Este documento presenta los pasos para hallar la solución de una ecuación integrodiferencial. Primero, aplica la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación. Luego, usa el concepto de convolución para transformar la expresión. Finalmente, calcula cada término transformado, sustituye las condiciones iniciales, y aplica la transformada inversa de Laplace para obtener la solución final en función del tiempo.

1. Ecuación integrodiferencial

2. Halle la solución de la siguiente ecuación:
Aplicamos transformada de Laplace en ambos lados de la
ecuación integrodiferencial:
Usamos el concepto de convolución tenemos que:
La expresión (2) se transforma en:
0
1. ' , 0 1
t
y y y v sen t v dv sent y
0
' ~ 2
t
L y L y L y v sen t v dt L sent
0
~ 3
t
y v sen t v dt y t sent
' ~ 4L y L y L y t sent L sent

3. Calculamos la transformada de cada término y nos
queda:
Sustituimos las condiciones iniciales en (5):
Reorganizamos la expresión (6) y sacamos a factor
común:
2 2
1 1
0 ~ (5)
1 1
SY s y Y s Y s
s s
2 2
1 1
1 ~ (6)
1 1
SY s Y s Y s
s s
Y s
2 2
2 2
+1
1
1 +1 ~ 8
1 1
~ (7)
1 1
1
1 1
s s
SY s Y s Y s
s s
Y
s s

4. Efectuamos las operaciones en (8):
Entonces,
Completamos cuadrando en (9) tenemos que:
3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2
3 2 2
1
1 1 1
1
s s s s s s
Y s Y s
s s s s s s
s s
Y s Y s
s s s s s s
2
~ 9
1
s
Y s
s s
31 1 1
2 2 2 2
31
2 2
2 2 23 3 31 1 1
2 4 2 4 2 4
2 23 31 1
2 4 2 4
1 2
=
2 3
1
3
- ~ 10
-
s s
Y s
s s s
s
Y s
s s

5. Ahora aplicamos transformada inversa de Laplace en (10):
La solución es:
31
2 21 1
2 23 31 1
2 4 2 4
1
3
s
L Y s L
s s
2 23 3
2 2
1
cos s
3
t t
y t e t e en t
Realizado por:
Gil Sandro Gómez
Prof. de la escuela de
Matemáticas de la UASD