1) Se describen funciones reales de varias variables cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuya imagen son números reales. Se definen el dominio, imagen y gráfica de estas funciones. 2) Se presentan ejemplos de funciones de dos variables donde se calcula el dominio de definición e imagen. 3) Se define la noción de curvas de nivel como el conjunto de puntos donde la función toma un valor constante c.

1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Vamos a considerar funciones cuyas imágenes son
números reales, pero su dominio será en subconjunto de
ℝn. Es decir, funciones del tipo.
f: U  ℝn  ℝ
Llamadas funciones reales de n-variables real y cuyos
elementos son:
Dominio (f) = xRn / zℝ, z = f(x)
Imagen (f) = zR / xℝn, z = f(x)
Grafica (f)= {(x,f(x))/ x Dom (f)}

2. -10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
0
50
100
150
Ejemplo 1. Encuentre el dominio de definición e imagen de la función
f(x,y)= x2 + y2
Solución
Dom(f) = ℝ2 y Im(f) = [0,  >
Su gráfico es un paraboloide.

3. Ejemplo 2. Encuentre el dominio de definición e imagen de la función
f(x,y) =
2
y
2
x1 
Solución
Dom(f) = (x,y)  R2/ x2 + y2  1; Im(f)=[0,1]
Su gráfico es una semiesfera.
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-80
-60
-40
-20
0
20

4. Ejemplo 3. Encuentre el dominio de definición e imagen de la función
f(x,y) = arcsen
yx
x

Solución
Dom(f) = (x,y) ℝ2
1
yx
x
1/ 

 }; Im(f)= ℝ
Ejemplo 4. Encuentre el dominio de definición e imagen de la función
f(x,y) = ln(1–x2
–y2
)
Solución
Dom(f) = (x,y)ℝ2
/ 1–x2
–y2
> 0 
Im(f) = ℝ

5. Definición 1 Operaciones con funciones
Sean f, g: U ℝ 2
 ℝ, tal que Dom(f)Dom(g)
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f . g) (x) = f(x) . g(x)
3.    
 
  0xg,
xg
xf
x
g
f






Definición 2 Composición de funciones
Si f: I  ℝ  ℝ y g: U  ℝn
 ℝ, entonces la función compuesta f o g
es las función de n-variables definida por
(fog)(x1, x2, ..., xn)= f(g(x1, x2, ..., xn))
Dom(fog)=(x1,x2,...,xn)/(x1,x2,...,xn)Dom(g) y g(x1,...xn)Dom (f)

6. Ejemplo 5 f(t) = t2
+ 1, g (x,y) = x + 3y.
Entonces (fog)(x,y) = f(x + 3y) = (3y + x)2
+ 1
Ejemplo 6 Dada f(t)=sen-1
t y g(x,y,z)= 42z2y2x  , obtenga fog.
Solución
(fog)(x,y,z)=f(g(x,y,z))=f( 42z2y2x  )
=sen-1
42z2y2x 
El dominio de g es {(x,y,z)/x2
+y2
+z2
-4  0}
El dominio de f es [-1,1]
El dominio de fog es { (x,y,z) R3
/ 4  x2
+y2
+z2
 5 }

7. Definición 3 Curvas de nivel
Sea la función f: U ℝn
 ℝ y cIm(f), se define el nivel de c de la
función f como:
{xU/f(x) = c} = f-1
(c)
Ejemplo 7 Dada la función f(x,y) = x2
+ 4y2
, hallar las curvas de nivel
para c=1, c=2, c=0.
Solución
f-1
(1)= {(x,y) ℝ2
/ x2
+ 4y2
=1}, es una elipse
f-1
(2)= {(x,y) ℝ2
/ x2
+ 4y2
=2}, es una elipse
f-1
(0)= {(x,y) ℝ2
/ x2
+ 4y2
=0}= {(0,0)}, un punto

8. Ejemplo 8 Dada la función f(x,y) = x- 2y , hallar las curvas de nivel
para c=1, c=2, c=0.
Solución
f-1
(1)= {(x,y) ℝ2
/ x- 2y =1}, es la gráfica de una función valor
absoluto
f-1
(2)= {(x,y) ℝ2
/ x- 2y =2}, es la gráfica de una función valor
absoluto
f-1
(0)= {(x,y) ℝ2
/ x- 2y =0}, es la gráfica de una función valor
absoluto

9. Ejemplo 9 Dada la función f(x,y) = y2
–x2
, hallar las curvas de nivel para
c=1, c=2, c=0.
Solución
f-1
(1)= {(x,y) ℝ2
/ y2
–x2
=1}, es la gráfica de una hipérbola.
f-1
(2)= {(x,y) ℝ2
/ y2
–x2
=2}, es la gráfica de una hipérbola.
f-1
(0)= {(x,y) ℝ2
/ y2
–x2
=0}, es la gráfica de dos rectas que pasan por el
origen.

10. Ejemplo 9 Dada la función f(x,y) = 25 - y2
–x2
, hallar las curvas de nivel
para c=1, c=2, c=0.
Solución
f-1
(1)= {(x,y) ℝ2
/ 25 - y2
–x2
=1}, es la gráfica de una circunferencia.
f-1
(2)= {(x,y) ℝ2
/ 25 - y2
–x2
=2}, es la gráfica de una circunferencia.
f-1
(0)= {(x,y) ℝ2
/ 25 - y2
–x2
=0}, es la gráfica de una circunferencia.

11. Derivadas Parciales
X
Y
Z ),( yxf
x

 
   
h
nx,...,1xfnx,...,1ixh,ix...,,2x,1xf
0n
limx
ix
f
fiD






=
si el límite existe.

12. Ejemplo 1. Aplicando definición de derivada parcial,
hallar
  ;yx,
x
f


 yx,
y
f


  1y22xyx,f si
Solución:
         
h
1y
2
2x1y
2
hx2
0h
lim
h
yx,fyh,xf
0h
limyx,
x
f 







h
1y
2
2x1y
2
2h4xh
2
2x
0h
lim



h
2
2h4xh
0h
lim


 4x2h4x
0h
lim 


       
h
1y
2
2x1hy
2
2x
0h
lim
h
yx,fhyx,f
0h
limyx,
x
f 







= -1

13. Ejemplo 2. Si f(x,y) = xy2
+ x2
y, hallar fx, fy.
Solución:
fx = y2
+ 2xy y
fy = 2xy + x2
Ejemplo 3. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de
intersección de la superficie
2
y
2
x10z  con el plano y = x en el
punto (2,2, 2 )
Solución:
2
2
2
y
2
x10
x
xzm






14. Observación: Si f es una función de dos variables, entonces en general fx y
fy también son funciones de dos variables, y si las derivadas parciales
de estas funciones existen, se denominan segundas derivadas parciales de
f y se denotan por fxx, fxy, fyy.
Ejemplo 4. Sea f(x,y) = x2
cos y , hallar fxy y fxx.
Solución:
fx = 2x cos y , fxy = -2x sen y , fxx = 2 cos y
Ejemplo 5. Sea f(x,y,z) = ln (2x + z2
+ y), hallar fxyz.
Solución:
   2
y
2
z2x
2
xyf,
y
2
z2x
2
xf





 3
y
2
z2x
4
xyzf



15. Teorema 1
Si f está definida en un conjunto abierto U que contiene a (a,b) y fxy con
fyx son continuas en U, entonces fxy(a,b) = fyx(a,b).
Ejemplo 6. Calcule fxxyz, si f(x,y,z)=sen(3x+yz)
Solución:
fx = 3cos(3x+yz)
fxx=-9sen(3x+yz)
fxxy==-9zCos(3x+yz)
fxxyz=-9cos(3x+yz)+9yzsen(3x+yz)
Ejemplo 7. Calcule las primeras derivadas parciales de f(x,y) =

y
x
dt
2t
e
Solución:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo , obtenemos
2
),(
x
eyx
x
f



2
),(
y
eyx
y
f




16. 1. Calcule las primeras derivadas parciales de la función:
a) f(x,y)= x3
y5
-2x2
y+x
b) f(x,y)= ln(x2
+y2
)
c) f(x,y)=ex
(tan(x-y)
d) f(u,v)=tan-1
(uv)
e) f(x,y)=

y
x
dt
2t
e
f) f(x,y)=

x
y
dt
t
t
e
g) f(x,y,z)=x yz
h) f(x,y,z)= xey
+yez
+zex
2. Calcule
x
z


y
y
z


a) z= f(x)+g(y)
b) z=f(x)g(y)
c) z= f(x+y)
d) z=f(xy)
e) z= f(ax+by)
f) z=f(x/y)

17. Definición 2 Derivada Direccional
Sea f: U  ℝn
 ℝ y sea x0U. Sea Vℝn
un vector unitario dado. Se
define la derivada de f en x0, en la dirección del vector V.
   
t
0xftV0xf
0t
limx
V
f 




)( 0

18. Observación.
1) Si V=ei: i-ésimo vector básico de ℝn
,    0x
ix
f
0x
V
f





2) Si f: Uℝ2
 ℝ, escribiremos el vector unitario Vℝ2
como
V=(cos ,sen), 0    2
Ejemplo 7. Sea f: U  ℝ2
 ℝ la función f(x,y) = x2
–2y2
. Hallar  yx,
V
f


si V =(Cos ,sen )
Solución:
     
t
yx,fsenθtyθ,costxf
0t
limyx,
V
f 




   
t
2
2y
2
x
2
senθty2
2
θcostx
0t
lim



= 2x cos  - 4y sen 
Si  = 0 
x
f
2x
V
f





Si  =
2
π

y
f
4y
y
f






19. Teorema 2
      θsenyx,yfθcosyx,xfyx,f
y
f



Ejemplo 8. Sea f(x,y) = 2–x2
–2y2
, V= 





5
1
,
5
2
. Hallar  yx,f
V
f


Solución:   














5
1
4y
5
2
2xyx,f
V
f
Definición 3 Gradiente de una función
Si f: U  ℝ2
 ℝ y fx , fy existen, entonces el gradiente de f es:
f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y)j
Sea f: U  ℝ3
 ℝ y fx , fy , fz existen, entonces el gradiente de f es:
f(x,y,z) = fx(x,y,z)i + fy(x,y,z)j + fz(x,y,z)k

20. Ejemplo 9. Si f(x,y) = x2
+2y2
+y, determine f(1,1)
Solución: f(x,y) = (2x)i + (4y + 1)j
f(1,1) = 2i + 5j
Ejemplo 10. Si f(x,y)=-x3
+y2
+x2
, determine la derivada direccional de f(x,y)
en el punto R(1,1), en las dirección de R(1,1) a Q(2,3).
Solución
V=(1,2), f(x,n)=(-3x2
+2x)i+(2y)j, y 






5
2
,
5
1
μ , entonces
   
5
3
5
4
5
1
21,.
5
2
,
5
1
11,
μ
f











.

21. Teorema 3
Sea f: U  ℝ2
 ℝ, f(x0,y0)  0. Sea  cualquier vector unitario, tal
que  00 y,x
dμ
f
es una función de .
1) El valor máximo de  00 y,x
dμ
f
es  00 y,xf .
2) El valor mínimo de  00 y,x
dμ
f
es -  00 y,xf .
Ejemplo 11. Dado f(x,y)=x2
+y2
+x+1, Calcule el valor máximo de
dμ
f
en el
punto x = 1 , y = 2.
Solución: Como fx = 2x + 1 y fy = 2y, entonces f(1,2)=(3,4). Por tanto el
valor máximo es de  yx,
dμ
f
en (1,2) es 5.

22. Ejemplo 12. La temperatura en cualquier punto (x,y) de una placa
rectangular situada en el plano es T(x,y) =
2
2
y
2
2
x
 . Calcular las tasa de
variación de la temperatura en (3,4) en la dirección que forma una ángulo
de
3

en la parte positiva del eje x.
Solución:
j
2
3
i
2
1
j
3
seni
3
cosμ 
ππ
 T(x,y) = xi - yj
Por tanto,     32
2
3
y
2
3
2
x
jyix.j
2
3
i
2
1
yx,
dμ
T









23. 1. Calcule
x
z


y
y
z


a) z= f(x)+g(y)
b) z=f(x)g(y)
c) z= f(x+y)
d) z=f(xy)
e) z= f(ax+by)
f) z=f(x/y)
2. Determine las segundas derivadas parciales de:
a) f(x,y)= x2
y+ y
b) f(x,y)= sen(x+y)+cos(x-y)
3. Calcule las derivadas parciales indicadas
a) f(x,y)= x2
y3
-2x4
y; fxxx
b) f(x,y)=
2
xy
e ; fxxy
c) f(x,y,z)= x5
+x4
y4
z3
+yz2
; fxyz
d) f(x,y,z)=exyz
; fyzx
e) z= xseny;
x
2
y
z
3


f) z= ln(sen(x-y)); 2
xy
z
3



24. Hallar la derivada direccional de cada una de las funciones, en las direcciones
indicadas:
1. f(x,y) = 3x–6y , V = 





2
1
,
2
1
2. f(x,y)= x2
+y2
, V =(a,b) , en el punto (0,0)
3. f(x,y) =    10,V,
2
xx
2
tan1
3
x 
4. f(x,y,z) = xyz , V = 




 
3
2
,
3
2
,
3
1
5. f(x,y)= x3
+xy, V=(1,-1)
Hallar el gradiente de las funciones dadas:
6. f(x,y) = 4x2
– 3xy + 2y2
7. g(x,y)=
2
y
2
x
y
2
x

8. f(x,y) = yx
2
y
2
xln 
9. g(x,y) = ex
tan y
10. En cualquier punto de un sólido la temperatura en T(x,y,z) grados,
donde T(x,y,z)=
3
2
z
2
y
2
x
60

a) Si la distancia se mide en milímetros, calcule la tasa de variación
de la temperatura en el punto (3,-2,2) en la dirección (-2,3,-6)
b) Determine la dirección y la intensidad (o módulo) de la máxima tasa
de variación de T en (3,-2,2).