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- 1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES FORMACIÓN POR COMPETENCIAS E.D.L. de orden 2 ( Variación de parámetros) Ecuación de Euler
- 2. OBJETIVOS Aplicar el método de variación de parámetros para resolver una E.D.L. de segundo orden. Resolver ecuaciones diferenciales de orden 2 Reconocer la ecuación diferencial de Euler Resolver la ecuación de Euler reduciéndola a una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Aplicar los métodos estudiados a diferentes problemas aplicativos del contexto real
- 4. E.D.L. de segundo orden Sea la E.D.L. normal y no homogénea de orden 𝟐 𝒚′′ + 𝒑 𝒙 𝒚′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) donde 𝒑; 𝒒; 𝒇 ∶ 𝑰 → ℝ son funciones continuas en un intervalo 𝐼 Sabemos que la solución general de (*) se expresa de la forma 𝒚 = 𝒚 𝒉 + 𝒚 𝒑 donde 𝒚 𝒉 es la solución general de la ecuación homogénea asociada y 𝒚 𝒑 es una solución particular. Para hallar 𝒚 𝒑 el método empleado ahora es llamado variación de parámetros ()
- 5. E.D.L. de segundo orden (variación de parámetros) Supongamos una solución particular de la forma 𝒚 𝒑 = 𝒖 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 + 𝒖 𝟐 𝒙 𝒚 𝟐(𝒙) donde los coeficientes 𝒖 𝟏 y 𝒖 𝟐 son funciones por determinar y 𝒚 𝟏 y 𝒚 𝟐 son soluciones de la homogénea asociada, es decir que satisfacen: 𝒚 𝟏 ′′ + 𝒑 𝒙 𝒚 𝟏 ′ + 𝒒 𝒙 𝒚 𝟏 = 𝟎 𝒚 𝟐 ′′ + 𝒑 𝒙 𝒚 𝟐 ′ + 𝒒 𝒙 𝒚 𝟐 = 𝟎 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 ′ + 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 ′ + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 ′ + 𝒖 𝟏 𝒚 𝟏 ′′ + 𝒑𝒚 𝟏 ′ + 𝒒𝒚 𝟏 + ⋯ ⋯ + 𝒖 𝟐 𝒚 𝟐 ′′ + 𝒑𝒚 𝟐 ′ + 𝒒𝒚 𝟐 + 𝒑 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 = 𝒇 Al derivar 𝒚 𝒑 y reemplazar en (*) obtenemos = 𝟎 = 𝟎
- 6. E.D.L. de segundo orden (variación de parámetros) De donde obtenemos 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 ′ + 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 ′ + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 ′ + 𝒑 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 = 𝒇 Esta identidad se cumplirá cuando las funciones 𝒖 𝟏(𝒙) y 𝒖 𝟐(𝒙) de modo que cumplan las ecuaciones: 𝒖 𝟏 ′ 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 = 𝟎 𝒖 𝟏 ′ 𝒙 𝒚 𝟏 ′ 𝒙 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒙 𝒚 𝟐 ′ 𝒙 = 𝒇(𝒙) en el intervalo 𝐼
- 7. E.D.L. de segundo orden (variación de parámetros) Procedimiento de solución 1.- Se hallan la solución general de la E.D.L. homogénea asociada a (*) 𝒚 𝒉 = 𝒄 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒚 𝟐 2.- Se halla una solución particular 𝒚 𝒑 usando el método de variación de parámetros. Es decir suponer que 𝒚 𝒑 = 𝒖 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 + 𝒖 𝟐 𝒙 𝒚 𝟐(𝒙) Donde las funciones 𝒖 𝟏 y 𝒖 𝟐 se hallan resolviendo el sistema 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 = 𝟎 𝒖 𝟏 ′ 𝒚 𝟏 ′ + 𝒖 𝟐 ′ 𝒚 𝟐 ′ = 𝒇(𝒙) Podemos aplicar el método de Cramer y luego de integrar obtenemos:
- 8. E.D.L. de segundo orden (variación de parámetros) 𝒖 𝟏(𝒙) = − 𝒇 𝒙 𝑾 𝒚 𝟏; 𝒚 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒖 𝟏(𝒙) = 𝒇 𝒙 𝑾 𝒚 𝟏; 𝒚 𝟐 𝒚 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 donde 𝑾 𝒚 𝟏; 𝒚 𝟐 = 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 𝒚 𝟏 ′ 𝒚 𝟐 ′ es llamado el Wronskiano de 𝒚 𝟏 y 𝒚 𝟐 3.- La solución general de (*) es de la forma 𝒚 = 𝒚 𝒉 + 𝒚 𝒑 OBSERVACIÓN En el paso 1 anterior se puede hallar otra solución Linealmente independiente de la E.D.L. homogénea asociada conociendo una de las soluciones, por ejemplo 𝒚 𝟏, como se muestra en el siguiente teorema
- 9. Teorema Sea la E.D.L. normal y homogénea de orden 𝟐 𝒚′′ + 𝒑 𝒙 𝒚′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝟎 donde 𝒑; 𝒒; 𝒇 ∶ 𝑰 → ℝ son funciones continuas en un intervalo 𝐼. Si 𝒚 𝟏 es una solución, entonces a.- La función 𝒚 𝟐 𝒙 = 𝒚 𝟏 𝒙 𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 es otra solución en cualquier subintervalo 𝑱 ⊂ 𝑰 donde 𝒚 𝟐 𝒙 ≠ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑱 b.- El conjunto 𝒚 𝟏; 𝒚 𝟐 es Linealmente independiente en 𝑱
- 10. EjemploEjemplo 1 Determine la solución general de las siguientes E.D.L. a.- 𝒚′′ + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 b.- 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝒆−𝒙 𝒍𝒏𝒙 c.- 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒆 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 Solución
- 11. EjemploEjemplo 2 Resuelva la E.D.L. 𝒙 + 𝟏 𝒚′′ + 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟑 𝒚′ + 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙 𝟐 𝒚 = −𝟒𝒙 𝒙 + 𝟏 𝟐 Si se sabe que la solución de la ecuación homogénea asociada es: 𝒚 𝒉 = 𝒄 𝟏 𝒆−𝒙 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝒆 𝟐𝒙 Solución
- 12. Ejercicio 1 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales sabiendo que 𝒚 𝟏 es una solución de la homogénea a.- 𝒙 𝟐 𝒚′′ − 𝒙𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙 𝟒 ; 𝒚 𝟏 = 𝒙 𝟐 b.- 𝟐𝒙𝒚′′ + 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒚′ + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒚 = 𝒆 𝒙 ; 𝒚 𝟏 = 𝒆 𝒙 c.- 𝒚′′ + 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒚′ + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒚 = 𝟎 ; 𝒚 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔(𝒔𝒆𝒏𝒙) Solución:
- 14. E.D. de Cauchy Euler Una E.D.L. de la forma (𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒏 𝒚 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒏−𝟏 𝒚 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒚′ + 𝒂 𝟎 𝒚 = 𝒉 𝒙 Donde • 𝒂𝒊 ∈ ℝ ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏; ⋯ ; 𝒏 − 𝟏 son constante reales y 𝒂 > 𝟎 • 𝒉: 𝑰 → ℝ es continua en cualquier intervalo que no contiene al punto 𝒙 = − 𝒃 𝒂 es llamada Ecuación de Cauchy-Euler. OBSERVACIÓN Esta ecuación está definida en ℝ, pero solo es normal en aquellos intervalos que no contienen al punto 𝒙 = − 𝒃 𝒂 .
- 15. E.D. de Cauchy Euler Procedimiento de solución 1.- Se realiza el cambio de variable • 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) cuando se considera un intervalo 𝑰 contenido en ] − 𝒃 𝒂 ; +∞[ • 𝒖 = 𝒍𝒏(−𝒂𝒙 − 𝒃) cuando se considera un intervalo 𝑰 contenido en ] − ∞; − 𝒃 𝒂 [ Esto reduce (*) a una E.D.L. con coeficientes constantes. 2.- Use los métodos anteriores para hallar la solución buscada.
- 16. EjemploEjemplo 1 Determine la solución general de 𝒙 𝟐 𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎 Solución Realizamos el cambio de variable 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 o equivalente mente 𝒙 = 𝒆 𝒖 (trabajaremos en el intervalo ]𝟎; +∞[) La ecuación diferencial en la variable 𝒙 es: 𝒙 𝟐 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎 Aplicando la regla de la cadena tenemos: 𝒚 → 𝒙 → 𝒖 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒆 𝒖 → 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒆−𝒖 𝒅𝒚 𝒅𝒖 Análogamente para la segunda derivada: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 → 𝒙 → 𝒖
- 17. EjemploEjemplo 1 Análogamente para la segunda derivada: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 → 𝒙 → 𝒖 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒖 𝟐 = 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒆 𝒖 𝒆 𝒖 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒆 𝒖 = 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒖 + 𝒆−𝒖 𝒅𝒚 𝒅𝒖 𝒆 𝒖 = 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒖 + 𝒅𝒚 𝒅𝒖 De donde 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐 = 𝒆−𝟐𝒖 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒖 𝟐 − 𝒅𝒚 𝒅𝒖 Reemplazamos en la ecuación y obtenemos: 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒖 𝟐 − 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒖 + 𝟐𝒚 = 𝟎 La solución general de esta ecuación es: 𝒚 = 𝒄 𝟏 𝒆 𝒖 𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝒄 𝟐 𝒆 𝒖 𝒔𝒆𝒏(𝒖) Y regresando a la variable 𝒙 tenemos 𝒚 = 𝒄 𝟏 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒍𝒏 𝒙 ; ∀𝒙 > 𝟎
- 18. EjemploEjemplo 2 Determine la solución general de las siguientes E.D. a.- 𝒙 𝟐 𝒚′′ − 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝟏 𝒙 b.- 𝒚′′ − 𝟐 𝒙 𝒚′ − 𝟏𝟎 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝒙 𝟑 𝒍𝒏𝒙 Solución
- 19. Bibliografía 2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones- José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez 3. Calculus - James Stewart 1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado- Dennis G. Zill 4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.