Este documento resume los conceptos clave para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones siempre tienen soluciones exponenciales o formadas a partir de funciones exponenciales. Para ecuaciones de segundo orden, se debe resolver la ecuación auxiliar o característica cuadrática para determinar las raíces que darán las soluciones exponenciales. Estas raíces pueden ser reales distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas, lo que afecta la forma

1. CON COEFICIENTES CONSTANTES

2.  Ecuación auxiliar
 Raíces de una ecuación auxiliar
cuadrática
 Fórmula de Euler
 Formas de la solución general de una
ecuación diferencial Iineal y homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes
 Ecuaciones diferenciales de orden superior
 Raíces da ecuaciones auxiliares de grado
mayor que dos

3. Hemos visto que la ecuación lineal de
primer orden, dy/dx + uy = 0, donde a es
una constante,
tiene la solución exponencial y = C1 e^-ax
en el intervalo (-∞, ∞); por consiguiente,
lo más natural
 es tratar de determinar si
existen soluciones
exponenciales en (- ∞, ∞)
de las ecuaciones lineales
homogéneas de orden
superior del tipo
An-₁ Yⁿ + An-₁ Yⁿ⁻ ¹ + ------------+ A₂ y” + A₁ y’ + A₀ Y = 0,

4.  endonde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n
son constantes reales y An, ≠ 0. Para nuestra
sorpresa, todas las soluciones de la ecuación
(1) son funciones exponenciales o están
formadas a partir de funciones
exponenciales.

5. Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden
ay” + by’ + cy = 0. (2)
Si probamos con una solución de la forma y = eˆmx entonces y’ = me^mx y
y” = m²e^mx, de modo que la ecuación (2) se transforma en:
Am²e^mx + bme^mx+ ce^mx = 0 o sea e^mx(am² + bm + c) = 0.
Como e^mx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que
la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m
tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática
am²+bm+c=0. (3)
Esta ecuación se llama :
ecuacián auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial(2).
Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuación auxiliar que
corresponden a raíces
reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas.

6. CASO 1: Raíces reales distintas CASO II: Raíces reales e iguales
 Cuando m₁ = m₂ llegamos,
 Si la ecuación (3) tiene dos necesariamente, sólo a
raíces reales distintas, m₁ y una solución exponencial,
m₂, llegamos a dos
soluciones, y₁ = e^m₁x y y₁ = e^m₁x. Según la fórmula
cuadrática, m₁ = -b/2a
y₂ = e^m₂x. Estas funciones porque la única forma de
son linealmente que m₁ = m₂ es que
independientes en (-∞, ∞) y,
e consecuencia, forman un b² - 4ac = 0.
conjunto fundamental. solución de la ecuación es
Entonces, la solución
general de la ecuación (2)
en ese intervalo es
y= c₁e^m₁x + c₂e^m₂x.

7. Si m₁y m₂ son complejas, podremos
escribir
m₁=α+iβ y m₂=α- iβ, donde α y β > 0
y son reales, e i² = -1. No hay
diferencia formal entre este caso y
el caso 1;
por ello,
Sin embargo, en la práctica se prefiere
trabajar con funciones reales y no con
exponenciales
complejas. Con este objeto se usa la
formula de Euler:
en que θ es un número real. La
consecuencia de esta fórmula es que (7).

9. Dennis G. Zill
Sexta edicion