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Ecuaciones Diferenciales para Noveles
                            Preparado por: José Acevedo Jiménez



                                                                   Dedicado a: Adela Acevedo.



  “Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es sólo porque no se dan cuenta de lo
                                                                    complicada que es la vida.”

                                                                       John Von Neumann.



Querido lector, el siguiente material ha sido elaborando pensando en aquellos
estudiantes que por una u otra razón enfrentan problemas para poder adentrarse
en el maravilloso universo del cálculo y más específicamente al mundo de las
ecuaciones diferenciales.

De antemano quiero que sepas que no existe nada que no puedas lograr siempre
y cuando te lo propongas. Muchos piensan que el cálculo es una asignatura difícil,
no voy a decir lo contrario, pero, si otros pueden aprenderlo, entonces: ¿Por qué
tu no?

Todo lo verdaderamente bueno en la vida tiene su costo. Se podría decir que
nada que realmente valga la pena es fácil de conseguir; pero al final, si ponemos
todo nuestro empeño en alcanzar eso que tanto deseamos, nuestros esfuerzos
habrán valido la pena.

Quiero que sepas que tengo fe en tu persona, de no ser así jamás me habría
tomado el tiempo para escribir este material.

¡Ánimos, tu puedes lograrlo!
Antes de iniciar nuestro viaje, es importante conocer algunos conceptos.



Ecuación: palabra que se deriva del latín aequare, que significa igualar. En
matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,
cuyos miembros aparecen tanto a la derecha como a la izquierda del signo de
igualdad (=). Toda ecuación tiene una o más variables desconocidas llamadas
incógnitas, las constantes son los datos conocidos que pueden aparecer en la
ecuación.

Ejemplo:




Ahora que sabemos que es una ecuación, es más fácil definir lo que es una
ecuación diferencial.

Ecuación Diferencial: es una ecuación en la que figuran derivadas, que están
relacionadas con una o más funciones incógnitas.

Ejemplo:




Recordemos que:




En general:
Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden o linealidad.



Según su tipo.

ED. Ordinarias: son las que contienen derivadas afines a una única variable
independiente.

Ej.:




ED. En Derivadas parciales: son las que contienen derivadas afines a dos o más
variables.



Según su orden.

Viene dado por el orden de la derivada más alta de la ecuación. Así tenemos que
la ecuación:




Es de segundo orden puesto que:        es su derivada más alta.



Según su linealidad.

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la siguiente forma:
Esto implica que:

   1)    Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de
         uno o cero.

   2)    En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable
         independiente.

   Ej.


                                         Es una ecuación lineal

Si no se cumple una de las condiciones mencionadas, entonces podemos afirmar
que la ecuación diferencial es no lineal.


                     Es no lineal, puesto que el coeficiente de   depende de



                    Es no lineal, puesto que el término   , no es de primer grado.

Dada una ecuación diferencial en su forma polinómica, se dice que su grado es la
potencia de la derivada de mayor orden presente en la ecuación.

Solución de una ecuación e.d.

Es una función que al ser cambiada o sustituida en la ecuación diferencial, en cada
caso con las derivaciones correspondientes, satisface la ecuación.



Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Al llegar a esta parte, aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de primer
orden. Existen diferentes técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, sin
embargo son tres las fundamentales: variables separables, exactas y lineales, el
resto puede, mediante una sustitución, ser transformado en una de las tres antes
mencionadas.

Ecuaciones diferenciales en variables separables

Una e.d. es de variable separable si se puede expresar de la siguiente manera:



Una vez identificada esta ecuación, se procede a resolverla siguiendo los
siguientes pasos:

    a) Expresar la e.d. de la forma:

    b) Integrar la e.d. :                                         c

    c) Si se puede, expresar la solución de manera explícita:

Ejemplos:

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

    1)                 Recordando:




Separando las variables tenemos:




Integramos ambos miembros de la ecuación:




Una vez llegado a este punto, es importante tener una noción de las integrales, a modo de reforzamiento
incluimos el siguiente enlace: www.inetor.com/
Al resolver las integrales tenemos:




Despejando     tenemos:




   2)



Separando variables, tenemos:



Integrando ambos miembros de la ecuación, nos queda:




Y finalmente despejamos a
Es posible que se estén preguntando, ¿de dónde sale la ?

Recordemos que la derivada de cualquier constante es igual a 0, supongamos que
tenemos la siguiente función: x) =             . Si la derivamos nos
queda: x) =             .

Si queremos volver a la función original debemos integrar a   x)




Como se puede ver, el 2 no figura en la función; de ahí que se agregue una
constante de integración para evitar ambigüedad.




   3)
Al resolver las integrales de ambos miembros nos queda:




Puesto que en este caso la variable                             no puede ser despejada, conviene dejar la
ecuación como está.


          Ejercicio:

          Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de separación
          de variables.




Es bueno tener presente:

          Para identificar y resolver ecuaciones diferenciales separables, resulta de
          gran ayuda repasar los diferentes casos de factorización, aprendidos en
          cursos anteriores de algebra.

A continuación incluimos un enlace de la UNAM (autor: Dr. José Manuel Becerra
Espinosa) donde se explican los diferentes casos de factorización.
http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=los+10+casos+de+factorizacion+con+ejemplos+pdf&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CFAQFjAE&url=http%3A%2F
%2Fwww.fca.unam.mx%2Fdocs%2Fapuntes_matematicas%2F07.%2520Factorizacion.pdf&ei=_dokUZKgFOmW0QHwqoCgDg&usg=AFQjCNEEQhr8jgO-
W9E9fbMKqyvWR7Z4bA
Ejemplo de ecuación diferencial no separable:

Una ecuación diferencial como la que se muestra a continuación es no separable,
pues las variables correspondientes no se pueden expresar en función de su
derivada.




                                    E.d. no separable




Método de cambio de variables

    Ecuaciones diferenciales homogéneas: se dice que una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden es homogénea si se puede expresar de la siguiente
manera:



 En estas,         y          representan funciones homogéneas del mismo
grado. Para resolver este tipo de ecuaciones usamos el método de cambio de
variables para luego transformarla en una ecuación en la que se pueden separar
sus variables.

Ejemplo:

   1)
Como se observa, no podemos separar las variables en términos de sus derivadas
correspondientes. Para resolver la ecuación, hacemos lo siguiente:



Luego, derivando   tenemos:



Ahora podemos sustituir a   ya    en:



Para obtener:




Como se puede ver, la ecuación original ha sido transformada a una ecuación
diferencial de variables separables.




Integrando ambos miembros de la igualdad tenemos:
Al resolver las integrales, nos queda:




Como:



Al despejar   tenemos que:




Finalmente sustituimos a , en la última igualdad, tenemos:




Ecuaciones diferenciales exactas.

Una ecuación diferencial es exacta si tiene la siguiente forma:




En estas se debe cumplir siempre que:




Ejemplo:

   1)

Hacemos                   y
Si derivamos      respecto a   tenemos:




Si derivamos           respecto a   tenemos:




Por lo tanto:          y podemos decir que la ecuación diferencial es exacta.

Obsérvese que hemos introducido una nueva nomenclatura para indicar las
derivadas. Usamos      en vez de    , esto nos indica que estamos trabajando con
derivadas parciales.

Solución 1
Solución 2




Nota: El ejemplo ha sido tomado de la siguiente página: http://www.wikimatematica.org/
Para ampliar más el tema, se recomiendan los siguientes enlaces:


www.aprendematematicas.org.mx/formularios/ti.pdf



http://es.wikipedia.org/wiki/Integración



http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial



http://www.aprendematematicas.org.mx/buscador.html



http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada



http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=clasificacion+de+las+ecuaciones+diferenciable+or
dinarias&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fudomatematica.f
iles.wordpress.com%2F2010%2F02%2Fecuaciones-diferenciales-
ordinarias1.pdf&ei=Uv0fUYKtCMXU0gHi6oHoAw&usg=AFQjCNGKMcKkaiJDz78xSJWJaWPH
EN0FRw



www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB5.pdf



Agradecimiento a:

William Méndez, sin su apoyo e insistencia este documento jamás habría sido
escrito.

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Ecuaciones Diferenciales

  • 1. Ecuaciones Diferenciales para Noveles Preparado por: José Acevedo Jiménez Dedicado a: Adela Acevedo. “Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es sólo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.” John Von Neumann. Querido lector, el siguiente material ha sido elaborando pensando en aquellos estudiantes que por una u otra razón enfrentan problemas para poder adentrarse en el maravilloso universo del cálculo y más específicamente al mundo de las ecuaciones diferenciales. De antemano quiero que sepas que no existe nada que no puedas lograr siempre y cuando te lo propongas. Muchos piensan que el cálculo es una asignatura difícil, no voy a decir lo contrario, pero, si otros pueden aprenderlo, entonces: ¿Por qué tu no? Todo lo verdaderamente bueno en la vida tiene su costo. Se podría decir que nada que realmente valga la pena es fácil de conseguir; pero al final, si ponemos todo nuestro empeño en alcanzar eso que tanto deseamos, nuestros esfuerzos habrán valido la pena. Quiero que sepas que tengo fe en tu persona, de no ser así jamás me habría tomado el tiempo para escribir este material. ¡Ánimos, tu puedes lograrlo!
  • 2. Antes de iniciar nuestro viaje, es importante conocer algunos conceptos. Ecuación: palabra que se deriva del latín aequare, que significa igualar. En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, cuyos miembros aparecen tanto a la derecha como a la izquierda del signo de igualdad (=). Toda ecuación tiene una o más variables desconocidas llamadas incógnitas, las constantes son los datos conocidos que pueden aparecer en la ecuación. Ejemplo: Ahora que sabemos que es una ecuación, es más fácil definir lo que es una ecuación diferencial. Ecuación Diferencial: es una ecuación en la que figuran derivadas, que están relacionadas con una o más funciones incógnitas. Ejemplo: Recordemos que: En general:
  • 3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden o linealidad. Según su tipo. ED. Ordinarias: son las que contienen derivadas afines a una única variable independiente. Ej.: ED. En Derivadas parciales: son las que contienen derivadas afines a dos o más variables. Según su orden. Viene dado por el orden de la derivada más alta de la ecuación. Así tenemos que la ecuación: Es de segundo orden puesto que: es su derivada más alta. Según su linealidad. Una ecuación diferencial es lineal si tiene la siguiente forma:
  • 4. Esto implica que: 1) Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. 2) En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. Ej. Es una ecuación lineal Si no se cumple una de las condiciones mencionadas, entonces podemos afirmar que la ecuación diferencial es no lineal. Es no lineal, puesto que el coeficiente de depende de Es no lineal, puesto que el término , no es de primer grado. Dada una ecuación diferencial en su forma polinómica, se dice que su grado es la potencia de la derivada de mayor orden presente en la ecuación. Solución de una ecuación e.d. Es una función que al ser cambiada o sustituida en la ecuación diferencial, en cada caso con las derivaciones correspondientes, satisface la ecuación. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Al llegar a esta parte, aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Existen diferentes técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, sin embargo son tres las fundamentales: variables separables, exactas y lineales, el
  • 5. resto puede, mediante una sustitución, ser transformado en una de las tres antes mencionadas. Ecuaciones diferenciales en variables separables Una e.d. es de variable separable si se puede expresar de la siguiente manera: Una vez identificada esta ecuación, se procede a resolverla siguiendo los siguientes pasos: a) Expresar la e.d. de la forma: b) Integrar la e.d. : c c) Si se puede, expresar la solución de manera explícita: Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. 1) Recordando: Separando las variables tenemos: Integramos ambos miembros de la ecuación: Una vez llegado a este punto, es importante tener una noción de las integrales, a modo de reforzamiento incluimos el siguiente enlace: www.inetor.com/
  • 6. Al resolver las integrales tenemos: Despejando tenemos: 2) Separando variables, tenemos: Integrando ambos miembros de la ecuación, nos queda: Y finalmente despejamos a
  • 7. Es posible que se estén preguntando, ¿de dónde sale la ? Recordemos que la derivada de cualquier constante es igual a 0, supongamos que tenemos la siguiente función: x) = . Si la derivamos nos queda: x) = . Si queremos volver a la función original debemos integrar a x) Como se puede ver, el 2 no figura en la función; de ahí que se agregue una constante de integración para evitar ambigüedad. 3)
  • 8. Al resolver las integrales de ambos miembros nos queda: Puesto que en este caso la variable no puede ser despejada, conviene dejar la ecuación como está. Ejercicio: Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de separación de variables. Es bueno tener presente: Para identificar y resolver ecuaciones diferenciales separables, resulta de gran ayuda repasar los diferentes casos de factorización, aprendidos en cursos anteriores de algebra. A continuación incluimos un enlace de la UNAM (autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa) donde se explican los diferentes casos de factorización. http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=los+10+casos+de+factorizacion+con+ejemplos+pdf&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CFAQFjAE&url=http%3A%2F %2Fwww.fca.unam.mx%2Fdocs%2Fapuntes_matematicas%2F07.%2520Factorizacion.pdf&ei=_dokUZKgFOmW0QHwqoCgDg&usg=AFQjCNEEQhr8jgO- W9E9fbMKqyvWR7Z4bA
  • 9. Ejemplo de ecuación diferencial no separable: Una ecuación diferencial como la que se muestra a continuación es no separable, pues las variables correspondientes no se pueden expresar en función de su derivada. E.d. no separable Método de cambio de variables Ecuaciones diferenciales homogéneas: se dice que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea si se puede expresar de la siguiente manera: En estas, y representan funciones homogéneas del mismo grado. Para resolver este tipo de ecuaciones usamos el método de cambio de variables para luego transformarla en una ecuación en la que se pueden separar sus variables. Ejemplo: 1)
  • 10. Como se observa, no podemos separar las variables en términos de sus derivadas correspondientes. Para resolver la ecuación, hacemos lo siguiente: Luego, derivando tenemos: Ahora podemos sustituir a ya en: Para obtener: Como se puede ver, la ecuación original ha sido transformada a una ecuación diferencial de variables separables. Integrando ambos miembros de la igualdad tenemos:
  • 11. Al resolver las integrales, nos queda: Como: Al despejar tenemos que: Finalmente sustituimos a , en la última igualdad, tenemos: Ecuaciones diferenciales exactas. Una ecuación diferencial es exacta si tiene la siguiente forma: En estas se debe cumplir siempre que: Ejemplo: 1) Hacemos y
  • 12. Si derivamos respecto a tenemos: Si derivamos respecto a tenemos: Por lo tanto: y podemos decir que la ecuación diferencial es exacta. Obsérvese que hemos introducido una nueva nomenclatura para indicar las derivadas. Usamos en vez de , esto nos indica que estamos trabajando con derivadas parciales. Solución 1
  • 13. Solución 2 Nota: El ejemplo ha sido tomado de la siguiente página: http://www.wikimatematica.org/
  • 14. Para ampliar más el tema, se recomiendan los siguientes enlaces: www.aprendematematicas.org.mx/formularios/ti.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Integración http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial http://www.aprendematematicas.org.mx/buscador.html http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada http://www.google.com.do/url?sa=t&rct=j&q=clasificacion+de+las+ecuaciones+diferenciable+or dinarias&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fudomatematica.f iles.wordpress.com%2F2010%2F02%2Fecuaciones-diferenciales- ordinarias1.pdf&ei=Uv0fUYKtCMXU0gHi6oHoAw&usg=AFQjCNGKMcKkaiJDz78xSJWJaWPH EN0FRw www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB5.pdf Agradecimiento a: William Méndez, sin su apoyo e insistencia este documento jamás habría sido escrito.