Diagramas de BODE

1. EJERCICIO UNO

2. TRAZO DEL DIAGRAMA DE BODE

3. Escalamiento de la hoja semi-
logarítmica
ESCALAMIENTO DE FRECUENCIAS
Para establecer el rango de frecuencia a utilizar se toma la
menor frecuencia de corte y la máxima frecuencia de corte
de los factores presentes en la función de transferencia de
lazo abierto. La frecuencia menor se divide entre 10 y la
mayor se multiplica por 10. En nuestro caso tenemos 2 y 8
rad/s que resultan dar 0.2 y 80 rad/s. Estas frecuencias deben
quedar centradas en nuestra de escala, así que el rango de
trabajo de frecuencias es 0.1 a 1000 rad/s para un papel
semilogarítmico de 4 ciclos.

4. Escalamiento de la hoja
semilogarítmica
ESCALAMIENTO DE LA MAGNITUD EN DB
El límite superior lo determina la ganancia y los polos en el
origen. La ganancia es 12 db y el polo en el origen en el
valor de frecuencia de 0.1 rad/s es 20 db, es decir,
−20*log(0.1) = 20db; del forma que suma nos 12db + 20db
= 32 db.
Para el límite inferior, no se tiene una manera precisa de
cómo calcularlo; por lo que, se recomienda analizar la
cantidad de polos en el origen y polos reales para tener idea
de cuanto sería el mínimo en db en la frecuencia de corte
mayor.

5. Escalamiento de la hoja
semilogarítmica
ESCALAMIENTO DE LA FASE EN GRADOS
El límite superior se obtiene al contabilizar los ceros en el origen
y ceros reales presentes en la función de transferencia. En nuestro
ejemplo tenemos solo un cero real, por lo tanto alcanzará un
desfasamiento de 90° en la frecuencia 20 rad/s.
El límite inferior se obtiene al contabilizar los polos en el origen
y polos reales presente en la función de lazo abierto. Se tiene dos
elementos, por lo cual en frecuencias mayor e igual a 80 rad/s se
tendrá un desfasamiento de −180°.
De lo anterior se tiene el rango de −180° a 90°.

6. Análisis de curvas de ganancia
La ganancia K=4 su
equivalente en decibeles es
20*log(4)=12db.
Es una línea horizontal en la
gráfica.
Cero real
Tiene una frecuencia de corte
ω1 = 2 rad/s. A partir de esta
frecuencia se tiene una
pendiente de 20db/déc.
Polo en el origen
Mdb=−20*log(ω)
Polo real
Tiene una frecuencia de corte
de 8 rad/s. A partir de esta
frecuencia se tiene una
pendiente de −20db/déc.

7. Curva resultante de ganancia
En la frecuencia de 0.1 rad/s, la suma de los valores
iniciales de las curvas es:
12 db + 20 db + 0 db + 0 db=32db
Se analizan las pendientes entre el rango de 0.1 rad/s a
la primer frecuencia de corte (2 rad/s) que resulta ser
0 db/déc – 20 db/déc + 0 db/déc + 0 db/déc = – 20db/déc.
Utilizamos la siguiente fórmula
32db – 20*log(2/0.1) = 6db

8. Curva resultante de ganancia
Se pasa a analizar las pendientes entre la primer frec. de
corte (2 rad/s) y segunda frec. de corte (8 rad/s). La
suma de pendiente en esta rango son:
0 db/déc – 20 db/déc + 20db/déc + 0 db/déc = 0 db/déc
Ahora, calculamos el valor en la frecuencia de 8 rad/s
6 db + 0*log(8/2) = 6 db
El rango final es 8 a 1000 rad/s
0 db/déc – 20db/déc + 20db/déc – 20db/déc = – 20 db/déc
Y el valor en la frecuencia de 1000 rad/s
6 db – 20 *log(1000/8) = – 36 db

9. 0.1
1 10 100 100040db
20db
0db
-20db
-40db
-60db
-80db
-100db
-180°
-90°
0°
90°

10. Análisis de las curvas de fase
Cero real
Para valores de frecuencia
menor a 0.2 rad/s, se tiene
una fase de 0°. En el rango
de frecuencias de 0.2 a 20
rad/s existe una pendiente de
45°/déc. y alcanza un valor
de 90° en la frecuencia de 20
rad/s.
Polo en el origen
Conserva una fase constante de
−90°.
Polo real
Para valores de frecuencia
menor a 0.8 rad/s , se tiene
una fase de 0°. En el rango
de frecuencias de 0.8 a 80
rad/s existe una pendiente
de −45°/déc. y alcanza un
valor mínimo de −90° en
la frecuencia de 80 rad/s.

11. Curva resultante de fase
Se inicia con la suma de los valores iniciales de las
curvas, como sigue:
0° - 90° + 0° = -90°
Ahora se segmenta el rango de frecuencias de 0.1 a 0.2
rad/s y analizamos las pendientes como:
0°/déc + 0°/déc + 0°/déc = 0°/déc
Se calcula el ángulo en la frecuencia de 0.2 rad/s.
-90° + 0°*log(0.2/0.1) = -90°

12. Curva resultante de fase
Se segmenta de 0.2 a 0.8 rad/s y analizamos las
pendientes como:
45°/déc + 0°/déc + 0°/déc = 45°/déc
Se calcula el ángulo en la frecuencia de 0.8 rad/s.
-90° + 45°*log(0.8/0.2) = -63°
El siguiente segmento es 0.8 a 20 rad/s y la mecánica se
repite.
45°/déc + 0°/déc - 45°/déc = 0°/déc
Y el ángulo es:
-63° + 0°*log(20/0.8) = -63°

13. Curva resultante de fase
Segmento de 20 a 80 rad/s y la mecánica se repite.
0°/déc + 0°/déc - 45°/déc = -45°/déc
Y el ángulo es:
-63° - 45°*log(80/20) = -90°
Y a partir de la frecuencia de 80 rad/s no cambia la fase.

14. 0.1
1 10 100 100040db
20db
0db
-20db
-40db
-60db
-80db
-100db
-180°
-90°
0°
90°