Este documento presenta un índice de 13 temas sobre álgebra de 3er año de secundaria. Los temas incluyen teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales, polinomios, productos y cocientes notables, factorización, fracciones algebraicas, teoría de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, valor absoluto y logaritmos. El primer tema explica conceptos sobre exponentes como potenciación, leyes de exponentes, exponentes negativos y fraccionarios, y ecuaciones exponenciales.

1. Índice
ÁLGEBRA – 3 er AÑO DE SECUNDARIA
Pág.
T E M A 1 Teoria de exponentes – Ecuaciones Exponenciales....................................... 2
T E M A 2 Polinomios................................................................................................ 12
T E M A 3 Productos Notables................................................................................... 21
T E M A 4 División Algebraica.................................................................................... 26
T E M A 5 Cocientes Notables.................................................................................... 31
T E M A 6 Factorización............................................................................................ 35
T E M A 7 Fracciones Algebraicas.............................................................................. 44
T E M A 8 Teoría de Ecuaciones................................................................................ 51
T E M A 9 Sistema de Ecuaciones............................................................................. 59
T E M A 1 0 Inecuaciones............................................................................................ 69
T E M A 1 1 Valor Absoluto.......................................................................................... 79
T E M A 1 2 Logaritmos............................................................................................... 83
T E M A 1 3 Relaciones y Funciones.............................................................................. 88

2. Álgebra  I.E.P. Corpus Christi
T EMA Nº 01: T EORÍA DE E XPONENTES - ECUACIONES EXPONENCIALES
Capacidades:
 Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso
a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.
 Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.
 Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación
exponencial.
Desarrollo del Tema:
CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos,
mediante leyes.
La operación que da origen al exponente es la potenciación.
POTENCIACIÓN: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.
Representación:
An = A x A x A x . . . . . . . x A
. ↑
Base
  .

"n " veces

Ejemplos:
3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
1.  
 
4 veces
2 6 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
2.  
 
6 veces
nn = n x n x n x n . . . . . . . x n
3. 

n veces

5
1 1 1 1 1 1
  = x x x x 
4. 2  2  
   2  2   2   2

5 veces
5.
( 3) 7
= 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3
  
 
7 veces
LEYES FUNDAMENTALES
1. Producto de Potencias de Igual Base
. xa . xb = xa+b .
Ejemplos:
1. 23 . 24 = 23+4 = 27

3. Ecuación Segundo Año
2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
2. Cociente de Potencias de Igual Base
xa
. = x a −b . x≠0
xb
Ejemplos:
28
1. = 28–4 = 24
24
2 −6
2. = 2–6–(–5) = 2–1
2 −5
3. Producto de Potencias de Diferente Base
. xa . ya = (x . y)a .
Ejemplos:
1. 23 . 43 = (2 . 4)3
2. 3 . 6 = (3 . 5)
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
a
xa  x 
. a = 
y . y≠0
y  
Ejemplos:
3
43  4 
1. = 
23  3 
3
83  8 
2. = 
23  2 
5. Potencia de Potencia
. (( x ) )
a b
c
= x a .b .c .
OBSERVACIÓN:
.
(X ) = (X ) = X
A B B A A B
6. Exponente Negativo
−a a
1 x  y 
. x
−a
= a . . 
y

 =  . x≠0 y≠0
x   x 
Ejemplos:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
3

4. Álgebra  I.E.P. Corpus Christi
1
1. 2 −1 =
2
−2 2
2 3 32
2.   =   = 2
3 2 2
7. Exponente Nulo o Cero
. x0 = 1 . x≠0
Ejemplos:
1. [3xy ] 0 =1
0
  3y 
2. 2x +   = 1
  5 
8. Exponente Fraccionario
a
. xb =b xa . b≠0
Ejemplos:
2
1. x 3 = 3 x 2
5
2. x 3 = 3 x 5
9. Producto de Radicales Homogéneos
. a
x .a y =a x .y .
Ejemplos:
1. 3
4 . 3 5 = 3 4 . 5 = 3 20
1 55 5 1 5 55
2. 5 . = . =
2 3 2 3 6
10. Potencia de un Radical
. [x ]
a b
c
= a x b .c .
11. Raíz de Raíz
a .b .c
. a b c
x = x .
OBSERVACIÓN:
a b
x =bax
Ejemplos:

5. Ecuación Segundo Año
1. 3 4
x = 24 x
2. 4 3
10 = 3 4 10 = 12 10
12. Casos Especiales
1. . n A m n A m n A m . . . . . . ∞ rad . = n −1 A M .
2. . n B ÷ n B ÷ n B ÷ . . . . . . ∞ rad = n +1 B .
. ∞
. .
aa .
3. . aa .
a
a =a
4. n (n + 1) + n (n + 1) + n (n + 1) . . . . . . ∞ rad . = n + 1
5. n (n + 1) − n (n + 1) − n (n + 1) − . . . . . . ∞ rad = n
∞
. .
6.
x xx
. .
=n
⇒ x=nn
. ∞
. .
a .
7. ba b
a
b =b
2n n −1
8. x x x...... x = x2
ECUACIONES EXPONENCIALES
Definición: Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán
aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.
1. Bases Iguales
Si: Nx = Ny → x = y
OBSERVACIÓN:
.N > 0. ∧ .N ≠ 1.
Ejemplo:
Resolver: 9x – 1 = 27x – 2
Buscamos bases iguales: 32x – 2 = 3x – 6
Luego: 2x – 2 = 3x – 6 ⇒ 4 = x
2. Formas Análogas
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
5

6. Álgebra  I.E.P. Corpus Christi
Si: .MM = MN. → .M = N.
OBSERVACIÓN:
1 1
M≠
2
∧ M≠
4
Ejemplo:
5
1. Resolver: x 5x = 36 3
Resolución
Buscando formas análogas:
(x ) 5 x
5
= 62 ( ) 3
⇒ (x 5 )
x5
= 66
x5 =6
∴ x =56
Nota: Si: a1(x) = b1(x) ⇒ f(x) = 0
2. Resolver: 3x–7 = 5x–7
Resolución
x–7=0 ∴ x=7
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Reducir: 5. Simplificar:
ab 2x 2y
  3 x −y
+ 6.3 x −y
 aaaa . . .
. . . .a  E =
 

bbbb . . . . . . .b 
 "b " factores   x −y
   3x + y
 "a " factores 
1
2. Calcular el valor de: 6. Si: ( a ) 2 = 3 ; a = R+, reducir:
−4
1210 185  1  1
5 . 3 a + 7 . a a + (3 a )
2
E= 5 6  
8 54  0,5 
42 + 10 . 3a + 2a 2
3. Simplificar:
7. Si: xx = 2; hallar el valor de:
2n m mn + 2
15 . 3 . 3 4
1+x 1 +x
m −2n
3 2m + 1 m
.5 . 3 4 mn −2 A = x 2x
8. Si: 5x = 0,125; calcular::
x
64
4. Simplificar:
2 +2 2 +2
9a + 32a
M = a2 2 +1 9. Si se cumple: a = 5 3 5 3 . . . . . . . ∞
90 a
, b = 3 5 3 5 . . . . . . .∞
Hallar el valor que toma: ab

7. Ecuación Segundo Año
18. Si:
10. Si: A = 5 −1 + 2 −1 + 3 −1 ; 5 3
−1 23 3n
 30   − 35   − n3 
N =  ; calcular A + N    
 19  A =  22  −  33 
   
   
11. Reducir:
( )
14
B =   ( 2 2 ) 
2.2. 2 + 2.2.2 + 2.2.2  2 4 6
 .  2 
2        ;  
6 veces 6 veces 6 veces  
1
12. Reducir:
 7 x − 7 x+ 2 + 7 x+ 4 
0,5
Calcular el valor de: Bn
E = x
 7 − 7 x −2 + 7 x −4 
 7
  − 22 ( A)
donde: N = 1x2x3x4x5x6x7
13. La edad de José es el cuádruplo de
la edad de Carlos. Si Carlos tiene 19. Si tenemos la expresión S definida
2 −2 como:

  4 4 − 0, 5  
3 64
 ( 2 )

en años
 
. 2 x + 2 x + 1 + 2 x + 2 +  + 2 x + 10
   S=
  2 x − 10 + 2 x − 9 + 2 x − 8 +  + 2 x
Entonces dentro de 2 años dichas S
edades sumaran Calcular:
32
14. Reducir:
  (2n+3)veces 
 
  x 5 x + 5 x + 1 + 5 x + 2 
 
 x 3n + 6  x.x.x  x  1  20. Si P ( x) =  ,
   n + 2  x
  .x 
x.x x 
   
x6  x 

5
 (4n - 2 )veces   calcular: P(10)
3 n + 3 − 3 n +1 21. Si: x x = 2 , calcular el valor de:
15. Si : E = , 1+ x
3.3 n −1 E = x x+2 x
2 n + 90 + 2 n + 91
P = n + 91 entonces P.E 22. Simplificar:
2 + 2 n + 92
es: 37 x + 4 + 37 x +3 + 37 x + 2 + 37 x +1 + 37 x
37 x − 4 + 37 x −3 + 37 x − 2 + 37 x −1 + 37 x
16. Proporcionar el exponente final de 5.2 x + 2 − 2 x + 4 + 6.2 x −1
x11 en la expresión: 23. Simplificar:
2 x +5 − 15.2 x − 2.2 x + 3
E = ( x 1 ) .( x 2 ) .( x 3 )  ( x 10 ) ; x ≠ 0;1
4 5 6 13
17. Si: k 5 = 3 5 − k 3 ; el valor de  24.14 3.15 6 
10
5 24. Efectuar: E = 2 3 4
 30 .35 .6 

M = 3 x3 x3 x es
  3 x3 k   
( )
k 3 + 1 factores
25. Si: x x = 2 , calcular el valor de:
xx +1 x
x 2x + x x x + 1 − x +  x x x 
  −
 xx −1
x 
   
   
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
7

8. Álgebra  I.E.P. Corpus Christi
26. Si: x x = 5 , reducir : 2− x
38. A partir de: x −2 = 2 0 . Calcular
(x ) + x
5 x +x x
el valor de: M = (x x + −x x )
xx
( x + 1)
x +4
27. Calcular “x” , Si: 39. Calcular “x – y ”
... 2 x −3y = 16
2+x 2+x2+x si: x −y
x2+x =3 3 3 = 81
28. Si se cumple que: 40. Resolver:
xx
2 .4 x x +1
.8 x x +2
= (2.4 .8 x
)
x 4
−
2
x x
=3 9
6
29. Calcular “x” en: xx = 3 2; e 41. Resolver:
indique: x 12 −x −2
−1
25 −8 = 0,2
x x +2
30. Resolver: 240 + 9 =9 y dar
como respuesta el valor de ( 4x ) 42. Resolver:
x
x +7 x +2
33 = 27 9
31. Resolver :
43.Calcular “x”
59 + 5x
(x )
x
3 =5 si: 39
33 9
5 x + 53 =x9
32. Resolver: 44.Calcular ”x”
5 x +1 + 5 x +2 + 5 x +3 = 3875 −x − 4 −2
−1
si: 8 −27
16 =4
33. Resolver:
x +6 x +1
22 = 48 45.Resolver:
2x −1
1
34. Resolver:
81 2 = − ( x +1 )
3
x 0, 5 1
x =
2 46.Resolver:
x x = 27.( 27 ) 8
x
35. Resolver:
−x −1 47.Calcular el valor numérico:
25 8 =5
R = 3 4 2.3 4 2 ∞
36. Resolver:
2
xx −x
= 42 48. Calcular “x”, si:
∞
37. Calcular “x” 9−x 9 − x 1 1 1
x +1 8x −1
x = . . 
si: 22 =4 x x x
∞
x x
49. Calcular el valor de “x” en: xx
3 = 27

9. Ecuación Segundo Año
T AREA D OMICILIARIA
1. Simplificar: − x +3 8x −3
 2 5 2
− 0,2 27 9 = 327
( − 27 ) 3 + ( − 27 ) 3 + 81 
− −
 
−
1 10. Reducir:
  1  −1
 −
1
 2
1
 1  1  − 2  −3 −1  −16 2 
  
   1 
+ +
1   3  x ( 18) x ( 12) y  2  x −y  x + y
 .  
 2  4   125   81   
    2 
 6x + y 3  
  
x
2. Hallar el valor de: 11. Si: x x = 3 ; hallar el valor de:
(− 81 ) −2 −1
−1
( − 243 ) − 0 , 2 −1
S =xx
x + 2x x
+ (x x )
x x −1
+1
− 3 −1
 16 − 4 −2 −1   1  
 16
  − 
  27 

    12. Calcular “x”a partir de:

xn  2
 −n
x = 0
41+ x −  x Dando como
3. Si: x, y ∈ Z+, tal que: y- x ≥ 2; 2

hallar el valor más simple de: respuesta el valor de: x x
A) –8 B) 16 C) 1 D) –27 E) –9
y −x
x x +y . y y + y x +y . x x 13. Resolver la exponencial:
x 2 y . y x + y 2x . x y − x +3 8x −3
27 9 = 327
4. Simplificar:
−1
14. Si: x∈ R+ - {1}; halle el valor de
 −1  “n” que verifica la igualdad:
x x x −1 x x −1 
 
  1
x x
3 x
n Y coloque
x = 1
3 4  
5. Calcular “x” a partir de: x x
x 3−x
2 + 22−x + 21 −x + 2 x = 112,5 como respuesta el valor de (n + 3)
+7
6. Hallar el valor de:
2 A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 1
 
 ( 0,5) −0,5 ( 0,25) −0, 25
− 3 −1 0,5 0,5
81−0, 25 − 64  1
−  15. Hallar “x” en: x =
x 3
− 2 −1 − 0 , 50 3 −1 2
25 − 36  1, 5
0,125 −0,125  12
  1 3
4 3
4 3
2 1
A) B) C) D) E)
4
3 2 4 4 2
7. Simplificar:
−1
−
1  16.Simplificar:
 1   1  1  1  
−      . . . . . . .    n 
 1   1  1   1   n   n  n  n 
−       . . . . . . .   
1  n   n  n  n  "n " veces
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 n +3
 

"n " veces
3
n 
....... 3
A) nn B) n C) n2 D) nn–1 E) n–n " n " r a d i c a le s
a) 3 b) 9 c) 27
8. Efectuar: d) 3 e) 3
3
b c +1 c 1 +c
a b . a b . a 1 +b
17. Hallar el valor de "θ" , si el
exponente final de "x" en :
9. Resolver la exponencial:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
9

10. Álgebra  I.E.P. Corpus Christi
1
xα xβ xθ xx = 9
3 5
es la unidad. Además: 24. Hallar "x", de : 3 .
θ
3α + β =
5 a) 3−1 b) 3−2 c) 3−3
a) 10 b) 15 c) 20 d) 3 −6
e) 3 −9
d) 25 e) 30
25.18. Resolver :
18.Hallar el exponente final de:
x −1 3 x x
− x 1 3
1
x x x ...... x x =

  x 37
− x x x
1 00 rad icales a) 25 b) 20 c) 13
399 2 99 21 00 − 1 d) 50 e) 1
a) 390 − 1 b) 2 99 − 1 c) 21 00
21 00 − 1 31 00 + 1 26.Resolver :
5
d) +1 e)
1 00
2 31 00 x
2 . x
x = 25
11. Hallar "x”:
2 3 4
a) b) 2 c)
5 5 5
5 5
x +1 2 x −1 3x − 2
x
4 .8 =2 .1 6 d)
5
5 e) 5
a) 1/3 b) 2/3 c) 4/5
d) 5/3 e) 4/3 x 1
x7 = 77
2x 2x 27. Resolver : 7
19. Al resolver: 1 6
3
= 84 1
1 ( ) 1
p ( )7
a) 7 b) 7 c) 7
Se obtiene la fracción irreductible : q . 1
( )7
Indique: p + q. d) 7 e)
7
7
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6 28.Resolver :
34 − x . 96 + x . 27 1 0 − x = 81 4 + x
20.Resolver : a) 4 b) 5 c) 6
2 − 3x 3
5
x
d) 7 e) 8
4x =
5
29.Resolver :
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4 32 x 2x
81 = 27 4
a) 2 b) 4 c) 1/2
21. Resolver :
d) 1/4 e) 8
9 x + 2 = 32 x + 240
a) 2 b) 3 c) 0,5 30.Resolver:
d) e) 6 2 −2x 7
x
4x =
7
x
2
22. Calcular "x", si: 3 =9
a) -3 b) 4 c) 2 a) 0 b) 1 c) 2
1 1 d) 3 e) 4
d) 2 e) 4
31.Resolver:
x =6 4 x +1 = 48 − 2 2 x + 3
x 72
23. Resolver: ; e indicar :
x a) 1 b) 2 c) 3
E = x +
4 d) 4 e) 5
a) 12 b) 15 c) 10
d) 9 e) 18 32. Calcular el valor numérico de:

11. Ecuación Segundo Año
a 6b −3
E = 32 32 : 32 32 : 32 32 ∞ Q =
a 6b
33.Calcular el valor reducido de la a 6b
expresión siguiente: 
Q = 3 x 2 x .3 x 2 . x  ∞ ∞
43. Calcular el valor de “T”:
34. Calcular el valor de R:
∞
R = x : x : x ∞
m n m n m n 4
4
4
35. Calcular el valor de “Q”:
T =
∞
∞ ∞ 38
2 3
3 38
2 3
3 38
Q = 2 . 3
3
36. Calcular ”x” 44. Calcular el valor de “x” en:
∞ ∞
( x − 2) ( x − 2 )
=5 x x
xx =4
37. Calcular el valor de R:
45. Calcular “R”:
R = 3 15.3 15.3 15  ∞
R = 3 24 + 3 24 + 3 24  ∞
38. Simplificar:
n 3 −1 n 3 −1 46. Calcular el valor de “R”:
an . an ∞
R = x 3 . x 3 . x 3 + ∞
n
a n 3 +1
: a
n n 3 +1
: ∞ R =
(x 2
−x)+ (x 2
−x)+ (x 2
− x ) ∞
39. Calcular el valor de W , en: 47. Calcular el valor de “R”:
W = x − x − x − x − x − x − ∞
4 2 4 2 4 2
(x + x ) + (x
2 2
+x)+ (x 2
+ x ) + ∞
R =
40. Calcular el valor de R , en: (x − x ) − (x
2 2
− x ) − (x 2
− x )∞
R = a 2 + a + a 2 + a + a 2 + a + ∞ 48. Resolver:
3x −1 + 3x −2 + 3x −3 = 39
41. Calcular el valor numérico de:
∞ 49. Calcular el valor de “x”, en:
4 4 5 2x + 125 = 6(5 x +1 )
4
44 4 . 3 3 3 ∞
Q = 50. Calcular la suma de los valores de
1 +  2 + 2 + 2 + ∞ 
  “x”, en: 9 x + 81 = 10(3x +1 )
 
51. Resolver:
42. Simplificar:
( 2x + 1)
( 2x +1 ) −2
= 2 −2
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
11

12. Álgebra  I.E.P. Corpus Christi

13. Polinomios Tercer Año
TEMA Nº 02 : POLINOMIOS
Capacidades:
 Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios.
 Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa.
 Resuelve problemas con polinomios.
Desarrollo del Tema:
NOTACIÓN FUNCIONAL
Se utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par ello emplearemos letras como P, F, G,..., etc.
Ejemplo:
P(x) → se lee P de x: x → variable
F(x;y) → se lee F de xy: x, y → variable
x, y, z → variables
a, b, c → constantes
OBSERVACIÓN:
- SE DENOMINAN VARIABLES A LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES DE VALOR
FIJO. PARA ELLO SE UTILIZAN LAS ÚLTIMAS LETRAS DEL ALFABETO (Z, Y, X, ..., ETC.).
- SE DENOMINAN CONSTANTES A LO SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES DE VALOR
FIJO. PARA ELLO SE UTILIZA GENERALMENTE EL NUMERAL. TAMBIÉN SE UTILIZAN FRASES
DENOMINADAS PARÁMETROS, EN ESTE CASO EMPLEAREMOS LAS PRIMERAS LETRAS DEL
ALFABETO (a, b, c,..., etc.).
VALOR NUMÉRICO
Es el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por valores determinados.
Ejemplos:
1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z
Para x = 3; y = 2; z = 5
Resolución:
V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32
2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20
Resolución:
P (3,2) es el V.N. de P(x,y)
Para x = 3; y = 2

14. P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El grado es una característica de las expresiones algebraicas, relacionado con los exponentes, que en una
ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita.
El grado es absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables.
Grado en un Monomio
1. Grado Absoluto (G.A.)
Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.
2. Grado Relativo (G.R.)
El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplo: F(x,y) = a4x5y8
G.R.(x) = 5 G.R.(y) = 8
G.A.(F) = 8 + 5 = 13
Grado en un Polinomio
1. Grado Absoluto
Está dado por el mayor grado de sus términos.
2. Grado Relativo
El grado relativo de una variable es el mayor exponente de dicha variable.
Ejemplo: P(x,y) = 6x8y – 3x7y3 + 2xy5
G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5
G.A.(P) = 10
3. Cálculo de Grados en Operaciones
1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
Ejemplo: Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
tal que: a > b
⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a
2. En la multiplicación los grados se suman

15. Polinomios Tercer Año
Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)
Resolución:
⇒ Grado: 6 + 9 = 15
3. En la división los grados se restan
xy 8 − x 3 y 3 + x 7
Ejemplo:
x 4z − y 3 + x 3y 3
Resolución:
⇒ Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente
Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10
Resolución:
⇒ Grado: 9 . 10 = 90
5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.
Ejemplo: 3 xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12
Resolución.
12
⇒ Grado 3 = 4
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomios Homogéneos
Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.
Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2
Es un homogéneo de grado 5.
2. Polinomios Ordenados
Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si los exponentes de dicha variable
están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente.
Ejemplo: x4y7 – x8y10 + x5y24
Está ordenado ascendentemente con respecto a y.
3. Polinomios Completos

16. Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los elementos de dicha
variable desde el mayor hasta el cero inclusive.
Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8
Es completo con respecto a x.
Propiedad:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno. Es decir:
Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
Como es completo:
Número de términos = 6
4. Polinomios Idénticos
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus
variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5y
a = 8; b = –5, c = 2
5. Polinomios Idénticamente Nulos
Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se cumple que cada
coeficiente es igual a cero.
Ejemplo: ax + by + cz = 0
a = 0; b = 0; c = 0
6. Polinomios Mónico
Es aquel cuyo coeficiente principal es 1
Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1
Es mónico porque el coeficiente de x2 es igual a 1
PROBLEMAS PARA LA CLASE

17. Polinomios Tercer Año
1. La siguiente expresión se puede
P( x,y ) = 4 x m + n − 2 y m −3 + 7 m+ n +5 y m− 4 +
reducir a un monomio,
proporcionar su valor reducido
+ 2 x m + n −6 y m + 2
8. Siendo:
M = ( a − b ) a +b x 4 + b 2 + a ( ) a −b
x 2 − ab 3 x
P(x) = 45x5 – 2xp + 1 – xq–2 + 3x2 + x +
1
2. Clasificar la siguiente expresión:
Un polinomio ordenado y completo,
( ) ( )
x x +1 x x −1
 a 2b   ab 2 
x    2  hallar el número de términos del
(
 ab
2
) x

 (
a b ) x

 polinomio:
S(x) = xp+q–1 + 2xp+q–2 + ... + 3x + 2
3. Que valor como mínimo debe tener Si este es completo y ordenado.
“n” para que la expresión sea
fraccionaria 9. De qué grado es E si el en el
numerador hay 109 términos:
x x −1 x −1 x −1 x −n
x 4n +2 + x 4n +1 + x 4n + ... + x 2 + x + 1
E =
x 2n +2 + x 2n +1 + ... + x + 1
4. Hallar el valor numérico (V.N.) de:
x2 y 10. Reducir: P(x) si se sabe que es
6
y2
homogéneo
Para: x = 0,125; Y = 0,0001 P(x)= [(ab)2x2]
ab
+ + bx
a+b
(x-b + 2ab–1xb–a) +
abc
x
5. Si el grado de P es “m” y el grado de Q
es “n” (m>n). Hallar el grado de:
11. Calcular el valor de (B – A) para que los
R =
(P + PQ ) siguientes polinomios sean
2Q
equivalentes:
P = A(x+1)2 + B(x–2) + 2
6. Dado el monomio:
Q = (x–2)(x+1) + (x+3)(x+2)
n x m −1
y 20
H ( x , y ) = 2m 3n
xy
12. Si el polinomio:
Si: G.R.x(H) = 2 y G.R. y(H) = 4; (x2+x+1) (a–b) + (x2+x+2) (b–c) +
hallar el grado de: 2
(x +x+3) (c–a)
n m n
F(x,y,z) = mnx + mxy + z –4 b +c
Es nulo, Hallar E =
a
7. Si la diferencia entre los grados
relativos de “x” e “y” es 5, además
el menor exponente de “x” es 3.
hallar el grado absoluto del
13. Indicar el coeficiente del monomio:
polinomio:

18. Si:
M ( x ) = 2 n.x 5 .7 ( 3x ) .3 ( nx )
2n n 19.
Si
su grado es 2n n ∈ Z ( +
) f ( a 2 + b) =
ab
, a > b > 0, a; b ∈ Z + ;
A) 18 B) 24 C) 12 a+b
D) 28 E) 16
Calcular: f ( 5) + f (10 )
14. Dada la expresión: A)
2
B)
13
C)
3
3 12 4
17 12
D) 12 E) 17
 1 
f  x 3 + 2  = x 5 − 7 x 2 + 5 ; calcular f ( 7 )
 x  20. Calcular la suma de los coeficientes
A) 7 B)4 C) 0 menos el termino independiente de
D)1 E) -3
P( x ) . Si
15. calcular la suma de los coeficientes
P( ax − b ) = ( ax − b ) + 2ax − 2b + 9 + b 2
2
menos el termino independiente del
A) 5 B)3 C)
polinomio P( x ) , si:
b + 5 D) b 2 − 5
2
E) b 2
P( x − 1) = x 3 + 3 x − 3 x 2 − 2
A) 1 B)4 C) 2 21. Si el polinomio se reduce a un
D)3 E) -2
monomio, calcular P( − 1;2 )
16. Dado el polinomio:
3
P( x 2
) = ( x − 1) ( x
2n 2
+ 2 x + 1) ; evaluar
n
P ( x; y ) = 7 x n −4
y b + 5 x a y 6 −n
A) 24 B) -24
(
P n 2 +1 ;n ≠ 1) C) 0 D) 48 E)
-48
A) 1 B)2 C) 4
( )
2
D) 2 n − 1 E)
P( x ) = ( x − 1) x 2 − 2 x + 1 ;
n
2 22. Sea:
3
17. Sea P(x)un polinomio definido en Z, tal calcular:
que: P(1).P( 2 ).P ( 3)  P( n ) = 2 .n! ;
n
( ) ( )
P ( 2 ) + P 5 2 + 1 + P 5 3 + 1 +  + P 5 20 + 1 ( )
Observación: n! = 1.2.3...( n − 1) n A) 16 B) 32 C) 150
D) 210 E) 2000
Calcular P( 2004 )
A) 2004 B) 1002 C) 23. Si al polinomio:
4008 D) 2005 E) 2004
P( x; y ) = nx m y p + mx m − a y p −1 + x n − 8 le
18. Cierto material se dilata según la regla
restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto
P( x − 1) = ( x − 1)
2
polinomial. + 2x − 2 ;
disminuye ¿Cuánto vale el menor de los
donde x es numéricamente igual a la
grados relativos?
variación de la temperatura en ºC.
A) 3 B) -1 C) 0
¿Cuánto se dilatara ante una variación D) 4 E) 2
de 21ºC?
 x
24. Sea: P  = x − 125 x + 3x + 2 ;
20 17
A) 440u B) 481u C) 0u
 5
D) 438u E) 210u
Calcular P(1)

19. Polinomios Tercer Año
A) 17 B) 20 C) 30 D) P ( x ) + 1 E) P ( x ) + 3
D) 50 E) 80
P ( 3 x ) = 6 x + 1; Q x  = P( x )
25. Si: P ( x ) = x n −1 + 2 x n −2 + 1 ; esa un 28. Si:   ; calcule Q( x )
2
polinomio cuadrático. Calcular P (11n 2 ) A)2X + 1 B)4X + 1 C)3X +
A)1 B)10 C)100 x
1 D)6X + 1 E) +1
D)1000 E) 10000 2
26. Si: P ( x ) = ( a − 1) x 2 + ( b − 2 ) x + a + b es 29. P ( 2 x − 1) = ( x + 1) − ( x − 1) ; P( Q( x ) ) ;
2 2
lineal y mónico. Calcular P ( 0 )
Calcular Q( P( x ) )
A)-1 B)2 C)3
D)4 E) 5 A)4X + 2 B)4X - 2 C)4X +
3 D)4X - 1 E) 4X
27. Sea: P ( x ) = 2 x + 1 ; calcule P ( x + 1) solo en
términos de P ( x ) 30. Si: P ( 2 x + 1) = 6 x; Q( x −1) = P( x ) ; calcule Q( x )
A) P ( x ) − 1 B) P ( x ) + 2 C) A)3X – 3 B)6X - 6 C)3X
D)3X - 2 E) 3X + 3
P( x) − 2
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Reducir la siguiente expresión si se sabe
que los términos son semejantes 4. Indicar el coeficiente del monomio:
b a x x a +1 + ab 3 x + a b +1 x b x M ( x ) = 2n x 5 7 ( 3x ) 2n 3 ( nx ) n
A) − 113 x B) Cero C) 24x1/3 Si el grado del mismo es “2n” (n ∈ Z+)
D) E) 3 x A) 3 B) 8 C) 12
D) 24 E) 32
− 333 x
5. Si {a, b, c, d} ∈ N y además:
2. Reducir la siguiente expresión
a + cc −3b b +2 a
algebraica si se sabe que es racional P( x ) = x b + xa + x 2 a +31 +
d −2
entera + x6 + ... + abcd
 m −1 
2
Es un polinomio completo y ordenado
 m +1 x +1 +  − ( n + 1) x + 1
 x +1 
  (b>1), señale su término independiente
A) 2x–1 B) x+2 C) 2x–2 A) 36 B) 56 C) 30
D) 2x+2 E) 2x+1 D) 60 E) 120
3. Hallar el valor de “n” si el grado de P y 6. Calcular el grado de Q si se sabe que P
Q es igual a 3 y 4 respectivamente, y se es homogéneo y de 5to. grado.
conoce que el grado de la expresión: P = xm+1 (yn–1 + zm–n)
(P 7
+ Q5 ) 2n
; es igual a 4.
Q = xm+1 (yn+1 + zm+n)
(P5
+ Q4 )n +3
A) 5 B) 6 C) 4
D) 7 E) 8
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

20. 7. Calcular el valor de E, si A y B son A) 2N + 2 B) 2N+1 C) 2N
polinomios equivalentes:
D) 2N - 1 E) N
A = (x2–a)2 + b(x–a) + c
B = (x2+b)2 + c(x+b) + d 14. Si:
n
P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m
m
−1
se
(a + b ) + (c + d )
2 2
E = reduce a un monomio: calcular GA. de:
( ab − cd )
A) 1 B) –1 C) 2
2
M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m
D) –2 E) 0
A) 10 B) 8 C) 6
D) 4 E) 2
8. Si el polinomio:
L(x) = (ab–ac+d2)x4 + (bc–ba+4d)x2 + 15. En el polinomio:
(ca–cb+3) P( x ) = 6ax 5 a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a
Es idénticamente nulo, donde d ≠ –3,
calcular “a”, si se cumple que la suma
1 4 3 de coeficientes es igual a su termino
calcular el valor de: f = − +
a b c independiente incrementado en 76.
A) 0 B) 1 C) 2 A) 1 B)4 C) 2
D) 3 E) 4
D)3 E) 5
9. Calcular la suma de coeficientes del
16. Dada la expresión matemática
polinomio homogéneo:
 x2 −1
n+6 m+7 P
 x −1  = x − 2

2
Q( x , y ) = nx + 3 x y + mx
n m
 
A) 17 B) 16 C) 13
Calcular: P ( 4 ) + P ( 5) +  + P ( 8)
D) 15 E) 14
A) 105 B) 115 C)
120
10. Determine el grado del polinomio
D) 125 E) 135
P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2)( x 3 + 3)....( x 10 + 7 ) 17. Calcular el coeficiente del monomio:
A) 45 B) 36 C)55
n
D)40 E) 28  −1  3 m +2 n 5 m −n ; si su
n
9   x .y
 3 
11. Si: M ( x ) = x m −10 + 5 x m −n +5 + 2 x p −n +6 es
G.A. = 10 y G.R (x) = 7.
completo y ordenado descendentemente, A) 3 B) 5 C) 4
calcular: m + n + p. D) 1 E) 2
A) 38 B) 28 C) 26 18. Sea el polinomio cuadrático; indicar el
D) 25 E) 36
coeficiente del término lineal de dicho
(
12. Si P 3 + 1 = 3
x
) x +1
+ 5 ; Calcular P( 0 ) polinomio.
A) 0 B) - 1 C) 1 P( x ) = ( a − 2 ) x 2 + ( b − 4) x 3 + ( ab − 12 ) x 4 + a b x + 2
D) 2 E) 3
A) 81 B) 36 C) 121
D) 79 E) 78
13. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ?
P( x ) = x 2 n +1 + x 2 n + x 2 n −1 + ... + x 2 + x + 1

21. Polinomios Tercer Año
19. Dada la expresión algebraica:
x2 + y
F ( x; y ) = ; determinar el valor 24. Si: P(x) = x – 1; Q(x) = 2x – 4
y Calcular: R = P[Q(x)] – Q[P(x)]
6
que toma f cuando:
x =2 4 25. Dados los polinomios:
6
P(x–1) = x2 + x + 1
∧ y = 44 Q(x+1) = x2 – 2x + 2
A) 2 B) 0 C) 1 Además: H(x) = P(x+1) + Q(x–1)
6 3
24 22
Calcular: H(3)
D) E)
26. Si: f ( x ) = x.2 ;
x
20. De la expresión : Calcular:
 x + 1  1999 3 f ( x + 1) − 5 f ( x + 2 ) + 2 f ( x + 3)
 = x − 2x + 4
1998
P E=
 x − 1 2x
Calcular el valor de: P ( 3)
P ( −1) A) 16 B) 6 C) 8
D) 10 E) N.A.
A) 256 B) 16 C)
128
D)4 E) 23 27. Si: P( x ) = 2 x + 1 . Calcular P( x +1) , solo en
21. Si el polinomio: términos de P( x )
( ) (
M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y ) A) P(x) – 1 B) P(x) + 1 C) P(x) – 2
es idénticamente nulo, calcula S. D) P(x) + 2 E) P(x) + 3
d2 9b 6a
S = + 2 + 28. Sea: P( x −1) = 4 x + 2 , Calcular P( x + 6 )
b e c
A) 15 B) 16 C) 18 A) 4x + 3 B) 4x + 8
D) 13 E) 9 C) 4x – 8
D) 4x + 10 E) NA.
a+b b+ c a+c
22. Si el trinomio: a
x + x
b
+ x
c
es
29. Si: P ( Q ( x ) + 1) = 4 x; Q( − x +1) = 2 x ; calcule
homogéneo, de grado 10. de que grado
P( x )
es el monomio : a
x b .b x c .c x a
A) 7 B) 13 C) 27 A)-2X + 6 B) -2X + 4 C) -2X +
D) 33 E) 30 2
D) -2X + 1 E) -2X + 3
23. Sabiendo que f ( x ) = x 2
x
x +1
30. Si: P 3 x +1  = 3 + 5 ; Calcular P ( 0 )
2 f ( x +1) − 5 f ( x + 2 ) + 2 f ( x +3 ) 



Calcular
2x A)-1 B)1
A)16 B)6 C)8 C)0
D)10 E) 12 D)2 E) 3