Control y simulacion de procesos

1. 4.1)
La función de transferencia presentada por el ejercicio es:
Y(s)
U(s)
=
d
bs + c
Hacemos uso del algebra para obtener una función de transferencia de primer orden igual a las vistas en el curso
Y(s)
U(s)
=
d
c [
b
c
s + 1]
Y(s)
U(s)
=
d
c
[
b
c
s + 1]
a) La Ganancia
K =
d
c
Constante de tiempo
τ =
b
c
Dejando en función de las variables antes definidas
Y(s)
U(s)
=
K
[τs + 1]

2. b) Si la entrada es perturbada con un cambio escalón de magnitud M
Y(s) =
K
[τs + 1]
M
s
4.2)
Y(s)
U(s)
=
3e−s
[10s + 1]
a) La ganancia de estado estacionaria

3. K = 3
b) Constante de tiempo
τ = 10
c) Si U(s) = 4/s, cuál es el valor de la variable de salida cuando el tiempo tiende a infinito
Y(s) =
3e−s
[10s + 1]
4
s
Ampliamos en fracciones parciales
1
s [10s + 1]
=
A
s
+
B
10s + 1
A = lim
S→0
s (
1
s [10s + 1]
)
A = lim
S→0
(
1
[10s + 1]
) =
1
[10(0) + 1]
= 1
B = lim
S→ −
1
10
(10s + 1) (
1
s [10s + 1]
)
B = lim
S→ −
1
10
(
4
s
) =
1
−
1
10
= −10

4. 1
s [10s + 1]
=
1
s
+
−10
10s + 1
Laplace inverso
y(t) = (3x4) (1 − e−
(t−1)
10 ) H(t − 1)
y(t) = 12 (1 − e−
(t−1)
10 ) H(t − 1)
d) El valor de y(t) cuando t=10 y además la salida expresada como fracción del nuevo estado estacionario
y(t) = 12(1 − e−
(10−1)
10 ) H(10 − 1)
y(t) = 7,121
% =
7,121
12
0,5934
e) Si U(s) = (1 − e−s)/s, cuál es la salida cuando el tiempo tiende a infinito
Y(s) =
3e−s
[10s + 1]
(1 − e−s)
s
Y(s) =
3e−s
s [10s + 1]
−
3e−2s
s [10s + 1]
Y(s) = 3e−s (
1
s [10s + 1]
) − 3e−2s (
1
s [10s + 1]
)

5. Expandimos en fraccionesparcialesel término
1
s [10s + 1]
=
A
s
+
B
10s + 1
De manera análoga al ejercicio anterior se calculan las constantes A y B
1
s [10s + 1]
=
1
s
+
−10
10s + 1
Ahora aplicamos Laplace inverso y la respuesta de salida queda de la siguiente manera
y(t) = 3 (1 − e−
(t−1)
10 ) H(t − 1) − 3 (1 − e−
(t−2)
10 ) H(t − 2)
y(t) = 3[(1 − e−
(t−1)
10 ) H(t − 1) − (1 − e−
(t−2)
10 ) H(t − 2)]
f) Si u(t) = δ(t) es la función impulso unitario en tiempo cero, cual es la salida si el tiempo tiende a infinito
U(s) = 1
Y(s) =
3e−s
[10s + 1]
Aplicando Laplace inverso
y(t) =
3
10
(e−
(t−1)
10 ) H(t − 1)
g) Si u(t) = 5 sin(2t), valor de y(t) cuando el tiempo tiende a infinito

6. U(s) =
5 (2)
s2 + 22 =
5(2)
s2 + 4
Y(s) =
3e−s
[10s + 1]
5(2)
s2 + 4
s2 + 4 = 0
s2 = −4
s = √−4 = ±2i
K
[τs + 1]
Aw
s2 + w2 =
A1
τs + 1
+
A2
s − wi
+
A3
s + wi
A1 = lim
S→−
1
10
(τs + 1) (
K Aw
[τs + 1] [s2 + w2]
)
A1 = lim
S→−
1
τ
(
1
[s2 + w2]
) =
(
1
[(−
1
τ
)
2
+ w2]
)
A1 =
1
[
1
τ2 + w2 ]
=
K Aw τ2
1 + w2τ2

7. Para las raíces imaginarias se procede de la siguiente manera
A3 = lim
S→−iw
(s + wi) (
K Aw
[τs + 1] (s + wi)(s − wi)
)
A3 = lim
S→−iw
(
K Aw
[τs + 1] (s − iw)
) =
K Aw
[τ(−iw) + 1] (−iw − iw)
=
K Aw
[−τiw + 1] (−2iw)
A3 =
K Aw
2τi2w2 − 2iw
=
K Aw
−2τw2 − 2iw
∗
−2τw2 + 2iw
−2τw2 + 2iw
=
−2τKAw3 + 2KAw2i
4τ2w4 + 4w2
A2 =
2w2
4w2
(
−τKAw + KAi
τ2w2 + 1
) =
1
2
−τKAw + KAi
τ2w2 + 1
A3 = lim
S→ iw
(s − wi) (
K Aw
[τs + 1] (s + wi)(s − wi)
)
A2 = lim
S→ iw
(
K Aw
[τs + 1] (s + wi)
) =
K Aw
[(τ iw + 1] (iw + iw)
=
K Aw
[(τ iw + 1] (2iw)
A2 =
K Aw
2τi2w2 + 2iw
=
K Aw
−2τw2 + 2iw
∗
−2τw2 − 2iw
−2τw2 − 2iw
=
−2τKAw3 − 2KAw2i
4τ2w4 + 4w2
A2 =
2w2
4w2
(
−τKAw − KAi
τ2w2 + 1
) =
1
2
−τKAw − KAi
τ2w2 + 1

8. Para par de raíces conjugadas
A2
s − ρ − wi
+
A3
s − ρ + wi
=
(A2 + A3)(s − ρ)
(s − ρ)2 + w2 +
i(A2 − A3) w
(s − ρ)2 + w2
(A2 + A3)(s − ρ)
(s − ρ)2 + w2 +
i(A2 − A3) w
(s − ρ)2 + w2 =
B(s − ρ)
(s − ρ)2 + w2 +
C w
(s − ρ)2 + w2
Pero
ρ = 0
Se reduce a lo siguiente
A2
s − wi
+
A3
s + wi
=
B(s)
(s)2 + w2 +
C w
(s)2 + w2
Donde
B = A2 + A3
C = i(A2 − A3)
B =
1
2
−τKAw + KAi
τ2w2 + 1
+
1
2
−τKAw − KAi
τ2w2 + 1

9. B =
−τKAw
τ2w2 + 1
C = i(
1
2
−τKAw − KAi
τ2w2 + 1
−
1
2
−τKAw + KAi
τ2w2 + 1
)
C = i (
1
2
−τKAw − KAi
τ2w2 + 1
+
1
2
τKAw − KAi
τ2w2 + 1
)
C = i(
−KAi
τ2w2 + 1
) =
−KAi2
τ2w2 + 1
=
KA
τ2w2 + 1
K
[τs + 1]
Aw
s2 + w2 =
A1
τs + 1
+
B(s)
(s)2 + w2 +
C w
(s)2 + w2
K
[τs + 1]
Aw
s2 + w2 =
K Aw τ2
1 + w2τ2
τs + 1
+
−τKAw
τ2w2 + 1
(s)
(s)2 + w2 +
KA
τ2w2 + 1
w
(s)2 + w2
Sacando factor común
K
[τs + 1]
Aw
s2 + w2 =
K A
1 + w2τ2
(
w τ2
τs + 1
−
swτ
s2 + w2 +
w
s2 + w2
)

10. Aplicando Laplace inverso
K A
1 + w2τ2
(wτ e−
t
τ − wτcos(wt) + sen(wt))
Ahora con el retardo la respuesta correspondiente viene dada por la siguiente ecuación
y(t) =
K A
1 + w2τ2
(wτ e−
(t−1)
τ − wτcos(w(t− 1)) + sen(w(t− 1))) H(t − 1)
Si reemplazamoslos valores
τ = 10
w = 2
K = 3
A = 5
y(t) =
3 (5)
1 + 22102
(2(10) e−
(t−1)
10 − 2(10) cos(2(t − 1)) + sen(2(t − 1)))H(t − 1)
y(t) =
15
401
(20 e−
(t−1)
10 − 20 cos(2(t − 1)) + sen(2(t − 1)))H(t − 1)

11. 4.3)
P′
m(s)
P′(s)
=
1
30s + 1
P cambia desde 35 a 50 psi
P′ = 50 − 35 = 15
Si aplicamos la transformada de Laplace
P′(s) =
15
s
P′
m(s) =
1
30s + 1
15
s
Al observar la expresión nos damos cuenta que tiene la forma de una función de transferencia de primer orden
con una entrada escalón y su respuesta en el dominio del tiempo es
P′
m = 15 (1 − e−
t
30)
Esta respuesta se encuentra en variables de desviaciónpor lo tanto debemos sumar el estado estacionario para
obtener la respuesta real
Pm − 35 = 15 (1 − e−
t
30)
Pm = 15 (1 − e−
t
30) + 35
Tiempo cuando la presión excede los 45 psi

12. 45 = 15 (1 − e−
t
30) + 35
Despejando para la variable t
−
45 − 35
15
− 1 = e−
t
30
ln(−
45 − 35
15
+ 1) = −
t
30
−30 ln(−
2
3
+ 1) = t
32,958 seg = t
4.4)
Y(s)
U(s)
=
3e−s
[10s + 1]
Si

13. y(0) = 4
u(t) = 2
10s Y(s) + Y(s) = 3e−sU(s)
Laplace inverso
10
dy
dt
+ y = 3 u(t − 1)
Aplicando Laplace pero teniendo en cuenta que y(0) = 4 y u(t) = 2
10(sY(s) − y(0)) + Y(s) =
6
s
e−s
10(sY(s) − 4) + Y(s) =
6
s
e−s
10sY(s) − 40 + Y(s) =
6
s
e−s
10sY(s) + Y(s) =
6
s
e−s + 40
Y(s)[10s + 1] =
6
s
e−s + 40

14. Y(s) =
6
s [10s + 1]
e−s +
40
[10s + 1]
El primer término tiene la forma de una función de transferencia de primer orden de entrada escalón con retardo (se
aplica la formula característica a esta función de transferencia) y el segundo término sale directamente de tablas
y(t) = 6 (1 − e−
t−1
10 ) H(t − 1) + 4 e−
t
10
4.5)
Sistema de ecuacionesdiferenciales lineales
dy1
dt
= −y1 −
3
2
y2 + u1
dy2
dt
= 4y1 − 6y2 + 2u1 + 4u2
Laplace
Ecuación 1
s Y1(s) = −Y1(s) −
3
2
Y2(s) + U1(s)
Y1(s)[s + 1] +
3
2
Y2(s) = U1(s)
Y1(s) =
U1(s)
[s + 1]
−
3
2
Y2(s)
[s + 1]

15. Ecuación 2
s Y2(s) = 4Y1(s) − 6Y2(s)+ 2U1(s) + 4U2(s)
Y2(s)[s + 6] − 4Y1(s) = 2U1(s) + 4U2(s)
Y2(s) = 2
U1(s)
[s + 6]
+ 4
U2(s)
[s + 6]
+ 4
Y1(s)
[s + 6]
Y2(s) = 2
U1(s)
[s + 6]
+ 4
U2(s)
[s + 6]
+ 4
[
U1(s)
[s + 1] −
3
2
Y2(s)
[s + 1]
]
[s + 6]
Y2(s) = 2
U1(s)
[s + 6]
+ 4
U2(s)
[s + 6]
+
4 U1(s)
[s + 1 ] [s + 6]
−
6 Y2(s)
[s + 1] [s + 6]
[Y2(s)+
6 Y2(s)
[s + 1] [s + 6]
] = 2
U1(s)
[s + 6]
+ 4
U2(s)
[s + 6]
+
4 U1(s)
[s + 1 ] [s + 6]
Y2(s)[1 +
6
[s + 1] [s + 6]
] = 2
U1(s)
[s + 6]
+ 4
U2(s)
[s + 6]
+
4 U1(s)
[s + 1 ] [s + 6]
Y2(s)[
[s + 1] [s + 6] + 6
[s + 1] [s + 6]
] = 2
U1(s)
[s + 6]
+ 4
U2(s)
[s + 6]
+
4 U1(s)
[s + 1 ] [s + 6]

16. Y2(s)[[s + 1] [s + 6] + 6] = 2 (s + 1)U1(s) + 4(s + 1)U2(s) + 4 U1(s)
Y2(s)[s2 + 7s + 12] = 2 (s + 1)U1(s) + 4(s + 1)U2(s) + 4 U1(s)
Y2(s) =
2(s + 1)U1(s)
[s2 + 7s + 12]
+
4(s + 1)U2(s)
[s2 + 7s + 12]
+
4U1(s)
[s2 + 7s + 12]
Y2(s) =
2(s + 3)U1(s)
[s2 + 7s + 12]
+
4(s + 1)U2(s)
[s2 + 7s + 12]
Y2(s) =
2(s + 3)U1(s)
(s + 3)(s + 4)
+
4(s + 1)U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Y2(s) =
2U1(s)
(s + 4)
+
4(s + 1)U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Ahora reemplazamos Y2(s) en la ecuación 1
Y1(s) =
U1(s)
[s + 1]
−
3
2
[
2U1(s)
(s + 4) +
4(s + 1)U2(s)
(s + 3)(s + 4)
]
[s + 1]
Y1(s) =
U1(s)
[s + 1]
−
3
2 [s + 1]
[
2U1(s)
(s + 4)
+
4(s + 1)U2(s)
(s + 3)(s + 4)
]
Y1(s) =
U1(s)
[s + 1]
−
3 U1(s)
(s + 4)(s + 1)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)

17. Y1(s) =
U1(s) (s + 4)(s + 1) − 3(s + 1)U1(s)
(s + 4)(s + 1)(s + 1)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Y1(s) =
U1(s)[ (s + 4)(s + 1) − 3(s + 1)]
(s + 4)(s + 1)(s + 1)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Y1(s) =
U1(s)[ s2 + 5s + 4 − 3s − 3]
(s + 4)(s + 1)(s + 1)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Y1(s) =
U1(s)[ s2 + 2s + 1]
(s + 4)(s + 1)(s + 1)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Y1(s) =
U1(s)[ (s + 1) (s + 1)]
(s + 4)(s + 1)(s + 1)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Y1(s) =
U1(s)
(s + 4)
−
6 U2(s)
(s + 3)(s + 4)
Función 1
Si
U2(s) = 0
La función de transferencia para Y1 es
Y1(s)
U1(s)
=
1
(s + 4)

18. Si
U1(s) = 0
La función de transferencia para Y1 es
Y1(s)
U2(s)
= −
6
(s + 3)(s + 4)
Función 2
Si
U2(s) = 0
La función de transferencia para Y2 es
Y2(s)
U1(s)
=
2
(s + 4)
Si
U1(s) = 0
La función de transferencia para Y2 es
Y1(s)
U2(s)
=
4(s + 1)
(s + 3)(s + 4)

19. 4.6)
X′(s)
Xi
′
(s)
=
K
τs + 1
Datos del ejercicio
K = 0,6
τ = 10
x
̅ = 0,3
Entrada
xi
′(t) = 1,5
Transformada Laplace entrada
Xi
′
(s) = 1,5
Función de transferencia
X′(s) =
0,6 (1,5)
10s + 1
Laplace inverso
x′(t) = (0,6
1,5
10
) e−
t
10
Debemos recordar que la salida se encuentra en variables de desviación
x′(t) = x(t) − x
̅

20. x(t) − x
̅ = (0,6
1,5
10
)e−
t
10
x(t) = [(0,6
1,5
10
) e−
t
10] + x
̅
a) X(0)
x(0) = (0,6
1,5
10
)e−
0
10 + 0,3
x(0) = (0,6
1,5
10
) + 0,3
x(0) = 0,39
b) Usando el teorema del valor inicial determinar x(0)
lim
t→0
x′(t) = lim
s→∞
s X′(s)
lim
t→0
x′(t) = lim
s→∞
s (
0,6 (1,5)
10s + 1
)
lim
t→0
x′(t) = lim
s→∞
(
0,9s
10s + 1
)

21. x′(0) = lim
s→∞
(
0,9s
10s + 1
) = lim
s→∞
(
0,9s
s
10s
s
+
1
s
) = lim
s→∞
(
0,9
10 +
1
s
)
x′(0) =
0,9
10 +
1
∞
=
0,9
10
= 0,09
x′(0) = x(0) − x
̅
x′(0)+ x
̅ = x(0)
x(0) = 0,09 + 0,3 = 0,39
c) Si el proceso se encuentra inicialmente en estado estacionario x
̅ = 0,3, cual es el valor de x(0)
El estado estacionario se refiere al tiempo cero (t=0)
x(0) = x
̅ = 0,3
4.7)
dH
dt
= L0 + V2 − (L1 + V1) = L0 + V2 − L1 − V1
dH
dt
= L0 + V2 − L1 − V1

22. L1 = L0 y V1 = V2
dH
dt
= L0 + V2 − L0 − V2
Al ser H constante
dH
dt
= 0
dHx1
dt
= L0x0 + V2y2 − L1x1 − V1y1
Podemos sacarla del diferencial
H
dx1
dt
= L0x0 + V2y2 − L1x1 − V1y1
y1 = a0 + a1x1 + a2x1
2 + a3x1
3
Variables de desviación
x1
′ = x1 − x1
̅
y1
′ = y1 − y1
̅
x0
′ = x0 − x0
̅̅̅
y2
′ = y2 − y2
̅̅̅
Linealizando

23. H
dx1
′
dt
= [
∂f1
∂x1
∂f1
∂y1
] [
x1
′
y1
′] + [
∂f1
∂x0
∂f1
∂y2
] [
x0
′
y2
′]
H
dx1
′
dt
=
∂f1
∂x1
x1
′ +
∂f1
∂y1
y1
′ +
∂f1
∂x0
x0
′ +
∂f1
∂y2
y2
′
H
dx1
′
dt
= −[L1
̅̅̅ ]x1
′ − [ V1
̅̅̅]y1
′ + [L0
̅̅̅]x0
′ + [V2
̅̅̅]y2
′
y1
′ =
∂f2
∂x
x1
′
y1
′ = a1x1
′ + 2a2x1
̅ x1
′ + 3a3x1
̅ 2
x1
′
y1
′ = [a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]x1
′
Aplicando Laplace a la ecuación diferencial
sX1
′(s)H = −L1
̅̅̅X1
′(s) − V1
̅̅̅Y1
′(s)+ L0
̅̅̅X0
′ (s) + V2
̅̅̅Y2
′(s)
La variable y1 se relaciona con x1 por medio de la ecuaciónTAL, al aplicarle la transformada de laplace se obtiene lo
siguiente:
Y1
′
(s) = [a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]X1
′
(s)
L1
̅̅̅ = L0
̅̅̅ y V1
̅̅̅ = V2
̅̅̅
sX1
′(s)H = −L1
̅̅̅X1
′(s) − V1
̅̅̅Y1
′(s) + L1
̅̅̅X0
′ (s) + V1
̅̅̅Y2
′(s)

24. La función de transferencia para X1
′(s)/X0
′ (s) se obtiene de la siguiente manera
sX1
′(s)H = −L1
̅̅̅X1
′(s) + L1
̅̅̅X0
′ (s) − V1
̅̅̅[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]X1
′
(s)
sX1
′(s)H + L1
̅̅̅X1
′(s) + V1
̅̅̅[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3 x1
̅ 2
]X1
′
(s) = L1
̅̅̅X0
′ (s)
X1
′(s)[ sH + L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)] = L1
̅̅̅X0
′ (s)
X1
′ (s)
X0
′ (s)
=
L1
̅̅̅
[sH + +L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)]
X1
′(s)
X0
′ (s)
=
L1
̅̅̅
( L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
) )[s
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]
X1
′ (s)
X0
′ (s)
=
L1
̅̅̅
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3 x1
̅ 2)
[s(
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
) + 1]
τ =
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
y p =
1
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
X1
′ (s)
X0
′ (s)
=
L1
̅̅̅ p
[τs + 1]
La función de transferencia para X1
′(s)/Y2
′(s) se obtiene de la siguiente manera

25. sX1
′(s)H = −L1
̅̅̅X1
′(s) − V1
̅̅̅Y1
′(s) + L1
̅̅̅X0
′ (s) + V1
̅̅̅Y2
′(s)
sX1
′(s)H + L1
̅̅̅X1
′ (s) + V1
̅̅̅[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]X1
′
(s) = V1
̅̅̅Y2
′(s)
X1
′(s) [sH + L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]] = V1
̅̅̅Y2
′ (s)
X1
′(s) =
V1
̅̅̅Y2
′(s)
( L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
) )[s
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]
X1
′(s)
Y2
′(s)
=
V1
̅̅̅
( L1
̅̅̅+ V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2) )
[s
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]
τ =
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
y p =
1
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
X1
′ (s)
Y2
′(s)
=
V1
̅̅̅ p
[τs + 1]
La función de transferencia para Y1
′(s)/X0
′ (s) se obtiene de la siguiente manera
sX1
′(s)H = −L1
̅̅̅X1
′(s) − V1
̅̅̅Y1
′(s) + L1
̅̅̅X0
′ (s) + V1
̅̅̅Y2
′(s)
Y1
′
(s) = [a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]X1
′
(s)

26. sY1
′(s)
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
H = −L1
̅̅̅
Y1
′(s)
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
− V1
̅̅̅Y1
′(s) + L1
̅̅̅X0
′ (s)
Y1
′(s)[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3 x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅] = L1
̅̅̅X0
′ (s)
Y1
′(s) =
L1
̅̅̅X0
′ (s)
[
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅]
[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅
+ 1
]
Y1
′(s) =
L1
̅̅̅X0
′ (s)
[
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅]
[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅
+ 1
]
Y1
′(s) =
L1
̅̅̅X0
′ (s)
[
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2)
a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2)
a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
+ 1
]
Y1
′(s) =
(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
L1
̅̅̅ X0
′ (s)
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3 x1
̅ 2)
[
sH
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]

27. Y1
′(s)
X0
′ (s)
=
(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
L1
̅̅̅
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2)
[
sH
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]
τ =
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
y p =
1
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
Y1
′(s)
X0
′ (s)
=
(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2) L1
̅̅̅ p
[τ s + 1]
La función de transferencia para Y1
′(s)/Y2
′(s) se obtiene de la siguiente manera
sX1
′(s)H = −L1
̅̅̅X1
′(s) − V1
̅̅̅Y1
′(s) + L1
̅̅̅X0
′ (s) + V1
̅̅̅Y2
′(s)
Y1
′
(s) = [a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]X1
′
(s)
s
Y1
′
(s)
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
H = −L1
̅̅̅
Y1
′
(s)
[a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
− V1
̅̅̅Y1
′(s) + V1
̅̅̅Y2
′(s)
Y1
′(s)[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅] = V1
̅̅̅Y2
′(s)
Y1
′(s) =
V1
̅̅̅Y2
′(s)
[
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅]
[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅
+ 1
]

28. Y1
′(s) =
V1
̅̅̅Y2
′(s)
[
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅]
[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
L1
̅̅̅
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
]
+ V1
̅̅̅
+ 1
]
Y1
′(s) =
V1
̅̅̅Y2
′(s)
[
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2)
a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
[
sH
[a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2 ]
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2)
a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
+ 1
]
Y1
′(s) =
(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
V1
̅̅̅Y2
′ (s)
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3 x1
̅ 2)
[
sH
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2 x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]
Y1
′(s)
Y2
′(s)
=
(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
V1
̅̅̅
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2)
[
sH
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
+ 1]
τ =
H
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
y p =
1
L1
̅̅̅ + V1
̅̅̅(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2
)
Y1
′(s)
X0
′ (s)
=
(a1 + 2a2x1
̅ + 3a3x1
̅ 2) V1
̅̅̅ p
[τ s + 1]

29. 4.12)
a)
mC
dT
dt
= wC(Ti − T) + heAe(Te − T)
meCe
dT
dt
= Q− heAe(Te − T)
Aplicando algebra
dT
dt
=
w
m
(Ti − T) +
heAe
mC
(Te − T)
dTe
dt
=
Q
meCe
−
heAe
meCe
(Te − T)
Variables de desviación
T′ = T − T
̅
Te
′
= Te − Te
̅
Q′ = Q − Q
̅
Ti
′
= Ti − Ti
̅
Diferencial temperatura del tanque
dT′
dt
=
dT
dt
−
dT
̅
dt
Como T
̅ es una constante su derivada corresponde a cero y queda así

30. dT′
dt
=
dT
dt
Diferencial temperatura calentador
dTe
′
dt
=
dTe
dt
−
dTe
̅
dt
Como Te
̅ es una constante su derivada corresponde a cero y queda así
dTe
′
dt
=
dTe
dt
Linealizando
Ecuación 1
dT′
dt
=
∂f1
∂T
T′ +
∂f1
∂Te
Te
′
+
∂f1
∂Ti
Ti
′
dT′
dt
= [−
w
m
−
heAe
mC
] T′ + [
heAe
mC
]Te
′
+ [
w
m
] Ti
′
dT′
dt
=
w
m
(Ti
′
− T′)+
heAe
mC
(Te
′
− T′)
Ecuación 2
dTe
′
dt
=
∂f2
∂Q
Q′
+
∂f2
∂Te
Te
′
+
∂f2
∂T
T′

31. dTe
′
dt
= [
1
meCe
] Q′
+ [−
heAe
meCe
] Te
′
+ [
heAe
meCe
] T´
dTe
′
dt
=
Q′
meCe
−
heAe
meCe
(Te
′
− T′)
Transformada de Laplace
Ecuación 1
sT′(s) =
w
m
Ti
′(s) −
w
m
T′(s)+
heAe
mC
Te
′ −
heAe
mC
T′(s)
sT′(s) +
w
m
T′(s)+
heAe
mC
T′(s) =
w
m
Ti
′(s) +
heAe
mC
Te
′
T′(s)[s +
w
m
+
heAe
mC
] =
w
m
Ti
′(s)+
heAe
mC
Te
′
Ecuación 2
sTe
′(s) =
Q′(s)
meCe
−
heAe
meCe
Te
′(s) +
heAe
meCe
T′(s)
sTe
′(s) +
heAe
meCe
Te
′(s) =
Q′(s)
meCe
+
heAe
meCe
T′(s)
Te
′(s)[s +
heAe
meCe
] =
Q′(s)
meCe
+
heAe
meCe
T′(s)
Te
′(s) =
Q′(s)
[s +
heAe
meCe
] meCe
+
heAe
[s +
heAe
meCe
]meCe
T′(s)

32. Sustituyendo Te
′(s)en la ecuación 1
T′(s)[s +
w
m
+
heAe
mC
] =
w
m
Ti
′(s) +
heAe
mC
[
Q′(s)
[s +
heAe
meCe
] meCe
+
heAe
[s +
heAe
meCe
] mC
T′(s)]
T′(s)[s +
w
m
+
heAe
mC
] =
w
m
Ti
′(s) +
Q′(s) heAe
[s +
heAe
meCe
] mC meCe
+
(heAe)2
[s +
heAe
meCe
] mC meCe
T′(s)
T′(s)[s +
w
m
+
heAe
mC
−
(heAe)2
[s +
heAe
meCe
]mC meCe
] =
w
m
Ti
′(s) +
Q′(s) heAe
[s +
heAe
meCe
] mC meCe
T′(s) [s +
w
m
+
heAe
mC
−
(heAe)2
heAe
meCe
[
meCe
heAe
s + 1] mC meCe
] =
w
m
Ti
′(s) +
Q′(s) heAe
heAe
meCe
[
meCe
heAe
s + 1] mC meCe
T′(s)[s +
w
m
+
heAe
mC
−
heAe
[
meCe
heAe
s + 1] mC
] =
w
m
Ti
′(s) +
Q′(s)
[
meCe
heAe
s + 1] mC
La expresión que relaciona a T′(s) con Ti
′(s) y Q′(s), viene dada por
T′(s) =
w
m
Ti
′(s)
[s +
w
m
+
heAe
mC
−
heAe
[
meCe
heAe
s + 1] mC
]
+
Q′(s)
[s +
w
m
+
heAe
mC
−
heAe
[
meCe
heAe
s + 1] mC
] [
meCe
heAe
s + 1] mC

33. b)
si meCe → 0 la expresión se reduce a lo siguiente
T′(s) =
w
m
Ti
′(s)
[s +
w
m
+
heAe
mC
−
heAe
[
0
heAe
s + 1] mC
]
+
Q′(s)
[s +
w
m
+
heAe
mC
−
heAe
[
0
heAe
s + 1] mC
] [
0
he Ae
s + 1] mC
T′(s) =
w
m
Ti
′(s)
[s +
w
m
+
heAe
mC
−
heAe
mC
]
+
Q′(s)
[s +
w
m
+
he Ae
mC
−
heAe
mC
] mC
T′(s) =
w
m
Ti
′(s)
[s +
w
m
]
+
Q′(s)
[s +
w
m
] mC

34. 4.13)
Balance de material para el tanque
dm
dt
= wi − w
ρ
dV
dt
= ρ(qi − q)
dV
dt
= (qi − q)
El diferencial de área es equivalente a lo siguiente
dV = A dh
A = wtL
dV = wtL dh
Reemplazando en la ecuación diferencial
wtL
dh
dt
= (qi − q)
Usando el teorema de Pitágorasllegamosa la siguiente expresión

35. wt
2
= √R2 − (R − h)2
wt
2
= √R2 − R2 + 2Rh + h2
wt
2
= √Dh + h2
wt = 2√Dh + h2
Reemplazando en la ecuación diferencial
dh
dt
=
(qi − q)
2√Dh + h2L
Linealización y variables de desviación
h′ = h − h
̅
q′ = q − q
̅
qi′ = qi − q
̅i
dh′
dt
=
dh
dt
dh′
dt
=
∂f
∂qi
qi′+
∂f
∂q
q′

36. dh′
dt
= [
1
2√Dh + h2L
] qi′+ [
1
2√Dh + h2L
] q′
4.14)
Balance de materia (Componente A)
V
dCA
dt
= q(CAi − CA) − V (2,4x1015e−
20000
T ) CA
dCA
dt
=
q
V
(CAi − CA) − (2,4x1015e−
20000
T )CA
Balance de energía
ρVC
dT
dt
= ρqC(Ti − T) − ∆H V (2,4x1015e−
20000
T ) CA
dT
dt
=
q
V
(Ti − T) −
∆H
ρC
(2,4x1015e−
20000
T )CA
Condicionesnominales de estado estacionario
C
̅Ai 0,8 mol/ft3

37. T
̅ 150°F
q
̅ 20 gal/min
Datos de propiedades físicas
C
0,8
Btu
lb °F
ρ 52 lb/ft3
−∆Hr 500 kj/mol
Determinación de los estados estacionarios
Ecuación 1
dCA
dt
=
q
V
(CAi − CA) − (2,4x1015e−
20000
T )CA
0 =
q
V
CAi −
q
V
CA − (2,4x1015e−
20000
T )CA
0 =
q
V
CAi − CA [
q
V
+ (2,4x1015e−
20000
T )]
Expresión para concentración de A

38. q
̅
V
C
̅Ai
[
q
̅
V
+ (2,4x1015e
−
20000
T
̅ )]
= C
̅A
20 gal/min
1000 gal
(
0,8mol
ft3 )
[
20 gal/min
1000 gal
+ (2,4x1015e
−
20000
150+459,67
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)]
= C
̅A
Concentración de A en el estado estacionario
0,00117528
mol
ft3 = C
̅A
Ahora introduciendo variables de desviación
CA
′
= CA − C
̅A
T′ = T − T
̅
CAi
′
= CAi − C
̅Ai
q′ = q − q
̅
Diferencialesen variablesde desviación
dCA
′
dt
=
dCA
dt
−
dC
̅A
dt

39. dCA
′
dt
=
dCA
dt
dT′
dt
=
dT
dt
−
dT
̅
dt
dT′
dt
=
dT
dt
[
dCA
′
dt
dT′
dt ]
=
[
∂f1
∂CA
∂f1
∂T
∂f2
∂CA
∂f2
∂T ]
[CA
′
T′
] +
[
∂f1
∂CAi
∂f1
∂q
∂f2
∂CAi
∂f2
∂q ]
[
CAi
′
q′
]
A =
[
∂f1
∂CA
∂f1
∂T
∂f2
∂CA
∂f2
∂T ]
B =
[
∂f1
∂CAi
∂f1
∂q
∂f2
∂CAi
∂f2
∂q ]

40. [
dCA
′
dt
dT′
dt ]
= A [CA
′
T′
] + B[
CAi
′
q′
]
A =
[
−
q
̅
V
− (2,4x1015e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
−
( ∆Hr 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C ρ
−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ ]
B =
[
q
̅
V
−
C
̅A − C
̅Ai
V
0 −
T
̅ − T
̅i
V ]
Reemplazando valores
A =
[
−
q
̅
V
− (2,4x1015e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
−
( ∆Hr 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C ρ
−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ ]

41. B =
[
q
̅
V
−
C
̅A − CAi
V
0 −
T
̅ − T
̅i
V ]
Cabe resaltar que los datos que componen a las matrices A y B son valores constantes
[
dCA
′
dt
dT′
dt ]
=
[
−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
−
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2
ρ ]
[
CA
′
T′
] +
[
q
̅
V
−
C
̅
A − CAi
V
0 −
T
̅ − T
̅
i
V ]
[
CAi
′
q′ ]
El flujo volumétrico alimentado al reactor de acuerdo a los requerimientos del ejercicio no varía y por lo tanto
q′ = q
̅ − q
̅
q′ = 0
[
dCA
′
dt
dT′
dt ]
=
[
−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
−
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2
ρ ]
[
CA
′
T′
] +
[
q
̅
V
−
C
̅
A − CAi
V
0 −
T
̅ − T
̅
i
V ]
[CAi
′
0
]
Las ecuaciones diferenciales en variables de desviación se reducen a lo siguiente

42. dCA
′
dt
= [−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ ) ] CA
′
−
(C
̅ A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
T′
+
q
̅
V
CAi
′
dT′
dt
= −
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
CA
′
+ [−
q
̅
V
−
(C
̅ A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
] T′
Aplicando Laplace
sCA
′ (s) = [−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )] CA ′(s) −
(C
̅ A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
T′
(s) +
q
̅
V
CAi
′
(s)
sT′(s) = −
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
CA ′(s) + [−
q
̅
V
−
(C
̅ A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
] T′
(s)
La expresión 2 podemos dejarla en términos de CA′(s)
sT′(s) = −
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
CA ′(s) + [−
q
̅
V
−
(C
̅ A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
] T′
(s)
T′(s)
[
s − [−
q
̅
V
−
(C
̅ A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
]
]
= −
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
CA′(s)

43. T′(s) =
−
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
[
s − [−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
]
]
CA′(s)
Reemplazando en la ecuación 1
sCA
′ (s) = [−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )] CA ′(s) −
(C
̅ A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
T′
(s) +
q
̅
V
CAi
′
(s)
sCA
′ (s) = [−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )] CA
′ (s) +
(C
̅ A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
CA ′(s)
(
s − (−
q
̅
V
−
(C
̅ A ∆Hr 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
)
)
+
q
̅
V
CAi
′
(s)

44. CA
′ (s)
[
s − (−
q
̅
V
− (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )) −
(C
̅ A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
(
s − (−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
)
) ]
=
q
̅
V
CAi
′
(s)
CA
′ (s)
[
s +
q
̅
V
+ (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
(s+
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
)
]
=
q
̅
V
CAi
′
(s)
CA
′ (s)
[
s +
q
̅
V
+ (2,4x1015e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A∆Hr 20000 (2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
2
)
T
̅2
C ρ (s +
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
)
]
=
q
̅
V
CAi
′
(s)

45. Al tener CA en términos de CAi, sustituimos en la ecuación que relaciona a T y CA, la cual es:
T′(s) =
−
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C ρ
[
s − [−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
]
]
CA′(s)
T′(s) =
−
( ∆Hr 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C ρ
[
s − [−
q
̅
V
−
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2
ρ
]
]
q
̅
V
CAi
′
(s)
[
s +
q
̅
V
+ (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ ) −
(C
̅A∆Hr 20000 (2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
2
)
T
̅2
C ρ (s +
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2
ρ
)
]
Nuevamente haciendo arreglosalgebraicos
T′(s)
=
−
( ∆Hr 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C ρ
[s +
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2
ρ
]
q
̅
V
CAi
′ (s) [ C ρ (s +
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
C T
̅2 ρ
)]
[ s +
q
̅
V
+ (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ ) ] (C ρs + C ρ
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
T
̅2 ) −
(C
̅A∆Hr 20000 (2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
2
)
T
̅2

46. Cancelando términos semejantes
T′(s) =
CAi
′ (s) [−
( ∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )
1
q
̅
V
]
[ s +
q
̅
V
+ (2,4x1015e
−
20000
T
̅ ) ] (C ρs + C ρ
q
̅
V
+
(C
̅ A ∆Hr 20000 2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
) −
(C
̅A ∆Hr 20000 (2,4x1015e
−
20000
T
̅ )
2
)
T
̅2
T′(s)
CAi
′ (s)
=
[−∆Hr 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ q
̅
V
]
[ s +
q
̅
V
+ (2,4x1015 e
−
20000
T
̅ ) ] (C ρs + C ρ
q
̅
V
+
(C
̅A ∆Hr 20000 2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
T
̅2
) −
(C
̅A∆Hr 20000 (2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
2
)
T
̅2
Si multiplico y divido por V2queda lo siguiente
T′(s)
CAi
′ (s)
=
[−∆Hr ( 2,4x1015
e
−
20000
T
̅ )q
̅V]
[ Vs + q
̅ + V (2,4x1015e
−
20000
T
̅ ) ]
(
VC ρs + C ρq
̅ +
(C
̅A V ∆Hr (20000 2,4x1015 e
−
20000
T
̅ ))
T
̅2
)
−
(C
̅ A V2
∆Hr 20000 (2,4x1015 e
−
20000
T
̅ )
2
)
T
̅2

47. Sustituyendo valores en la función de transferencia queda lo siguiente
T′(s)
CAi
′ (s)
=
11,3798627
3,612345s2 +50,0072189s + 1
AL factorizar el polinomio
3,612345s2 + 50,0072189s + 1 ≈ (0,0072189s + 1)(50,01245s + 1)
T′(s)
CAi
′ (s)
=
11,3798627
(0,0072189s + 1)(50,01245s + 1)
4.15)
Comportamiento dinámico
Ẋ =
μm S
KS + S
X − DX
Ṡ = −
μm S
KS + S
X
YX
S
+ D(Sf − S)
Estados estacionarios
S
̅ =
1g
L
; X
̅ =
4,5g
L
; D
̅ = 0,1 h−1; Sf
̅ =
10g
L

48. Parámetros
μm = 0,20 h−1 ; Ks =
1g
L
; YX
S
=
0,5g
g
Linealización
[
dX′
dt
dS′
dt
] = [
∂f1
∂X
∂f1
∂S
∂f2
∂X
∂f2
∂S
] [ X′
S′
] +
[
∂f1
∂Sf
∂f1
∂D
∂f2
∂Sf
∂f2
∂D]
[ Sf′
D′
]
A = [
∂f1
∂X
∂f1
∂S
∂f2
∂X
∂f2
∂S
]
A =
[
μm S
KS + S
− D
X μm
Ks + S
−
S X μm
(Ks + S)2
−
μm S
KS + S
(
1
YX
S
)
S X μm
YX
S
(Ks + S)2 −
X μm
YX
S
(Ks + S)
− D
]
B =
[
∂f1
∂Sf
∂f1
∂D
∂f2
∂Sf
∂f2
∂D]

49. B = [
0 −X
D Sf − S
]
[
dX′
dt
dS′
dt
] =
[
μm S
KS + S
− D
X μm
Ks + S
−
S X μm
(Ks + S)2
−
μm S
KS + S
(
1
YX
S
)
S X μm
YX
S
(Ks + S)2 −
X μm
YX
S
(Ks + S)
− D
]
[ X′
S′
] + [
0 −X
D Sf − S
] [ Sf′
D′
]
Todos estos valores que componen a nuestra matriz son las condiciones de estado estacionario
[
dX′
dt
dS′
dt
] = [
0 0,225
−0,2 −0,550
] [ X′
S′
] + [
0 −4,5
0,1 9
] [ Sf′
D′
]
Ecuaciones diferencialesen variablesde desviación
dX′
dt
= 0,225 S′ − 4,5 D′

50. dS′
dt
= −0,2 X′ − 0,550 S′ + 0,1 Sf
′
+ 9 D′
Aplicando Laplace
s X′(s) = 0,225 S′(s) − 4,5 D′(s)
s S′(s) = −0,2 X′(s)− 0,550 S′(s) + 0,1 Sf
′
(s) + 9 D′(s)
Los requerimientos es determinar una expresión (función de transferencia) que relacione a (X − X
̅) con (D − D
̅)
Como la única entrada que varía es D, todas las demás se hacencero al no cambiar con respecto a su estado nominal
Ecuación 1
s X′(s) = 0,225 S′(s) − 4,5 D′(s)
Ecuación 2
s S′(s) = −0,2 X′(s) − 0,550 S′(s) + 9 D′(s)
s S′(s) + 0,550 S′(s) = −0,2 X′(s) + 9 D′(s)
S′(s) =
−0,2
[ s + 0,550 ]
X′(s)+
9
[ s + 0,550 ]
D′(s)

51. Reemplazando en ecuación 1
sX′(s) = 0,225 (
−0,2
[ s + 0,550 ]
X′(s) +
9
[ s + 0,550 ]
D′(s)) − 4,5 D′(s)
sX′(s) =
−0,045
[ s + 0,550 ]
X′(s) +
2,025
[ s + 0,550 ]
D′(s) − 4,5 D′(s)
sX′(s) +
0,045
[ s + 0,550 ]
X′(s) =
2,025
[ s + 0,550 ]
D′(s) − 4,5 D′(s)
X′(s)(s +
0,045
[ s + 0,550 ]
) = D′(s)(
2,025
[ s + 0,550 ]
− 4,5)
X′(s)
D′(s)
=
(
2,025
[ s + 0,550 ] − 4,5)
(s +
0,045
[ s + 0,550 ]
)
X′(s)
D′(s)
=
( s + 0,550 )(2,025 − 4,5s − 2,475 )
( s + 0,550 )( s2 + 0,550 s + 0,045 )
=
(−4,5s − 0,45)
(s2 + 0,550 s + 0,045)
3.18)
V
dc(t)
dt
+ qc(t) = qc
̅t(t)

52. V
dc(t)
dt
= qc
̅t(t) − qc(t)
Datos
V = 2m3 ; q = 0,4
m3
min
a)
Si c
̅t(t) = 50
kg
m3
c(t)′ = c(t) − c
̅(t)
ct(t)′ = ct(t) − c
̅t(t)
dc(t)′
dt
=
dc(t)
dt
−
dc
̅(t)
dt
dc(t)′
dt
=
dc(t)
dt
Linealizando ecuación diferencial (envariablesde desviación)
V
dc(t)′
dt
=
∂f
∂c
c(t)′ +
∂f
∂ct
ct(t)′
V
dc(t)′
dt
= −qc(t)′ + qct(t)′
Laplace

53. sV C(s)′ + qC(s) = q Ct(s)′
C(s)′[Vs + q] = q Ct(s)′
C(s)′ =
Ct(s)′
[
V
q
s + 1]
Si
Ct(s)′ =
50
s
C(s)′ =
50
s[
V
q
s + 1]
Como esta expresión es similar a una de primer orden, su ecuación en el dominio del tiempo es
c(t)′ = 50 (1 − e−
t
5)

54. b)
ct(t) = 5t + (50 − 5t)u(t − 10)
ct(t) = 5t + 50 u(t − 10) − 5t u(t − 10)
Laplace de la entrada
Ct(s) =
5
s2 +
50
s
e−10s −
5
s2 e−10s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 10 20 30 40
c(t)'
Tiempo (min)
c(t)' vs tiempo

55. C(s)′ =
5
s2 +
50
s
e−10s −
5
s2 e−10s
[5s + 1]
Ahora reemplazando
C(s)′ =
5
[5s + 1] s2 +
50
s [5s + 1]
e−10s −
5
s2 [5s + 1]
e−10s
Cada uno de los términos anteriores corresponde a funciones de transferencia de primer orden, ya sean con entrada
rampa, escalóno retardo, las ecuaciones característicasen el dominio del tiempo se encuentran en el seborg de forma
detallada,por lo tanto se obvia el procedimiento de resolución y se procede a utilizar las respuestas obtenidasen dicho
libro para cada tipo de entrada si el sistema es de primer orden.
c(t)′ = [25e−
t
5 + 5(t − 5)u(t)] + [50 (1 − e−
(t−10)
5 )u(t − 10)] − [25e−
(t−10)
5 + 5((t − 10) − 5)] u(t − 10)
c)
ct(t) = 5t + (−5t + 100 − 5t)u(t − 10)
ct(t) = 5t − 10t u(t − 10) + 100 u(t − 10)
Laplace de la entrada
Ct(s) =
5
s2 −
10
s2 e−10s +
100
s
e−10s

56. C(s)′ =
5
s2 −
10
s2 e−10s +
100
s
e−10s
[5s + 1]
Ahora reemplazando
C(s)′ =
5
[5s + 1] s2 −
10
s2 [5s + 1]
e−10s +
100
s [5s + 1]
e−10s
De manera análoga la ejercicio anterior
c(t)′ = [25e−
t
5 + 5(t − 5)u(t)] − [50e−
t
5 + 10((t − 10) − 5)] u(t − 10) + [100 (1 − e−
(t−10)
5 )u(t − 10)]