Trabajo de la unidad 2 de Matemática II del PNFI T2.T1 Sección 2. Realizado por: Maria Reyes y Oscar Sangronis.

1. Maria Reyes 30.193.430
Oscar Sangronis 28.159.874
Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que vincula una función con sus derivadas. Por
lo tanto, en las matemática aplicadas, las funciones prácticamente representan cantidades físicas, las
derivadas simbolizan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Cómo estas
relaciones son muy frecuentes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol fundamental en muchas
disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología. Asimismo, en las
matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian y analizan desde perspectivas
diferentes, la mayoría referentes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la
ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden solucionar por medio de fórmulas
explícitas, sin embargo, se pueden establecer algunas propiedades de las soluciones de una cierta
ecuación diferencial sin encontrar su forma exacta.
Usabilidad
Las ecuaciones diferenciales tienen muchísimas aplicaciones en física, química, economía, biología e
ingeniería. De mi paso por la universidad lo que más recuerdo es resolver ejercicios relacionados con
el crecimiento de poblaciones.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una función y una o más de sus
derivadas. Si la función tiene solo una variable independiente (que son las que vamos a ver
aquí), la ecuación se denomina «ecuación diferencial ordinaria» y si depende de dos o más
variables independientes, las derivadas serán parciales y la ecuación se denominará ecuación en
derivadas parciales, en este caso, se pone en relación el ritmo de cambio de una variable con
respecto al ritmo al que cambian otras.

2. Demostraciones
En el primer grupo de ejemplos, sea u una función desconocida que depende de x, y c y ω son
constantes conocidas. Observar que tanto las ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales
pueden clasificarse como lineales y no lineales.
Tipos de Ecuaciones Diferenciales
-Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:
Lo primero que debemos notar es que esta ecuación no está expresada en su forma estándar así
que aún no podemos identificar la función para definir nuestro factor integrante,
para estandarizarla debemos dividir cada uno de sus sumandos por 5 para obtener

3. Una vez estandarizada, podemos concluir que , así que nuestro factor integrante es
Una vez estandarizada, podemos concluir que , así que nuestro factor integrante es
Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor
integrante
Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada
del producto , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:
Expresados ambos elementos de la ecuación de esta forma, calculamos la integral de ambas
expresiones respecto a la variable tal como se ha planteado al calcular la solución de ecuaciones
diferenciales de variables separables.
Finalmente, despejamos para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

4. -Ecuaciones Diferenciales con Variables Separables
Consideremos la ecuación lo primero que debemos hacer es reescribir como
un cociente de diferenciales de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera
Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de y de como si estos fueran factores reales, de esta forma pod
Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de X y de Y como si estos
fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma
Notamos que todas las expresiones que involucran a Y están del lado izquierdo de la ecuación y
todas las expresiones que involucran a X están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que
haremos será integrar ambos lados de la ecuación

5. Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de
antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante C del lado derecho de la
ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable y para obtener la
función que estamos buscando.

6. -Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ejemplo:
Solución

7. -Ecuaciones Diferenciales Exactas
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
que presenta la forma:
Dado que F(x,y) es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas
cruzadas deben ser iguales. Esto significa que: