La solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables generalmente se expresa como una serie infinita. Sin embargo, algunas ecuaciones como las de Cauchy-Euler permiten expresar la solución en términos de potencias, seno, coseno y funciones logarítmicas. Estas ecuaciones toman la forma y(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0, donde los grados de los coeficientes coinciden con el orden de diferenciación. Para resolverlas, se sustituye y = x^m y se

2.  La misma facilidad relativa con la que fue posible
encontrar soluciones explicitas de ecuaciones
diferenciales lineales de orden superior con
coeficientes constantes o en general no se consigue con
las ecuaciones lineales con coeficientes variables.

3.  Cuando una ED tiene coeficientes variables, lo mejor
es que se puede esperar normalmente es encontrar una
solución en la forma de una serie infinita pero en este
caso no se hará esto ya que la ED que resolveremos acá
tiene coeficientes variables cuya solución puede
expresarse en términos de potencia de x seno coseno y
funciones logarítmicas. además su método de solución
es bastante similar al de las ecuaciones con
coeficientes constantes.

4.  Es una ecuación lineal de la forma:
 Donde los coeficientes son constantes se le conoce
como una ecuación de cauchy-euler la característica de
este tipo de ecuación es que el grado k=n,n-1.....1,0 de
los coeficientes coincide con el orden ñ de
diferenciación

5. Solución:


6.  si sustituimos es una solución de la ED siempre
que m sea una solución de la ecuación auxiliar por lo
que hay 3 casos distintos por considerar en función de
si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y
distintas reales e iguales o complejas. en el ultimo caso
las raíces aparecen como un par conjugado.