Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales parciales del calor y la onda. Explica cómo usar el método de separación de variables para determinar las soluciones de estas ecuaciones. También presenta ejemplos numéricos de problemas de difusión de calor y propagación de ondas, resolviéndolos mediante series infinitas.

1. ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Ecuaciones diferenciales
parciales

2. Objetivos
 Reconocer las ecuaciones diferenciales parcial
(EDP) del calor y la onda.
 Determinar la solución de las EDP del calor y la
onda.
 Aplicar método de separación de variables.

3. Separación de Variables
Si suponemos que u = X(x)Y(y) es la solución ,
entonces obtenemos:
"
,"
,'
,'
2
2
2
2
XY
y
u
YX
x
u
XY
y
u
YX
x
u













4. Ejemplo 1
Determine las solución de
Solución:
Sea u = X(x)Y(y) y entonces
Introducimos una constante de separación real
como −.
.42
2
y
u
x
u





Y
Y
X
X
XYYX
'
4
"
,'4" 

5. Ejemplo 1 (2)
Así que
Para los tres casos:
 = 0: 𝑋” = 0, 𝑌’ = 0 (3)
 = −2 > 0,  > 0
𝑋” – 42𝑋 = 0, 𝑌’ − 2𝑌 = 0 (4)
 = 2 > 0,  > 0
𝑋” + 42𝑋 = 0, 𝑌’ + 2𝑌 = 0 (5)
(2)0',04"
'
4
"


YYXX
Y
Y
X
X



6. Ejemplo 1 (3)
Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) son
X = c1 + c2x y Y = c3; así
(6)
cuando 𝐴1 = 𝑐1 𝑐3 , 𝐵1 = 𝑐2 𝑐3.
Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) son
𝑋 = 𝑐4 cosh 2𝑥 + 𝑐5 sinh 2𝑥 𝑦 ASí
(7)
donde 𝐴2 = 𝑐4 𝑐6, 𝐵2 = 𝑐5 𝑐6.
xBAcxccXYu 11321 )( 
xeBxeAu
ecxcxcXYu
yy
y




2sinh2cosh
)2sinh2cosh(
22
2
22
654


.
2
6
y
ecY 


7. Ejemplo 1 (4)
Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) son
𝑋 = 𝑐7 cos 2𝑥 + 𝑐8 sin 2𝑥 𝑒 Así
(8)
donde 𝐴3 = 𝑐7 𝑐9, 𝐵3 = 𝑐8 𝑐9.
.
2
9
y
ecY 

xeBxeAu yy
 
2sin2cos
22
33



8. Teorema
Principio de Superposición
Si 𝒖 𝟏, 𝒖 𝟐, … , 𝒖 𝒌 son soluciones de una ecuación
diferencial parcial, entonces la combinación lineal
𝒖 = 𝒄 𝟏 𝒖 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒖 𝟐 + … + 𝒄 𝒌 𝒖 𝒌
donde las 𝒄𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 son constantes, también es
una solución.

9. Problema de difusión de calor
f(x)
T
x
Distribución de temperatura a lo
largo de la barra en un instante de
tiempo cualquiera
0,2
2






k
t
T
x
T
k
k es la conductividad térmica del material

10. Ecuación del calor
La ecuación de calor con condicones de
frontera puede desribirse así:
(1)
(2)
(3)
,2
2
t
u
x
u
k





0,0  tLx
,0),0( tu 0,0),(  ttLu
,)()0,( xfxu  Lx 0

11. Solución de los PVF
Usando 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡), y − como la
constante de separación:
(4)
(5)
(6)




kT
T
X
X
0 XX 
0 TkT 

12. Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en
𝑢 0, 𝑡 = 𝑋 0 𝑇 𝑡 = 0 𝒚 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑋 𝐿 𝑇 𝑡 = 0
luego obtenemos 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0 y
(7)
De las discusiones antriores obtenemos
,0)0( X 0)( LX,0 XX 
(10)0,sincos)(
(9)0,sinhcosh)(
(8)0,)(
2
21
2
21
21






xcxcxX
xcxcxX
xccxX

13. Cuando las condiciones de frontera
𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0
se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo
𝑋(𝑥) = 0. Aplicando la primera condición a(10)
se obtiene 𝑐1 = 0. Por tanto 𝑋(𝑥) = 𝑐2 sin 𝑥. La
condición 𝑋(𝐿) = 0 implica que
(11)
Tenemos que sin 𝐿 = 0 para 𝑐2  0 y  = 𝑛/𝐿, n
= 1, 2, 3, … Los valores  𝑛 =  𝑛
2 = (𝑛/𝐿)2, 𝑛 =
1, 2 , 3, … y las soluciones correspondientes
(12)
0sin)( 2  LcLX 
...3,2,,1,sin)( 2  nx
L
n
cxX


14. son los valores propios y funcionespropias,
respectivamente. La solución general de (6) es
(13)
donde 𝐴 𝑛 = 𝑐2 𝑐3.
tLnk
ecT )/(
3
222


x
L
n
eATtxXu tLnk
nn

sin)()( )/( 222



15. Ahora usando las condiciones iniciales
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿,
tenemos
(14)
Por el principio de superposición la función
(15)
debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces




1
sin)()0,(
n
n x
L
n
Axfxu

x
L
n
Axfxu nn

sin)()0,( 







1
)/(
1
sin),(
222
n
tLnk
n
n
n x
L
n
eAutxu


16. Se conoce como un desarrollo de semiintervalo
para f en a en una serie seno. Si ponemos
𝐴 𝑛 =
𝑏 𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, …
entonces:
(16)
Llegamos a la conclusión de que la solución del
PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante
la serie infinita
(17)

L
n xdx
L
n
xf
L
A
0
sin)(
2 
x
L
n
exdx
L
n
xf
L
txu tLnk
n
L  
sinsin)(
2
),( )/(
1
0
222



  







17. Si 𝑢(𝑥, 0) = 100, 𝐿 = , 𝑦 𝑘 = 1, entonces









 






 

1
(18)sin
)1(1200
),(
,
)1(1200
2
n
tn
n
n
n
nxe
n
txu
n
A



18. Problema de la cuerda vibrante
2
2
2
2
2
t
u
x
u
a





v es la velocidad de propagación de la onda

19. Propagación de ondas sísmicas
Roca
Estrato de suelo, a
Movimiento de entrada
(sismo)
Movimiento de salida
(respuesta)
2
2
2
2
2
t
u
z
u
a






20. Ecuación de Onda
Considere la ecuación de onda con
condicones de frontera
(1)
(2)
(3)
,2
2
2
2
2
t
u
x
u
a





0,0  tLx
,0),0( tu 0,0),(  ttLu
,)()0,( xfxu  )(
0
xg
t
u
t





21. Solución del PVF
Con la suposición
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡),
de (1) se obtiene
de modo que
(4)
(5)




Ta
T
X
X
2
0 XX 
02
 TaT 

22. Empleando que 𝑋(0) = 0 𝑦 𝑋(𝐿) = 0, se tiene
(6)
Sólo  = 2 > 0,  > 0 lleva a una solución no trivial.
Por tanto la solución general de (4) es
𝑋(0) = 0 𝑦 𝑋(𝐿) = 0 implican que
𝑐1 = 0 y 𝑐2 sin 𝐿 = 0.
Por tanto se tiene que  = 𝑛/𝐿, 𝑛 = 1, 2, 3, …
,0)0( X 0)( LX,0 XX 
xcxcX  sincos 21 

23. • Los valores propios y las funciones
propias son:
t
L
an
ct
L
an
ctT
nx
L
n
cxXLnn



sincos)(
es(5)degeneralsoluciónLa
,...3,2,1,sin)(,/
43
2
222



24. Sean 𝐴 𝑛 = 𝑐2 𝑐3, 𝐵 𝑛 = 𝑐2 𝑐4, soluciones que satisfacen (1) y (2)
son
(7)
y
(8)
x
L
n
t
L
an
Bt
L
an
Au nnn

sinsincos 




 








 
1
sinsincos),(
n
nn x
L
n
t
L
an
Bt
L
an
Atxu


25. Al sustituir 𝑡 = 0 en (8) y usando 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) se
obtiene
Puesto que esta última expresión es un desarrollo
en semiintervalo para 𝑓 en una serie de senos,
podemos identificar 𝐴 𝑛 = 𝑏 𝑛:
(9)




1
sin)()0,(
n
n x
L
n
Axfxu


L
n xdx
L
n
xf
L
A
0
sin)(
2 

26. Para determinar 𝐵 𝑛 se deriva (8) con respecto a 𝑡 y
fijando 𝑡 = 0:
Así se obtiene
(10)

















 







L
n
n
nt
n
nn
dx
L
n
xg
LL
an
B
x
L
n
L
an
Bxg
t
u
x
L
n
t
L
an
L
an
Bt
L
an
L
an
A
t
u
0
1
0
1
sin)(
2
sin)(
sincossin




L
n dx
L
n
xg
an
B
0
sin)(
2 


27. Ondas Estacionarias
Es fácil transformar (8) en
n
n
n
n
n
nnnn
nnn
C
B
C
A
BAC
x
L
n
t
L
an
Ctxu






 




cos,sin,
(11)sinsin),(
22

28. Cuando 𝑛 = 1, 𝑢1(𝑥, 𝑡) se llama primer onda
estacionaria, primer modo normal o modo
fundamental de vibración.
La frecuencia 𝑓1 = 𝑎/2𝐿 del primer modo
normal se llama la frecuencia fundamental o
primera armónica. Observe Fig 13.9.

T
LL
a
f
2
1
2
1 

29. Fig 13.9

30. Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations –
Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.