Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas. Explica que una ecuación diferencial es exacta si corresponde a la diferencia de alguna función. Proporciona un ejemplo de una ecuación diferencial exacta de primer orden y los pasos para resolverla. También define el factor integrante y cómo se obtiene cuando los valores parciales de M y N no son equivalentes al derivar parcialmente.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Jorge Hugo Orozco Lara 10310306

2. ¿QUÉ ES UN ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA? Antes de abordar el tema se hace una breve introducción de lo que es una ecuación diferencial exacta; una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

3. Ejemplo 2ytdy + y2dt = 0. Aquí: M = 2yt, N = y2. Entonces: F(y,t) =∫2ytdy + Ψ (t) = y2 t + Ψ (t)En la función Ψ(t) se incluye la constante de integración. ∂ F/∂ t = y2 + Ψ’ (t) Como N = ∂ F/∂ t , esto significa que N = y2 .Se igualan entonces (2) y (3) y queda y2 = y2 + Ψ´(t) y Ψ´(t) = 0 . Se integra Ψ’ (t) y queda Ψ(t) = ∫ Ψ’ (t) = ∫ 0dt = k El resultado de F(y,t) será y2t + k. La solución es F(y,t) = C.. Sustituyendo queday2 t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces y(t) = Ct-1/2, C es arbritaria.

4. FACTOR INTEGRANTE Si existe una funcion (x,y) tal que f(x)dx+ g(y)dy=0, entonces f(x,y) Mdx + f(x,y)Ndy=0 es exacta, si alguno de los 2 valores “m” o “n” al derivar parcialmente no equivalente proceder a obtener un factor llamado integrante.

5. ¿COMO SE OBTIENE EL FACTOR INTEGRANTE? Para x sea f(x,y) el factor donde p(x)= My – Ny/N Para y sea f(x,y) el factor donde p(x)= Nx – Ny/M Sea ∫ p(x) ∫ p(y) M=e ó M=e donde M ó U= Factor Integrante