practicas de ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, estabilidad

1. EDO I Posgrado
10 de marzo 2016
Tarea 6
1. Demostrar que
¨x = x + x2
es un sistema Hamiltoniano con funci´on Hamiltonianada
H(x, y) =
1
2
y2
−
1
2
x2
−
1
3
x3
;
adem´as que el sistema es sim´etrico con respecto al eje x. Demostrar que (0, 0)
es un punto silla y que (−1, 0) es un centro. Bosquejar la ´orbita homocl´ınica
dada por
y2
= x2
+
2
3
x3
.
2. Demostrar que la elipse γ(t) = (2 cos 2t, sen 2t) es una soluci´on peri´odica del
sistema
˙x = −4y + x 1 −
x2
4
− y2
,
˙y = x + y 1 −
x2
4
− y2
.
Demuestre que
Φ(t) =
e−2t
cos 2t −2 sen 2t
1
2
e−2t
sen 2t cos 2t
es la matriz fundamental del sistema con coeficientes peri´odicos ˙v = A(t)v y
satisface Φ(0) = I. Use esa infomaci´on para demostrar que γ(t) es una ´orbita
peri´odica estable.
3. Demostrar que el sistema no lineal
˙x = −y + xz2
,
˙y = x + yz2
,
˙z = −z(x2
+ y2
)
tiene una ´orbita peri´odica dada por γ(t) = (cos t, sen t, 0). Determine una ma-
triz fundamental tal que Φ(0) = I y posteriormente determinar la estabilidad
de la ´orbita. Sugerencia: Usar coordenadas cil´ındricas.
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