––– –––––––––
–
4 4
Explicación:
-5m2
-2 –––––– ––––––––– n + –––– +10m
5m-10 33m-190
3 ––––––– El cociente es:
4 4 4
4x2 + 8x + 12
- 94 -

6. Á L G E B R A
Para el cociente: El cociente es:
1) El segundo coeficiente es 8 ya que aumenta de Q(x) = xa-2 + 2xa-3 + 3xa-4 + … + n
4 en 4, luego:
El resto es:
6a + 28 R(x) = (-b + n + 1)x + (c - n)
–––––––– = 8 ⇒ a=2
4
El coeficiente “n” del cociente corresponde al ter-
2) El tercer coeficiente es 12, luego: mino (a - 1) en el dividendo; se tendrá:
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1) n = a - 1 ⇒ a = n + 1
-3b - 8 + 56
–––––––––––– = 12 ⇒ b = -4 2) Si la división es exacta:
4
R(x) ≡ 0x + 0
El resto es:
Luego:
(-17c + 68)x + (9d - 24) ≡ 34x + 3
(-b + n + 1)x + (c-n) ≡ 0x + 0
identificando coeficientes: Identificando coeficientes:
-17c + 68 = 34 ⇒ c=2 -b + n + 1 = 0 ⇒ b=n+1
om
c-n=0 ⇒ c=n
9d - 24 = 3 ⇒ d=3
.c
ot
En la expresión pedida, reempalzamos los valores
p
gs
Por lo tanto: E = (2 - 4) - (2 + 3) = -7 de a, b y c:
lo
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.b
F1
E = ––– 1n + 1 = 2
Rpta.: E = -7 n+–––––––
D
n+1
SP
7.- Calcular el valor de:
O
Rpta.: 2
R
IB
a+b xa - bx + c
.L
E = –––––– ,si la división ––––––––––– es exacta. a2 + ab + b2
8.- Calcular: E = ––––––––––– ,
w
c+1 x2 - 2x + 1
w
a2 - 3b2
w
Solución:
x4 +(a - b)x3 + (a - b)x + b2
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Si la división: ––––––––––––––––––––––– es exacta
Dividiendo por el método de Horner: x2 - (a - b)x + b2
(a + 1) terminos
64444444744444448 Solución:
Dividiendo por el método de Horner:
1 1 0 0 0 ……… 0 -b +c 1 1 (a-b) 0 (a-b) b2
2 -1
+2 a-b a-b -b2
4 -2 -b2 2(a-b)2 -2b2(a-b)
-1 (a-b){2(a-b)2-b2}
2n-2 -n+1 -b2{2(a-b)2 -b2}
2n -n 1 2(a-b) [2(a-b)2-b2]
1 +2 +3 …(n-1) n -b+n+1 c-n (a-b)(2a2-4ab-b2+1)
+b2[1-{2(a-b)2-b2}]
- 95 -

7. El cociente es:
α El coeciente es:
α
x2 + 2(a - b)x + {2(a - b)2 - b2} x2 + x + 1
El resto es: El resto es -(A + B + C)
R(x) = (a - b) (2a2 - 4ab - b2 + 1)x Condición: R = 0
+ b2[1- {2(a - b)2 - b2}] Luego: -(A + B + C) = 0
Por condición: A+B+C =0
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R(x) ≡ 0x + 0
Rpta.: A + B + C = 0
Luego:
10.- Calcular “a” y “b” si la división:
(a - b) (4a2 + 8ab)x + b2[1- {2(a - b)2}] ≡ 0x + 0
x7 + ax + b
––––––––––– es exacta.
Identificando coeficientes: x2 + 2x + 1
(a - b) (4a2 - 8ab) = 0
{ a = b Solución:
α
a = 2b Dividiendo por el método de Horner:
-2 +3 -4 +5 -6
om
En la expresión; para a = b: .c
1 1 0 0 0 0 0 a +b
ot
a2 + a2 + a2 3a2 3
p
E = –––––––––– = –––– = - ––– -2 -1
gs
2 2 2
a - 3a -2a 2
lo
-2
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.b
F1
En la expresión; para a = 2b: +4 +2
D
SP
-1
4b2 + 2b2 + b2
O
E = –––––––––––– = 7
R
4b2 - 3b2 -6 -3
IB
.L
+8 +4
w
Rpta.: E = -3/2 y E=7
w
-10 -5
w
9.- Hallar A + B + C, si la división: +12 +6
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1 -2 +3 -4 +5 -6 a+7 b+6
Ax4 + (A + B)X3 + (A + B + C)x2 + (B + C)x - A - B
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Ax2 + Bx + C
El cociente es:
no deja resto.
q(x) = x5 - 2x4 + 3x3 - 4x2 + 5x - 6
Solución:
Dividiendo por el método de Horner: El resto es:
R(x) = (a + 7)x + (b + 6)
A A
A A (A+B) (A+B+C) (B+C) -(A+B) Como la división es exacta:
-B -C R(x) ≡ 0
-B Εs decir:
-B -C (a + 7)x + (b + 6) ≡ 0x + 0
-C Identificando coeficientes:
-B -C a+7=0 ⇒ a = -7
1 1 1 0 -(A+B+C)
b+6=0 ⇒ b = -6
- 96 -

8. Á L G E B R A
11.- Calcular la relación entre p y q si la división de: 12.- Hallar el valor de “n” si el grado de P(x) y Q(x)
es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que
x4 + (p + 2m)x + q - 1 entre x2 + mx - 1 es exacta. el grado de la expresión:
Solución:
{P7(x) + Q5(x)}2n
–––––––––––––––––
Dividiendo por el método de Horner: {P5(x) + Q4(x)}n+3
-m m2+1 es igual a 4.
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1 1 0 0 p+2m q-1 Solución:
-m +1 Determinemos el grado de cada expresión:
-m
+m2 -m °⏐P7(x)⏐ = 7 . 3 = 21
+1 °⏐Q5(x)⏐= 5 . 4 = 20
3 2
-m -m m +1
°⏐P5(x)⏐ = 5 . 3 = 15
1 -m m2+1 p-m3 m2+q
°⏐Q4(x)⏐ = 4 . 4 = 16
El cociente es: om
.c
ot
°⏐P7(x) + Q5(x)⏐ = 21
p
gs
2 2
q(x) = x - mx + (m + 1)
lo
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°⏐P5(x) + Q4(x)⏐ = 16
.b
F1
El resto es:
D
°⏐P7(x) + Q5(x) ⏐2n = 21 . (2n) = 42n
SP
R(x) = (p - m3)x + (m2 + q)
O
R
°⏐Q5(x) + Q4(x) ⏐n+3 = 16(n + 3)
IB
Como la división es exacta:
.L
w
w
R(x) ≡ 0 El grado de la expresión es:
w
por lo tanto:
⏐ ⏐
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° {P7(x) + Q5(x)}2n
––––––––––––––––– = 42n - 16(n + 3)
(p - m3)x + (m2 + q) ≡ 0x + 0 {P5(x) + Q4(x)}n+3
identificando coeficientes: Por condición:
p - m3 = 0 ⇒ p = m3 (I) 42n - 16(n + 3) = 4
n=2
m2 + q = 0 ⇒ -q = m2 (II)
Rpta.: n = 2
Elevando (I) al cuadrado y (II) al cubo se obtiene:
13.- Si la división:
p2 = m6 , -q3 = m6,
x4 - ax2 + bx - c
–––––––––––––––––– es exacta. Calcular:
y de estas dos últimas relaciones se obtiene final- x3 - 3dx2 + 3d2x - d3
mente que:
a3
E = ––––
p2 = -q3
b2
- 97 -

9. Solución:
α +m-a
α
Dividiendo por el método de Horner: 1 1 m n +ab
+3d -a -b
1 1 0 -a +b -c -a
+3d -3d2 +d3 -a(m-a) -b(m-a)
+3d -b
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9d2 -9d3 +3d4 1 m-a n-b-a(m-a) ab-b(m-a)
-3d2 El cociente es:
3
+d x + (m - a)
1 3d -a+6d2 b-8d3 -c+3d4
Por condición: R ≡ 0
El cociente es: luego:
x + 3d
Por condición del problema el R ≡ 0
p [n - b - a(m - a)]x + [ab - b(m - a)] ≡ 0x + 0
om
identificando coeficientes:
ot
.c
α
Luego:
gs
(n - b) - a(m - a) = 0 (α)
lo
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.b
(-a + 6d2)x2 + (b - 8d3)x + (-c + 3d4) ≡ 0x2 + 0x + 0 ab - b(m - a) = 0 (β)
F1
D
SP
identificando los coeficientes: reduciendo(β): ab - bm + ab = 0
O
R
de donde:
IB
-a + 6d2 = 0 ⇒ a = 6d2
.L
2a = m
w
b - 8d3 = 0 ⇒ b = 8d3
w
o:
w
-c + 3d4 = 0 ⇒ c = 3d4 a = m/2
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Sustituyendo estos valores en la condición: Sustituyendo el valor de m en (α):
n - b - a(2a - a) = 0
a3 (6d2)3 216d6
E = ––– = –––––– = –––––– = 3,375
2 3 2
b (8d ) 64d6 de donde: n - b = a2
Rpta.: E = 3,375 Sustituyendo el valor de a = m/2
m2
n - b = ––– ; 4(n - b) = m2
14.- Hallar la condición para que la división: 4
m2
Rpta.: La condición es que (n - b) = ––– = a2
x3 + mx2 + nx + a . b
–––––––––––––––––– 4
x2 + ax + b
sea exacta. 15.- Calcular m, n y p si el resto es 5x2 + 7x + 8, dada
la siguiente división:
Solución:
8x5 + 4x3 + mx2 + nx + p
––––––––––––––––––––––––
Dividiendo por el método de Horner: 2x3 + x2 + 3
- 98 -

10. Á L G E B R A
Solución: Se opera así:
Dividiendo por Horner: • Se escribe los coeficientes del dividendo en
línea horizontal.
-4 +6 • Se escribe el término independiente del divi-
sor, con signo cambiado, un lugar a la izquier-
2 8 0 +4 +m +n +p da y abajo del coeficiente del primer término
del dividendo.
-4 0 -12
• Se divide como en el caso de Horner, teniendo
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-1
presente que el primer coeficiente del cocien-
+2 0 +6 te, es igual al primer coeficiente del dividendo
0 • Para obtener el cociente, se separa la última
columna que viene a ser el resto.
-3 -3 0 -9
4 -2 3 m-15 n+6 p-9 Ejemplo:
Obtener el cociente y el resto en la división:
El cociente es:
4x4 - 5x3 + 6x2 + 7x + 8
––––––––––––––––––––––
4x2 - 2x + 3 x+1
om
.c
El resto es: Procedimiento:
p ot
gs
(m - 15)x2 + (n + 6)x + (p - 9) 4 -5 +6 +7 +8
lo
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.b
F1
Por condición el resto es: -1 -4 +9 -15 +8
D
SP
4 -9 +15 -8 16 resto
5x2 + 7x + 8 14444244443
O
R
Por lo tanto:
IB
coeficientes del cociente
.L
w
(m - 15)x2 + (n + 6)x + (p - 9) ≡ 5x2 + 7x + 8 Grado del cociente:
w
w
identificando coeficientes: °⏐q⏐ = °⏐D⏐ - °⏐d⏐ = 4 - 1 = 3
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m - 15 = 5 ⇒ m = 20 cociente:
n + 6=7 ⇒ n=1 q = 4x3 - 9x2 + 15x - 8
resto: R = 16
p - 9=8 ⇒ p = 17
Rpta.: m = 20, n = 1, p = 17 b) Cuando el coeficiente del primer término del
divisor es diferente de cero.
REGLA DE RUFFINI Su forma general es: ax ± b
Se utiliza para dividir polinomios cuando el divi- Se procede así:
sor es un binomio de primer grado. Se estudia 3
casos: • Se transforma el divisor, extrayendo como fac-
tor común, el primer término del divisor; es
a) Cuando el coeficiente del primer término del decir:
divisor es igual a 1.
b
Su forma general es : x ± b (
(ax ± b) = a x ± ––
a )
- 99 -

11. b
α Ejemplo:
α
caso.
a ( )
• Se divide entre x ± –– , como en el primer
Hallar el cociente y el resto en:
• Los coeficientes del cociente obtenido se divi- 6x36 + 17x27 - 16x18 + 17x9 + 12
den entre el primer coeficiente del divisor. –––––––––––––––––––––––––––
3x9 + 1
• El resto obtenido no sufre alteración. Procedimiento
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Ejemplo: Observemos que los exponentes de la variable
del dividendo son múltiplos del exponente 9 del
Hallar cociente y resto en: divisor, luego se puede aplicar el método.
18x5 - 29x3 - 5x2 - 12x - 16 Haciendo x9 = y, la división es:
––––––––––––––––––––––––
–
3x + 2
6y4 + 17y3 - 16y2 + 17y + 12
––––––––––––––––––––––––
2 3y + 1
(
i) Se factoriza 3 así: 3 x + –– )
α
3
Aplicando el segundo caso:
2
ii) Se divide entre x + ––
om
3 .c
6 +17 -16 +17 +12
ot
iii) Previamente, se completa el dividendo con
p
gs
cero,que es el coeficiente de x4. 1
lo
- –– -2 -5 +7 -8
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.b
3
F1
18 0 -29 -5 -12 -16 6 -15 -21 +24 +4
D
SP
O
2
- –– -12 +8 +14 -6 +12
R
3 Cociente primario:
IB
.L
18 -12 -21 +9 -18 -4 resto
w
144444244443 6y3 + 15y2 - 21y + 24
w
w
coeficientes del cociente
El grado del cociente obtenido es: Dividiendo entre 3 da el verdadero cociente:
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5-1=4 2y3 + 5y2 - 7y + 8
Cociente primario = 18x4 - 12x3 - 21x2 + 9x - 18 reemplazando y = x9 , el cociente es:
Dividiendo todo el cociente primario entre 3,
q = 2x27 + 5x18 - 7x9 + 8
porque es el primer coeficiente del divisor, se tiene:
El cociente verdadero: el resto es:
q = 6x4 - 4x3 - 7x2 + 3x - 6 R = +4
El resto: R = -4 EJERCICIOS RESUELTOS
c) Cuando el divisor es de la forma: axn + b. 1.- Hallar el resto y el cociente en:
En este caso para que la división se pueda efectu-
ar, los exponentes de la variable del dividendo x3- 2x2 + (2 - a2- 2a)x - 2a - 2
deben ser múltiplos del exponente de la variable ––––––––––––––––––––––––––––
x-a-2
del divisor.
- 100 -

12. Á L G E B R A
Solución: Cociente primario:
Dividiendo por Ruffini:
6x2 + 6x + 9 - m
1 -2 +2-a2-2a -2a-2
Dividiendo entre 2 da el cociente real:
2
a+2 a+2 a +2a 2a+4 9-m
3x2 + 3x + –––––
1 a 2 +2 2
Según el problema, el resto debe ser cero, es decir:
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2
Rpta.: Cociente: q = x + ax + 2 3
–– (9 - m) - 6 = 0
2
Resto: R=2 m=5
2.- Hallar el resto de la siguiente división: Rpta.: m = 5
__ __
( )
x5 + 3√2 - 2 __3 + 2√2 + 7
x
–––––––––––––––––––––––––
4.- Sea el polinomio:
x - √2 + 1 abcx3 - (a2c+b2a+ c2b)x2 + (a2b + b2c + c2a)x - abc
Solución: a b
se anula para x = –– y para x = ––
om
Aplicando Ruffini: b c
.c
ot
Hállese otro valor que también lo reduzca a cero.
p
gs
__ __ Solución:
lo
3√2 -2 0 +2√2 +7
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1 0 0
.b
F1
__ __ __ __ __ abc -a2c-b2a-c2b a2b+b2c+c2a -abc
D
√2 -1 √2 -1 3-2√2 1 √2 -1 3-2√2
SP
__ __ __ ↓
O
a
R
1 √2 -1 √2 +1 1 √2 -1 +10 –– a2c -a2b-ac2 abc
IB
b
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
.L
-b2a-c2b b2c
w
Rpta.: abc 0
w
w
Cociente: ↓
__ __ __ b
–– ab2 -b2c
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( ) (
q = x4 + √2 - 1 x3 + √2 + 1 x2 + x + √2 - 1 ) c
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
abc -c2b 0
Resto: R = 10 ↓
c
––
3.- Calcular “m” si la división es exacta: a c2b
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
abc 0
6x3 - 3x2 - mx - 6
–––––––––––––––––
2x - 3
c
Solución: El otro valor es: ––
a
c
Dividiendo por Ruffini: porque al dividir entre el valor –– dado para x
a
se anula.
6 -3 -m -6
c
Rpta.: ––
a
3
–– +9 +9 3
––(9-m)
2 2
5 .- Hallar el residuo de la división de:
6 +6 9-m 3
––(9-m) -6
2 6x3 - 5x2 + ax - 1 entre 2x + 1
- 101 -

13. sabiendo que su cociente toma el valor numérico
de 2 para x = 1.
α El valor numérico para x = 1 será:
α
a+4
3(1)2 - 4(1) + ––––– = 2
Solución: 2
Dividiendo por Ruffini: a+4
3 - 4 + ––––– = 2
2
6 -5 +a -1
eliminado denominadores:
↓
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6-8+a+4=4
1
- –– -3 +4 1
- –– (a+4)
2 2
∴ a=2
6 -8 a+4 1
- –– (a+4) - 1 Si el resto es:
2
1
R = - –– (a + 4) - 1
2
El cociente primario:
sustituyendo. a = 2:
6x2 - 8x + a + 4
dividiendo entre 2 ,el cociente es: ot
.c
om
R = -4
1
R = - –– (2 + 4) - 1
2 α
a+4
p
3x2 - 4x +
(
–––––
)
gs
2 Rpta.: El residuo es -4
lo
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.b
F1
D
SP
O
R
EJERCICIOS PROPUESTOS
IB
.L
w
1. Calcular A + B si la división: 3. En la división:
w
w
3x4 + 2x3 + Ax2 + 7x - 12
2x4 + 3x2 + Ax + B ––––––––––––––––––––––
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––––––––––––––––– x3 + x2 - 3
2x2 + 2x + 3
es exacta el cociente es: 3x + B; el resto: -4x2 + Cx - 15
Hallar ABC.
a) 2 b) 4 c) 5
a) 80 b) 16 c) 50
d) 12 e) 0
d) 210 e) 49
2. Calcular m + n + p si la división deja como resto:
4. El residuo en la división es -16:
2x2 + x - 5
6x4 - x3y - 6x2y2 + 5xy3 - 3y4
5 4 3 2 –––––––––––––––––––––––––
3x - 2x - 3x + mx + nx + p 2x2 + xy - 2y2
––––––––––––––––––––––––––
3x3 - 2x2 + 1
Hallar el valor de “y”
a) 3 b) 2 c) -1 a) 1 b) 3 c) 2
d) 0 e) 10 d) -1 e) 4
- 102 -

14. Á L G E B R A
5. Cuando el polinomio: 1 2
a) ––– b) ––– c) 5m
5m 5m
8x4 - Ax3 + Bx2 + Cx + D
5m 5
d) ––– e) –––
2
se divide entre: 2x - x + 1; se obtiene un cociente 2 m
cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a par-
tir del primer término y un residuo igual a 5x + 1. 10. Indicar el resto que resulta al dividir:
Hallar: A + B + C + D 8x3 + 4x2 - 6mx + 15 entre (2x - 1), sabiendo que
la suma de los coeficientes del cociente es 28.
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a) 24 b) 21 c) 15
a) -1 b) 1 c) -35
d) 12 e) 16
d) 35 e) 36
6a + 6b + 2c
6. Calcular: ––––––––––– 11. Hallar la relación existente entre “m”, “n”, “p”
b si la siguiente división es exacta:
si el polinomio: x3 - 7a2 + 6b3 (3x3 - mx2 + nx + p)
entre: x2 - (a + c)x + ac, deja como resto cero ––––––––––––––––––
(x2 - a)
om
a) 2 b) 8 c) 4
a) m + n = p
.c b) 2m - n = 3p
ot
d) -6 e) 5
p
c) mn = -3p d) m-n = 2p
gs
lo
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.b
7. En la siguiente división exacta: e) Ninguna
F1
D
x3 + (2a + m)x2 + (a2 + b + n)x + ab 12. Hallar n - m si la división es exacta:
SP
––––––––––––––––––––––––––––––––
O
x2 + ax + b
R
2mx3 - mx2 + 3nx - 6
IB
dar el valor de: ––––––––––––––––––––
.L
2x2 - 3x + 1
w
w
n2 + a2m2
w
E = –––––––––––– a) 4 b) -4 c) 2
2a2m2 + m2b2
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d) 3 e) 10
a) 1 b) 5 c) 4
13. Evaluar:
d) 2 e) 7 __
P(x) = x8 - 2x4 - 16x2 + 4√3
___ ___
____
8. Si a y b son mayores que cero. Calcular:
para x = √1 + √3
E = a +m, sabiendo que el resto de la división:
a) -4 b) 3 c) 11
3x4 - 4x3 + ax2 + 5x - 2
–––––––––––––––––––––
x2 - x + m d) 15 e) 4
es R = 8x - 2
14. Al efectuar la división:
a) 13 b) 3 c) 5
nx4 + (n - n2 + 1)x3 + x2 - n2x + n2 - 7
––––––––––––––––––––––––––––––––
d) 10 e) 16 x-n+1
se observa que la suma algebraica de los coefi-
9. Si el polinomio: x3 + 2mx2 + 5ax + b, es divisible cientes del cociente es cero. El valor de este
entre: x2- 3mx + 2a. Encontrar el valor de (a/b). último:
- 103 -

15. a) 4 b) 12 c) -4
α 18. En el polinomio:
α
__ __ __ __ __
d) 1 e) -3 ( )
P(x) = √3 - √2 x5 - 2√2 x3 - 2√3 x + 12 + 2√6
15. El siguiente esquema representa la división por __ __
el método Horner: (
Calcular P √3 + √2 )
1 3 a 1 b c a) -6 b) -2 c) 6
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m g d d) 2 e) 3
2 e f 19. En la siguiente división: calcular m + n + p
g h
8x5 - 4x3 + mx2 + nx + p
n -2 p 4 -3 –––––––––––––––––––––––––
2x3 + x2 + 3
determinar (m + p) si el resto es igual a: 5x2 -3x + 7
a) -4
d) 0
b) 4
e) 3
c) 12
p a) 27
ot
.c
om
d) 85
b) 40
e) Ninguna
c) 35
α
16. Hallar el valor de E = n - m, si la división:
gs
20. Determinar a2 + b2 para que la división:
lo
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.b
12x4 + 29x3 - 5mx2 - 49x + n 6x4 + 4x3 - 5x2 - 10x + a
F1
–––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––
D
4x2 + 7x - m 3x2 + 2x + b
SP
O
es exacta. sea exacta
R
IB
.L
a) 5 b) 32 c) -27 a) 625 b) 25 c) 650
w
w
w
d) 37 e) 27 d) 620 e) 600
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17. Hallar el resto de la división: CLAVE DE RESPUESTAS
x4 - (a + 2)x3 + ax2 + x + a2 + a 1) A 2) B 3) A 4) C 5) E
––––––––––––––––––––––––––––
x-a-1
6) B 7) A 8) A 9) A 10) D
a) 1 b) 0 c) -1
11) C 12) E 13) E 14) C 15) B
d) 4 e) Ninguna
16) E 17) B 18) C 19) A 20) C
- 104 -