Este documento introduce las ecuaciones diferenciales exactas. Define una ecuación diferencial exacta como aquella cuya expresión diferencial es la diferencial exacta de alguna función. Explica el criterio para que una expresión diferencial sea exacta y cómo resolver una ecuación diferencial exacta mediante la búsqueda de una función cuya derivada sea igual a los términos de la ecuación. Proporciona un ejemplo para ilustrar el proceso de resolución.

2. INTRODUCCI ´ON A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DEFINICI ´ON
ECUACI ´ON EXACTA
DEFINICI ´ON
Una expresi´on diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy es una diferencial exacta
en una regi´on R del plano xy si ´esta corresponde a la diferencial de alguna
funci´on f(x, y) definida en R. Una ecuaci´on diferencial de primer orden de la
forma
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Se dice que es una ecuaci´on exacta si la expresi´on del lado izquierdo es una
diferencial exacta.
EJEMPLO DE ECUACI ´ON EXACTA
1 la ecuaci´on diferencial y3dx + 3xy2dy = 0 es exacta, porque se puede
obtener inmediatamente al derivar la funci´on f(x, y) = xy3

4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS DEFINICI ´ON
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA
Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales
continuas en una regi´on rectangular R definida por a < x < b, c < y < d.
Una condici´on necesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy sea
una diferencial exacta es:
dM
dy
=
dN
dx
EJEMPLO
1 La ED (5x + 4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0 es Exacta.
Para verificarlo, se toman M(x, y) = 5x + 4y y N(x, y) = 4x − 8y3
y al aplicar el criterio se obtiene:
dM
dy
= 4
dN
dx
= 4

5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS SOLUCI ´ON
M´ETODO DE SOLUCI ´ON
Si una ED de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es exacta:
1 Existe una funcion f tal que
df
dx
= M(x, y). Se determina f integrando
M(x, y) respecto a x:
f(x, y) = M(x, y)dx + g(y) (1)
2 Se deriva f respecto a y considerando que:
df
dx
= N(x, y) es decir:
g (y) = N(x, y) −
d
dy
M(x, y)dx (2)
3 Por ultimo se integra la ecuaci´on 2 respecto a y y se sustituye el
resultado en la ecuaci´on 1
NOTA: El proceso anterior puede desarrollarse de manera an´aloga
considerando inicialmente que existe una funci´on f tal que df/dy = N(x, y)

6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS
EJEMPLO
1 Solucionar la ED (2x + y)dx + (x − 2y)dy = 0
Se procede a verificar que sea exacta:
dM
dy
= 1 =
dN
dx
Se calcula f(x, y) = M(x, y)dx + g(y)
f(x, y) = (2x + y)dx + g(y) = x2
+ xy + g(y) + C (3)
Se deriva respecto a y:
df
dy
=
d
dy
(x2 + xy + g(y)) = x + g (y)
Se iguala a N(x, y)
x + g (y) = x − 2y
g (y) = −2y
y al integrar se obtiene la funci´on g(y) = −y2 + C
Y al sustituir en (3) la soluci´on de la ED es: f(x, y) = x2 + xy − y2 + C

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.