1. Ecuaciones Diferenciales para Noveles
Preparado por: José Acevedo Jiménez
Dedicado a: Adela Acevedo.
“Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es sólo porque no se dan cuenta de lo
complicada que es la vida.”
John Von Neumann.
Querido lector, el siguiente material ha sido elaborando pensando en aquellos
estudiantes que por una u otra razón enfrentan problemas para poder adentrarse
en el maravilloso universo del cálculo y más específicamente al mundo de las
ecuaciones diferenciales.
De antemano quiero que sepas que no existe nada que no puedas lograr siempre
y cuando te lo propongas. Muchos piensan que el cálculo es una asignatura difícil,
no voy a decir lo contrario, pero, si otros pueden aprenderlo, entonces: ¿Por qué
tu no?
Todo lo verdaderamente bueno en la vida tiene su costo. Se podría decir que
nada que realmente valga la pena es fácil de conseguir; pero al final, si ponemos
todo nuestro empeño en alcanzar eso que tanto deseamos, nuestros esfuerzos
habrán valido la pena.
Quiero que sepas que tengo fe en tu persona, de no ser así jamás me habría
tomado el tiempo para escribir este material.
¡Ánimos, tu puedes lograrlo!
2. Antes de iniciar nuestro viaje, es importante conocer algunos conceptos.
Ecuación: palabra que se deriva del latín aequare, que significa igualar. En
matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,
cuyos miembros aparecen tanto a la derecha como a la izquierda del signo de
igualdad (=). Toda ecuación tiene una o más variables desconocidas llamadas
incógnitas, las constantes son los datos conocidos que pueden aparecer en la
ecuación.
Ejemplo:
Ahora que sabemos que es una ecuación, es más fácil definir lo que es una
ecuación diferencial.
Ecuación Diferencial: es una ecuación en la que figuran derivadas, que están
relacionadas con una o más funciones incógnitas.
Ejemplo:
Recordemos que:
En general:
3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden o linealidad.
Según su tipo.
ED. Ordinarias: son las que contienen derivadas afines a una única variable
independiente.
Ej.:
ED. En Derivadas parciales: son las que contienen derivadas afines a dos o más
variables.
Según su orden.
Viene dado por el orden de la derivada más alta de la ecuación. Así tenemos que
la ecuación:
Es de segundo orden puesto que: es su derivada más alta.
Según su linealidad.
Una ecuación diferencial es lineal si tiene la siguiente forma:
4. Esto implica que:
1) Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de
uno o cero.
2) En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable
independiente.
Ej.
Es una ecuación lineal
Si no se cumple una de las condiciones mencionadas, entonces podemos afirmar
que la ecuación diferencial es no lineal.
Es no lineal, puesto que el coeficiente de depende de
Es no lineal, puesto que el término , no es de primer grado.
Dada una ecuación diferencial en su forma polinómica, se dice que su grado es la
potencia de la derivada de mayor orden presente en la ecuación.
Solución de una ecuación e.d.
Es una función que al ser cambiada o sustituida en la ecuación diferencial, en cada
caso con las derivaciones correspondientes, satisface la ecuación.
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Al llegar a esta parte, aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de primer
orden. Existen diferentes técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, sin
embargo son tres las fundamentales: variables separables, exactas y lineales, el
5. resto puede, mediante una sustitución, ser transformado en una de las tres antes
mencionadas.
Ecuaciones diferenciales en variables separables
Una e.d. es de variable separable si se puede expresar de la siguiente manera:
Una vez identificada esta ecuación, se procede a resolverla siguiendo los
siguientes pasos:
a) Expresar la e.d. de la forma:
b) Integrar la e.d. : c
c) Si se puede, expresar la solución de manera explícita:
Ejemplos:
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) Recordando:
Separando las variables tenemos:
Integramos ambos miembros de la ecuación:
Una vez llegado a este punto, es importante tener una noción de las integrales, a modo de reforzamiento
incluimos el siguiente enlace: www.inetor.com/
6. Al resolver las integrales tenemos:
Despejando tenemos:
2)
Separando variables, tenemos:
Integrando ambos miembros de la ecuación, nos queda:
Y finalmente despejamos a
7. Es posible que se estén preguntando, ¿de dónde sale la ?
Recordemos que la derivada de cualquier constante es igual a 0, supongamos que
tenemos la siguiente función: x) = . Si la derivamos nos
queda: x) = .
Si queremos volver a la función original debemos integrar a x)
Como se puede ver, el 2 no figura en la función; de ahí que se agregue una
constante de integración para evitar ambigüedad.
3)
8. Al resolver las integrales de ambos miembros nos queda:
Puesto que en este caso la variable no puede ser despejada, conviene dejar la
ecuación como está.
Ejercicio:
Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de separación
de variables.
Es bueno tener presente:
Para identificar y resolver ecuaciones diferenciales separables, resulta de
gran ayuda repasar los diferentes casos de factorización, aprendidos en
cursos anteriores de algebra.
A continuación incluimos un enlace de la UNAM (autor: Dr. José Manuel Becerra
Espinosa) donde se explican los diferentes casos de factorización.
http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=los+10+casos+de+factorizacion+con+ejemplos+pdf&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CFAQFjAE&url=http%3A%2F
%2Fwww.fca.unam.mx%2Fdocs%2Fapuntes_matematicas%2F07.%2520Factorizacion.pdf&ei=_dokUZKgFOmW0QHwqoCgDg&usg=AFQjCNEEQhr8jgO-
W9E9fbMKqyvWR7Z4bA
9. Ejemplo de ecuación diferencial no separable:
Una ecuación diferencial como la que se muestra a continuación es no separable,
pues las variables correspondientes no se pueden expresar en función de su
derivada.
E.d. no separable
Método de cambio de variables
Ecuaciones diferenciales homogéneas: se dice que una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden es homogénea si se puede expresar de la siguiente
manera:
En estas, y representan funciones homogéneas del mismo
grado. Para resolver este tipo de ecuaciones usamos el método de cambio de
variables para luego transformarla en una ecuación en la que se pueden separar
sus variables.
Ejemplo:
1)
10. Como se observa, no podemos separar las variables en términos de sus derivadas
correspondientes. Para resolver la ecuación, hacemos lo siguiente:
Luego, derivando tenemos:
Ahora podemos sustituir a ya en:
Para obtener:
Como se puede ver, la ecuación original ha sido transformada a una ecuación
diferencial de variables separables.
Integrando ambos miembros de la igualdad tenemos:
11. Al resolver las integrales, nos queda:
Como:
Al despejar tenemos que:
Finalmente sustituimos a , en la última igualdad, tenemos:
Ecuaciones diferenciales exactas.
Una ecuación diferencial es exacta si tiene la siguiente forma:
En estas se debe cumplir siempre que:
Ejemplo:
1)
Hacemos y
12. Si derivamos respecto a tenemos:
Si derivamos respecto a tenemos:
Por lo tanto: y podemos decir que la ecuación diferencial es exacta.
Obsérvese que hemos introducido una nueva nomenclatura para indicar las
derivadas. Usamos en vez de , esto nos indica que estamos trabajando con
derivadas parciales.
Solución 1
13. Solución 2
Nota: El ejemplo ha sido tomado de la siguiente página: http://www.wikimatematica.org/
14. Para ampliar más el tema, se recomiendan los siguientes enlaces:
www.aprendematematicas.org.mx/formularios/ti.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Integración
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial
http://www.aprendematematicas.org.mx/buscador.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=clasificacion+de+las+ecuaciones+diferenciable+or
dinarias&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fudomatematica.f
iles.wordpress.com%2F2010%2F02%2Fecuaciones-diferenciales-
ordinarias1.pdf&ei=Uv0fUYKtCMXU0gHi6oHoAw&usg=AFQjCNGKMcKkaiJDz78xSJWJaWPH
EN0FRw
www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB5.pdf
Agradecimiento a:
William Méndez, sin su apoyo e insistencia este documento jamás habría sido
escrito.
