Este documento describe los ángulos trigonométricos y sus propiedades. Define un ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. Explica que los ángulos trigonométricos pueden ser positivos o negativos dependiendo de si la rotación es antihoraria o horaria, respectivamente. Además, presenta varios ejercicios resueltos para practicar el cálculo de ángulos trigonométricos.

1. I.E 10214- LA RAMADA MATEMÁTICA – 4º Secundaria
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es aquel ángulo que se genera por la rotación
de un rayo alrededor de un punto fijo llamado
vértice u origen desde una posición inicial hasta
otra posición final, debiendo considerar que
esta rotación se efectúa en un mismo plano.
Por lo tanto debemos considerar dos tipos de
rotación:
Sentido Antihorario
Lado Final
2. MAGNITUD DE UN ÁNGULO
Los ángulos trigonométricos son ilimitados
 a diferencia de la geometría.
Lado Inicial
O
Vértice
O
Sentido Horario
Vértice O
Lado Inicial

Medida del ángulo trigonométrico  < -; + >
Lado Final
NOTA:
 Si el ángulo tiene rotación antihoraria la Ejercicios Resueltos
medida del ángulo será positivo.
 es positivo 1. De la figura, calcular el valor de “x”
 Si el ángulo tiene rotación horaria la
medida del ángulo será negativo.
( 50 – 3x)º (x + 30 )º
 es negativo
Solución:
1. ÁNGULO DE UNA VUELTA El ángulo (50 – 3x)º tiene sentido negativo:
 x + 30º – (50 – 3x) = 180º
Se genera por la rotación completa del rayo, x + 30º – 50º + 3x = 180º
es decir su lado final coincide con su lado 4x – 20º = 180º
inicial por primera vez. 4x = 200º
 x = 50º
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruíz

2. I.E 10214- LA RAMADA MATEMÁTICA – 4º Secundaria
2. Del gráfico determine x.
2. De la figura, hallar “x” en términos de ,  y 
a) 10º
b) 15º
10º - x
c) 25º

 d) 30º
x + 50º
 x e) 35º
Solución:
Los ángulos:  y  tiene sentido de rotación
horario, entonces tiene signo negativo: 3. Calcular “x”
Luego:
x –  +  –  + 90º = 360º a) -50
x = 360º +  –  +  – 90º b) -100
 x =  –  +  + 270º c) -200
d) -180 ( x + 40)º (20 – x )º
3. De la figura, indicar qué relación existe entre e) -90
,  y 



4. Hallar “x”
Solución:
Del gráfico observamos que:
–x
 es ( + )
 es ( – ) x 
 es ( – )
  
Entonces: a) 90º  b) 90º  c) 1 80º 
2 2 2
 -  -  = 2 vueltas
 
360º d) 1 80º  e) 270º 
2 2
  -  -  = 720º
Práctica dirigida Nº 01
5. Del gráfico hallar “x”
a) 15º
1. Señale la relación correcta entre  y . b) 35º
c) 55º
a)  +  = 90º d) 30º
30º – x x + 10º
b)  -  = 90º e) 60º
c)  +  = -90º 
d)  +  = 0

e)  -  = 90º
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3. I.E 10214- LA RAMADA MATEMÁTICA – 4º Secundaria
6. De acuerdo al gráfico señale lo correcto:
Tarea Nº 01
a)  +  = 180º

b)  –  = 180º
1. Del gráfico hallar “x”
c)  –  = 180º
a) 10º d)  +  = –180º
50º – 2x e)  +  = 90º
b) 30º 
c) 40º
d) 50º 10º + x 20º + x 7. Del gráfico, calcular el valor “x”, siendo:
e) 60º 180º = 
a) 2 +  
2. Del gráfico hallar “x”; si OC es bisectriz. b) 
A c) –2 – 
a) 2 d)  +  x
b) 4 e)  – 
c) 6 (5x–3)º C
d) 12 O (9–6x)º
e) 18 8. De la figura expresar x en términos de  y
B .
a)  –  – 360º
3. Hallar la relación entre: ,  y  
b)  +  – 360º
a)  –  +  = 90º c) –  +  + 360º
d) –  –  + 360º  x
b)  +  –  = 90º
e)  –  – 720º
c)  –  +  = –90º
 
d)  –  – = 90º 
2
  
e) –– = 90º 9. A que es igual  +  +  a partir del gráfico
2 2
adjunto:
a) –450º 
b) –360º
4. Señale la relación correcta: c) –720º 
d) 360º
a)  –  = –90º e) 0º
b)  +  = 90º 
c)  +  = –90º
d)  –  = 90º

e)  +  = 180º 
10. De acuerdo al gráfico indicar una relación
entre  y .
5. Señale lo correcto:
a)  –  = 180º
a)  –  +  = 90º b) 2 –  = 270º
b)  –  +  = 270º c) 2 –  = 90º
 
d)  + 2 = 90º
c)  –  –  = 270º 
e)  – 2 = 90º
d)  –  +  = 270º 

e)  +  +  = 270º
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4. I.E 10214- LA RAMADA MATEMÁTICA – 4º Secundaria
6. Calcular el valor de x:
Tarea Nº 02
a) 25º
1. Hallar “x”: b) 24º 5x
c) 22º 3x
a) –10º d) 21º
b) –20º e) 20º –7x
c) –30º
d) –40º 7x – 35º 25º + x
e) –50º
7. Hallar “x”
2. Del gráfico señale lo correcto: a) 10º
b) 30º
a)  +  = 90º c) –30º
b)  +  = 180º d) 15º 30º– 6x 3x+ 30º
c)  –  = 90º e) –10º
d)  –  = 180º
e)  +  = -90º 

8. Hallar “x”
3. Del siguiente gráfico hallar “x”
a) 90º –  – 
a) 31º b) 90º –  + 

b) 51º c) 180º +  – 
c) 62º d) 180º +  +  x 
d) 60º (9 – 2x)º (x + 3)º e) 180º –  + 
e) 61º
4. Hallar el valor de “x” 9. Del gráfico determine “x”
a) 10º a) 10º
b) 20º b) 15º
c) 30º c) 25º
d) 40º 50º – 4x 2x – 10º d) 35º –x 40º
e) 50º e) 45º
x
5. Del gráfico hallar la relación entre  y .
10. Del gráfico hallar “x”
a)  +  = –120º
b)  –  = 120º a) 18º
c)  –  = 120º b) 22º 15º– x
d)  +  = 120º c) 26º
60º d) 30º
e)  +  = 60º
e) 34º 20º + 3x 5º + x
 
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