superior

1. Matemáticas
1111
Tema 45
El criterio de la segunda derivada
y trazado de curvas
Ejemplo
Para la función f x x x x( ) – –= +3 2
9 24 7, hallemos:
Los puntos críticos.a.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.b.
Los intervalos de concavidad hacia arriba, hacia abajo y losc.
puntos de inflexión.
Los valores máximos y mínimos.d.
Solución
f x x x x x x x'( ) – ( – ) ( – )( – )= + = + =3 18 24 3 6 8 3 4 22 2
a. ,
por tanto, los puntos críticos son x = 4 y x = 2.
fb. es creciente donde f x'( ) > 0, es decir, en (–∞, 2) ∪ (4, ∞);
por tanto, f es decreciente en (2, 4).
f x x x'' ( ) – ( – )= =6 18 6 3c. , luego f es cóncava hacia arriba
en el intervalo (3, ∞) y cóncava hacia abajo en el intervalo
(–∞, 3), ya que f tiene un cambio de concavidad en
x = 3, éste es el punto de inflexión.
Pensamiento variacional
Y
X
−20
−4
−40
−10
−30
2 4 6
10
20
30
40
−2−6
Puesto qued. f '' ( ) ( – ) –2 6 2 3 6 0= = < deducimos que
en x = 2 la función f tiene un máximo local.
Y ya que f '' ( )4 6= , entonces f tiene un mínimo local
en x = 4.