El documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales utilizando transformadas de Laplace. Se describen los métodos para ecuaciones no homogéneas, valores propios reales y complejos de la matriz, y valores propios repetidos. También incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTICOS Y DE
COMPUTACIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS
Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON
COEFICIENTES CONSTANTES
GRUPO Nº 4
INTEGRANTES:
BORJA JARAMILLO JORGE IVÁN
GUALOTUÑA FAJARDO JEFFERSON SANTIAGO
GAIBOR MARIÑO MIGUEL ANGEL
VEGA VARELA ROGER PAU

2. Solución de ecuaciones diferenciales no
homogéneas utilizando las Transformadas de
Laplace
Para ilustrar el método consideremos el siguiente ejemplo:
2
3 tdy
y e
dt
; (0) 1y
Solución:
A la ecuación diferencial la transformamos en términos de S
(mediante transformadas de Laplace)
, 2
( 3 ) ( )t
L y y L e
, 2
( ) 3 ( ) ( )t
L y L y L e
1
( ) (0) 3 ( )
2
SY s y Y s
S
1
( ) 1 3 ( )
2
SY s Y s
S
Resolvemos la ecuación algebraicamente para la función en S
1
( ) 3 1
2
Y s S
S
1
( ) 3 1
2
Y s S
S
1 1
( )
( 2)( 3) 3
Y s
S S S
1 2
( )
( 2)( 3)
S
Y s
S S
1
( )
( 2)( 3)
S
Y s
S S
Calculamos la inversa ( 1
L ) para ambos lados

3. 1 1
( )
( 2)( 3)
S
y t L
S S
Resolviendo la fracción:
1
( 2)( 3)
S
S S
1
2 3 ( 2)( 3)
A B S
S S S S
1 2
2 3S S
1 1 2
( )
2 3
y t L
S S
1 11 1
( ) 2
2 3
y t L L
S S
Hallamos la solución de la ecuación diferencial
2 3
( ) 2t t
y t e e
Ejemplo 2:
,, , 2 3
6 9 t
y y y t e ; (0) 2y ; ,
(0) 6y
Solución:
,, , 2 3
6 9 t
L y y y L t e
,, , 2 3
6 9 t
L y L y L y L t e
2 ,
3
2
( ) (0) (0) 6 ( ) (0) 9 ( )
( 3)
S Y s Sy y SY s y Y s
S
2
3
2
( ) 2 6 6 ( ) 12 9 ( )
( 3)
S Y s S SY s Y s
S
2
3
2
( ) 6 9 2 6
( 3)
Y s S S S
S
2
3
2
( ) 3 2 3
( 3)
Y s S S
S

4. 2
3
2
( ) 3 2 3
( 3)
Y s S S
S
5
2 2
( )
( 3) 3
Y s
S S
1 1
5
2 2
( )
( 3) 3
y t L L
S S
1 1
5
1 1
( ) 2 2
( 3) 3
y t L L
S S
4 3
3
( ) 2
12
t
tt e
y t e
Ejemplo 3:
,, ,
4 6 1 t
y y y e ; (0) 0y ; ,
(0) 0y
2
2
2 2
2
1 1
( ) 4 ( ) 6 ( )
1
1 1
( ) 4 6
1
1 1
( )
4 6 1 4 6
2 1
( )
1 4 6
S Y s SY s Y s
S S
Y s S S
S S
Y s
S S S S S S
S
Y s
S S S S
2
1 5
1 1 2 3
( )
6 3 1 2 2
S
Y s
S S S
2 2
1 22
1 1 2 3( )
6 3 1 2 2 2 2
S
Y s
S S S S
2 21 1 1 2
( ) cos( 2 ) ( 2 )
6 3 2 2 3 2
t t t
y t e t e sen t e
Ejemplo 4:

5. ,,
2 2y y sen t ; (0) 10y ; ,
(0) 0y ; ,,
(0) 1y
2 ,
2
2
2 2
( ) (0) (0) ( )
2
S Y s Sy y Y s
S
2
2
2
( ) 10 0 ( )
2
S Y s S Y s
S
2
2
2
( ) 1 10
2
Y s S S
S
2 2 2
2 10
( )
1 2 1
S
Y s
S S S
2
2 2
10 20 2
( )
1 2
S S
Y s
S S
2
1
2 2
10 20 2
( )
1 2
S S
y t L
S S
1
2 2 2
2 10 2
( )
1 1 1
S
y t L
S S S
2
( ) 2 10cos 2
2
y t sen t t sent
Ejemplo 5:

6. Ejemplo 6:
Ejemplo 7:
Ejemplo 8:
Resumen
A la ecuación diferencial la transformamos en términos de S
(mediante transformadas de Laplace)
Resolvemos la ecuación algebraicamente para la función en S

7. Calculamos la inversa ( 1
L ) para ambos lados
Hallamos la solución de la ecuación diferencial
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE PRIMER ORDEN
1.-VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS
Teniendo uns solucion de la forma:
En donde k1 y k2 son constantes, surge la pregunta de si es
posible determinar una solucion de la forma:
(1)
Del sistema homogéneo, lineal y de primer orden:
(2)
En donde A es una matriz de constantes nxn.
VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
Para que (1) sea un vector solución de (2), hacemos un remplazo
adecuado para obtener un sistema:

8. (3)
Al realizar la división por y reordenar, se obtiene:
Si sacamos factor común conseguimos:
La ecuación (3) equivale al sistema de ecuaciones algebraicas:
Así, para determinar una solución X no trivial de (2), debemos
llegar a una solución no trivial del sistema anterior; calculando
el vector K no trivial para que cumpla con (3). Para esto se debe
cumplir con la siguiente condición:
Esta es la ecuación característica de la matriz A; en otras
palabras, va a ser solución del sistema (2) de ecuaciones
diferenciales, si y solo si es un valor propio de A, y K es un
vector propio correspondiente a .
Cuando la matriz A de nxn tiene n valores propios reales y
distintos, siempre se puede determinar un conjunto
de n vectores propios literalmente independientes,
de donde obtenemos:
El cual es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en el
intervalo de .

9. Dados estos antecedentes podemos mencionar el teorema para la
solución general de sistemas homogéneos.
Teorema:
Sean n valores propios reales y distintos de la
matriz A de coeficientes del sistema homogéneo, y sean
los vectores propios correspondientes, entonces la
solución general viene en el intervalo es:
2.- VALORES PROPIOS REPETIDOS
No todos los n valores propios, de una matriz A de
nxn deben ser distintos, algunos valores pueden repetirse.
Si m es un entero positivo, y si es un factor de la ecuación
característica, mientras que no lo es, se dice que es un valor
propio de multiplicidad m, así obtenemos una serie de casos:
1) Para algunas matrices A de nxn se podrá determinar m vectores
propios linealmente independientes, ,
correspondiente a un valor propio de multiplicidad m n.
Para este caso, la solución general del sistema contiene la
combinación lineal.
2) Si solo hay un vector propio que corresponda al valor propio
de multiplicidad m, siempre será posible hallar m
soluciones linealmente independientes la siguiente manera,
donde son vectores columna

10. Al encontrar valores de multiplicidad 2 se aplica:
En valores de multiplicidad 3 se aplica:
3.-VALORES PROPIOS COMPLEJOS
Si son valores propios complejos de la matriz A de coeficientes,
cabe esperar que sus vectores propios correspondientes también
tengan elementos complejos, cuando la ecuación característica
tiene coeficientes reales, los valores propios complejos siempre
se dan en pares conjugados.

11. Obtenemos el teorema:
Sea un valor propio complejo de la matriz de
coeficientes A en el sistema homogéneo y sean B1 y B2 los vectores
columna. Entonces las soluciones linealmente independientes serán:
EJEMPLOS
• Aplicando Laplace, resolver el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales homogéneas
• Aplicando Laplace, resolver la siguiente ecuación
diferencial homogénea

12. • Usando transformada de Laplace, resolver el siguiente
sistema
Solución
• Compruebe que en el intervalo

13. Es solución de
Solución:
• Resolver
S=3 S=2 B=1 A=-1

14. • Resolver
sujeta a las condiciones iniciales y
• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales usando la transformada de Laplace
con Valores iniciales:
Aplicando Laplace a las 2 ecuaciones obtenemos

15. Utilizando el metodo de suma y resta obtenemos
Aplicando Laplace inversa para encontrar y(t) nos da como resultado
Sustituimos Y(s) en la ecuación
Finalmente aplicando Laplace inversa para encontrar x(t), nos da como
resultado
Ejercicios Propuestos:
•
,, ,
3 2 t
y y y e ; ,
(0) (0) 0y y
Respuesta: 2
( ) t t t
y t e te e
•
,, ,
2 5 8 t
y y y e ; (0) 2y ; ,
(0) 12y
Respuesta: ( ) 3 cos2 4 2t t t
y t e t e sen t e

16. •
,, ,
4 5 t
y y y te ; (0) 1y ;
,
(0) 0y
5 235 181 1 1
( )
216 216 36 12
t t t t
y t e e te t e
• R
Respuesta:
•
Respuesta:
Conclusiones:
Para resolver una ecuación diferencial por medio de las
transformadas de Laplace a la ecuación diferencial la
transformamos en términos de S (mediante transformadas de Laplace)
luego procedemos a resolver la ecuación que nos queda
algebraicamente para la función en S por lo general Y(S) aunque
ciertamente depende del ejercicio, luego calculamos la inversa ( 1
L
) para ambos lados de la ecuación y hallamos la solución de la
ecuación diferencial.
Bibliografía:
R. KENT AUTOR NAGLE, EDWARD B AUTOR SAFF, ARTHUR DAVID AUTOR
SNIDER - Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la
frontera - Pearson Educación, 2005 - 816 páginas
Pedro Alberto Quintana Hernández - Métodos de solución de
Ecuaciones diferenciales y aplicaciones - Reverte, 03/01/2008 -
294 páginas

17. Dennis G. Zill - ECUACIONES DIFERENCIALES 9/E CON APLICACIONES DE
MODELADO - CengageLearning Editores, 15/07/2009 - 532 páginas