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Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 1 
Ejercicios 
Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones 
1. Hallar, usando la definici´on, la transformada de Laplace de 
(a) f(t) = tp, p > ¡1. 
(b) f(t) = eat. 
Sol.: (a) F(s) = ¡(p+1) 
sp+1 ; (b) F(s) = 1 
s¡a , s > a. 
2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de 
(a) f(t) = e¡t. 
(b) f(t) = sen t. 
Sol.: (a) F(s) = 1 
s2+1. 
s+1, s > ¡1; (b) F(s) = 1 
3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on que se obtiene al expandir peri´odi-camente, 
con periodo 1, la funci´on f(t) = t, 0 · t < 1. 
Sol.: F(s) = 1¡(1+s)e¡s 
s2(1¡e¡s) . 
4. Hallar, usando convoluci´on, la transformada inversa de Laplace de 
F(s) = 
1 
(s2 + 4s + 13)2 
Sol.: f(t) = (sen 3t¡3t cos 3t)e¡2t 
54 . 
5. Hallar: 
L¡1 
µ 
3s + 1 
(s ¡ 1)(s2 + 1) 
¶ 
Sol.: f(t) = 2et ¡ 2 cos t + sen t. 
6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral 
Z 1 
0 
sen t 
t 
dt 
Sol.: ¼=2. 
7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular: 
(a) L[s(t)], siendo s(t) = 
R t 
0 
sen u 
u du. 
(b) L¡1 
³ 
s2 
(s2+1)2 
´ 
y L¡1 
³ 
1 
(s2+1)2 
´ 
, sabiendo que L¡1 
³ 
s 
(s2+1)2 
´ 
= t sen t 
2 . 
(c) L¡1 
³ 
2s2¡4 
(s+1)(s+2)(s¡3) 
´ 
.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2 
(d) L[fi(t)], siendo fi(t), i = 1; 2, la funci´on cuya gr´afica es: 
6 6 
¢ 
¢ 
¡ 
3 
2 
f1 
1 1 
f2 
- - 
¡ 
¡ @ 
¡ 
@ 
@ ¢ 
¢ 
¢ 
¢ 
¡ 
¡@ 
@ 
@ 
A 
A 
A 
A 
A 
A 
1 2 3 1 2 3 4 
Sol.: (a) F(s) = 1 
s arctan 1 
s ; (b) f(t) = (sen t + t cos t)=2 y g(t) = (sen t ¡ t cos t)=2; 
2e¡t + 4 
5e¡2t + 7 
10e3t; (d) F1(s) = 
(c) f(t) = 1 
¡ 
1 ¡ e¡s ¡ e¡2s + e¡3s 
¢ 
¡ ¢ 
=s2 y F2(s) = 
2 ¡ e¡s ¡ 2e¡2s ¡ e¡3s + 2e¡4s 
=s2. 
8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: 
(a) 
R 1 
0 
e¡t¡e¡3t 
t dt. 
(b) 
R 1 
0 t 
³ 
1 ¡ e¡1 
2 t + e¡2t 
´ 
cos t dt. 
(c) 
R 1 
0 e¡t2 
dt. 
Sol.: (a) ln 3; (b) ¡2=5; (c) 
p 
¼=2. 
9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales 
y sistemas: 
(a) 
½ 
y00 ¡ 3y0 + 2y = 2e3t 
y(0) = 0 ; y0(0) = 1 
; (e) 
8>>>>< 
>>>>: 
x0000(t) = 
½ 
2 , si 0 < t · 1 
0 , si 1 < t · 2 
x(t) + y0(t) = 0 
x(0) = x0(0) = x00(0) = x000(0) = 0 
y(0) = 3 
; 
(b) 
½ 
y00 + y = et 
y(1) = 1 ; y0(1) = 0 
; (f) 
8< 
: 
x0 = ¡7x ¡ 6y + t 
y0 = 12x + 10y 
x(3) = 1 ; y(3) = ¡8 
; 
(c) 
8< 
: 
y0 + y = 
½ 
1 , si 0 < t < 2 
0 , si t ¸ 2 
y(0) = 0 
; (g) 
8>>>>< 
>>>>: 
x0 ¡ y = 
8< 
: 
0 , si 0 < t < 2 
1 , si 2 < t < 3 
0 , si t > 3 
y0 ¡ x = 1 
x(1) = y(1) = 1 
; 
(d) 
8>>>>< 
>>>>: x0 ¡ y = 
½ 
1 , si 0 < t < 1 
0 , si t > 1 
y0 ¡ x = 
½ 
0 , si 0 < t < 2 
1 , si t > 2 
x(0) = y(0) = 0 
; (h) 
½ 
ty00 + 4y0 + 9ty = cos 3t ; t > 0 
y(0) = 0 ; y0(0) = 1=4 :
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 3 
Sol.: (a) y = e3t ¡ e2t; (b) y = [et + (2 ¡ e) cos(t ¡ 1) ¡ e sen(t ¡ 1)]=2; 
(c) y = 
( 
1 ¡ e¡t , si 0 < t < 2 
(e2 ¡ 1)e¡t , si t ¸ 2 
; 
(d) x = 
8>< 
>: 
sh t , si 0 < t < 1 
sh t ¡ sh(t ¡ 1) , si 1 < t < 2 
sh t ¡ sh(t ¡ 1) + ch(t ¡ 2) ¡ 1 , si t > 2 
; 
y = 
8>< 
>: 
ch t ¡ 1 , si 0 < t < 1 
ch t ¡ ch(t ¡ 1) , si 1 < t < 2 
ch t ¡ ch(t ¡ 1) + sh(t ¡ 2) , si t > 2 
; 
(e) x = [t4 ¡ (t ¡ 1)4h(t ¡ 1)]=12; y = [180 + t5 ¡ (t ¡ 1)5h(t ¡ 1)]=60; 
(f) x = ¡8 ¡ 5t ¡ et¡3 + 25e2(t¡3); y = 9 + 6t + 4et¡3 ¡ 39e2(t¡3); 
(g) x = [et¡1 ¡ 1 + ch(t ¡ 1)]h(t ¡ 1) ¡ sh(t ¡ 2)h(t ¡ 2) + sh(t ¡ 3)h(t ¡ 3); 
y = [ch(t¡1)+2 sh(t¡1)]h(t¡1)¡[ch(t¡2)¡1]h(t¡2)+[ch(t¡3)¡1]h(t¡3); 
(h) y = sen 3t 
12 . 
10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales 
y sistemas: 
(a) 
8< 
: 
x0 + 2x + 6 
R t 
0 y(u) du = ¡2 
x0 + y0 + y = 0 
x(0) = ¡5 ; y(0) = 6 
(b) 
8>>< 
>>: 
9x0 ¡ 32y0 ¡ 32y = 
½ 
0 , si 0 < t < 1 
1 , si t ¸ 1 
¡2x0 + 
R t 
0 x(u) du + 8y0 + 8y = 0 
x(0) = 32 ; y(0) = 9 
Sol.: (a) x = 2¡3e¡4t¡4et; y = 4e¡4t+2et ; (b) x = 32 cos 2t+h(t¡1) 
2 sen 2(t¡1); y = 
9 
5 
¡ 
e¡t + 4 cos 2t ¡ 2 sen 2t 
¢ 
+ 
¡¡1 
32 ¡ 1 
40e1¡t + 9 
160 cos 2(t ¡ 1) + 9 
80 sen 2(t ¡ 1) 
¢ 
h(t ¡ 
1). 
11. Utilizando transformadas de Laplace: 
(a) Resolver: ½ 
x00 ¡ 5x0 + 4x = 4 ; t ¸ 0 
x(0) = 0 ; x0(0) = 2 
(b) Demostrar que: Z t 
0 
sen y cos(t ¡ y) dy = t sen t 
2 
Sol.: (a) x(t) = 1 ¡ 2et + e4t, t ¸ 0. 
12. Usando transformadas de Laplace, resolver el problema de Cauchy: 
8< 
: 
x0 ¡ 2x + 3y = 4 ¡ 2t 
y0 + 2y ¡ x = 2 ¡ t 
x(0) = ¡1 ; y(0) = 0 
para t ¸ 0. 
Sol.: x(t) = t ¡ e¡t, y(t) = 1 ¡ e¡t, t ¸ 0.
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 4 
13. Resolver, utilizando la Transformada de Laplace, el problema de Cauchy: 
½ 
y00 ¡ 2y0 + y ¡ 2 
R t 
0 y(u) du = 5 ; t > 0 
y(0) = 1 ; y0(0) = 0 
Sol.: y(t) = e2t ¡ 2 sen t, t ¸ 0. 
14. Resolver el problema de Cauchy 
8>>>>< 
>>>>: 
x0 ¡ y = 
½ 
1 , si 0 < t < 2 
0 , si 2 < t 
y0 ¡ x0 = 
½ 
0 , si 0 < t < 2 
1 , si 2 < t 
x(0) = 1 ; y(0) = 0 
Sol.: x(t) = eth(t) ¡ (t ¡ 2)h(t ¡ 2); y(t) = (et ¡ 1)h(t). 
15. Dada la funci´on f(t) = n, si (n ¡ 1)® < t < n®, para n ¸ 1, siendo ® un n´umero 
real positivo y no nulo, se pide: 
(a) Trazar su gr´afica y obtener para f(t) una f´ormula que la exprese como una serie 
cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside. 
(b) Calcular la transformada de Laplace de f(t). 
(c) Aplicando convoluci´on, calcular la transformada inversa de 
F(s) = 
1 
s2(s2 + 4) 
(d) Resolver, mediante transformadas de Laplace, el problema de Cauchy 
( 
x00 = 8 ¡ 4t + 2 sen(2t ¡ 4) 
x(2) = 1 ; x0(2) = 0 
Sol.: (a) f(t) = 
P1 
s(1¡e¡®s) ; (c) L¡1 (F(s)) = 
n=0 h(t ¡ n®); (b) L(f(t)) = 1 
2t¡sen 2t 
8 h(t); (d) x(t) = 
¡ 
t ¡ 1 ¡ 2 
¢ 
h(t ¡ 2). 
3 (t ¡ 2)3 ¡ 1 
2 sen 2(t ¡ 2) 
16. Dada la funci´on 
f(t) = 
( 
0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ¸ 0 
a , si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ¸ 0 
con a > 0, se pide: 
(a) Obtener su transformada de Laplace. 
(b) Resolver el problema de Cauchy 
( 
x00 ¡ 2x0 + x = f(t) (h(t) ¡ h(t ¡ 3a)) 
x(0) = x0(0) = 2
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 5 
Sol.: (a) L(f(t)) = a 
s(e2as+1) ; (b) x(t) = 2eth(t)+ 
+a 
£¡ 
1 + et¡2a(t ¡ 2a ¡ 1) 
¢ 
h(t ¡ 2a) ¡ 
¡ 
1 + et¡3a(t ¡ 3a ¡ 1) 
¢ 
h(t ¡ 3a) 
¤ 
. 
17. Dada la funci´on 
f(t) = 
( 
cos 4t , si 0 · t < 4¼ 
0 , si t ¸ 4¼ 
se pide: 
(a) Expresarla mediante la funci´on de Heaviside y hallar, aplicando las propiedades, 
su transformada de Laplace. 
(b) Resolver el problema de Cauchy 
( 
x00 + 16x = f(t) 
x(0) = x0(0) = 0 
Sol.: (a) f(t) = h(t) cos 4t ¡ h(t ¡ 4¼) cos 4t, L(f(t)) = s(1¡e¡4¼s) 
s2+16 ; 
(b) x = 1 
8 (th(t) sen 4t ¡ (t ¡ 4¼)h(t ¡ 4¼) sen(t ¡ 4¼)).

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15 laplace[1]

  • 1. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 1 Ejercicios Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones 1. Hallar, usando la definici´on, la transformada de Laplace de (a) f(t) = tp, p > ¡1. (b) f(t) = eat. Sol.: (a) F(s) = ¡(p+1) sp+1 ; (b) F(s) = 1 s¡a , s > a. 2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de (a) f(t) = e¡t. (b) f(t) = sen t. Sol.: (a) F(s) = 1 s2+1. s+1, s > ¡1; (b) F(s) = 1 3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on que se obtiene al expandir peri´odi-camente, con periodo 1, la funci´on f(t) = t, 0 · t < 1. Sol.: F(s) = 1¡(1+s)e¡s s2(1¡e¡s) . 4. Hallar, usando convoluci´on, la transformada inversa de Laplace de F(s) = 1 (s2 + 4s + 13)2 Sol.: f(t) = (sen 3t¡3t cos 3t)e¡2t 54 . 5. Hallar: L¡1 µ 3s + 1 (s ¡ 1)(s2 + 1) ¶ Sol.: f(t) = 2et ¡ 2 cos t + sen t. 6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral Z 1 0 sen t t dt Sol.: ¼=2. 7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular: (a) L[s(t)], siendo s(t) = R t 0 sen u u du. (b) L¡1 ³ s2 (s2+1)2 ´ y L¡1 ³ 1 (s2+1)2 ´ , sabiendo que L¡1 ³ s (s2+1)2 ´ = t sen t 2 . (c) L¡1 ³ 2s2¡4 (s+1)(s+2)(s¡3) ´ .
  • 2. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2 (d) L[fi(t)], siendo fi(t), i = 1; 2, la funci´on cuya gr´afica es: 6 6 ¢ ¢ ¡ 3 2 f1 1 1 f2 - - ¡ ¡ @ ¡ @ @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡@ @ @ A A A A A A 1 2 3 1 2 3 4 Sol.: (a) F(s) = 1 s arctan 1 s ; (b) f(t) = (sen t + t cos t)=2 y g(t) = (sen t ¡ t cos t)=2; 2e¡t + 4 5e¡2t + 7 10e3t; (d) F1(s) = (c) f(t) = 1 ¡ 1 ¡ e¡s ¡ e¡2s + e¡3s ¢ ¡ ¢ =s2 y F2(s) = 2 ¡ e¡s ¡ 2e¡2s ¡ e¡3s + 2e¡4s =s2. 8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: (a) R 1 0 e¡t¡e¡3t t dt. (b) R 1 0 t ³ 1 ¡ e¡1 2 t + e¡2t ´ cos t dt. (c) R 1 0 e¡t2 dt. Sol.: (a) ln 3; (b) ¡2=5; (c) p ¼=2. 9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: (a) ½ y00 ¡ 3y0 + 2y = 2e3t y(0) = 0 ; y0(0) = 1 ; (e) 8>>>>< >>>>: x0000(t) = ½ 2 , si 0 < t · 1 0 , si 1 < t · 2 x(t) + y0(t) = 0 x(0) = x0(0) = x00(0) = x000(0) = 0 y(0) = 3 ; (b) ½ y00 + y = et y(1) = 1 ; y0(1) = 0 ; (f) 8< : x0 = ¡7x ¡ 6y + t y0 = 12x + 10y x(3) = 1 ; y(3) = ¡8 ; (c) 8< : y0 + y = ½ 1 , si 0 < t < 2 0 , si t ¸ 2 y(0) = 0 ; (g) 8>>>>< >>>>: x0 ¡ y = 8< : 0 , si 0 < t < 2 1 , si 2 < t < 3 0 , si t > 3 y0 ¡ x = 1 x(1) = y(1) = 1 ; (d) 8>>>>< >>>>: x0 ¡ y = ½ 1 , si 0 < t < 1 0 , si t > 1 y0 ¡ x = ½ 0 , si 0 < t < 2 1 , si t > 2 x(0) = y(0) = 0 ; (h) ½ ty00 + 4y0 + 9ty = cos 3t ; t > 0 y(0) = 0 ; y0(0) = 1=4 :
  • 3. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 3 Sol.: (a) y = e3t ¡ e2t; (b) y = [et + (2 ¡ e) cos(t ¡ 1) ¡ e sen(t ¡ 1)]=2; (c) y = ( 1 ¡ e¡t , si 0 < t < 2 (e2 ¡ 1)e¡t , si t ¸ 2 ; (d) x = 8>< >: sh t , si 0 < t < 1 sh t ¡ sh(t ¡ 1) , si 1 < t < 2 sh t ¡ sh(t ¡ 1) + ch(t ¡ 2) ¡ 1 , si t > 2 ; y = 8>< >: ch t ¡ 1 , si 0 < t < 1 ch t ¡ ch(t ¡ 1) , si 1 < t < 2 ch t ¡ ch(t ¡ 1) + sh(t ¡ 2) , si t > 2 ; (e) x = [t4 ¡ (t ¡ 1)4h(t ¡ 1)]=12; y = [180 + t5 ¡ (t ¡ 1)5h(t ¡ 1)]=60; (f) x = ¡8 ¡ 5t ¡ et¡3 + 25e2(t¡3); y = 9 + 6t + 4et¡3 ¡ 39e2(t¡3); (g) x = [et¡1 ¡ 1 + ch(t ¡ 1)]h(t ¡ 1) ¡ sh(t ¡ 2)h(t ¡ 2) + sh(t ¡ 3)h(t ¡ 3); y = [ch(t¡1)+2 sh(t¡1)]h(t¡1)¡[ch(t¡2)¡1]h(t¡2)+[ch(t¡3)¡1]h(t¡3); (h) y = sen 3t 12 . 10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: (a) 8< : x0 + 2x + 6 R t 0 y(u) du = ¡2 x0 + y0 + y = 0 x(0) = ¡5 ; y(0) = 6 (b) 8>>< >>: 9x0 ¡ 32y0 ¡ 32y = ½ 0 , si 0 < t < 1 1 , si t ¸ 1 ¡2x0 + R t 0 x(u) du + 8y0 + 8y = 0 x(0) = 32 ; y(0) = 9 Sol.: (a) x = 2¡3e¡4t¡4et; y = 4e¡4t+2et ; (b) x = 32 cos 2t+h(t¡1) 2 sen 2(t¡1); y = 9 5 ¡ e¡t + 4 cos 2t ¡ 2 sen 2t ¢ + ¡¡1 32 ¡ 1 40e1¡t + 9 160 cos 2(t ¡ 1) + 9 80 sen 2(t ¡ 1) ¢ h(t ¡ 1). 11. Utilizando transformadas de Laplace: (a) Resolver: ½ x00 ¡ 5x0 + 4x = 4 ; t ¸ 0 x(0) = 0 ; x0(0) = 2 (b) Demostrar que: Z t 0 sen y cos(t ¡ y) dy = t sen t 2 Sol.: (a) x(t) = 1 ¡ 2et + e4t, t ¸ 0. 12. Usando transformadas de Laplace, resolver el problema de Cauchy: 8< : x0 ¡ 2x + 3y = 4 ¡ 2t y0 + 2y ¡ x = 2 ¡ t x(0) = ¡1 ; y(0) = 0 para t ¸ 0. Sol.: x(t) = t ¡ e¡t, y(t) = 1 ¡ e¡t, t ¸ 0.
  • 4. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 4 13. Resolver, utilizando la Transformada de Laplace, el problema de Cauchy: ½ y00 ¡ 2y0 + y ¡ 2 R t 0 y(u) du = 5 ; t > 0 y(0) = 1 ; y0(0) = 0 Sol.: y(t) = e2t ¡ 2 sen t, t ¸ 0. 14. Resolver el problema de Cauchy 8>>>>< >>>>: x0 ¡ y = ½ 1 , si 0 < t < 2 0 , si 2 < t y0 ¡ x0 = ½ 0 , si 0 < t < 2 1 , si 2 < t x(0) = 1 ; y(0) = 0 Sol.: x(t) = eth(t) ¡ (t ¡ 2)h(t ¡ 2); y(t) = (et ¡ 1)h(t). 15. Dada la funci´on f(t) = n, si (n ¡ 1)® < t < n®, para n ¸ 1, siendo ® un n´umero real positivo y no nulo, se pide: (a) Trazar su gr´afica y obtener para f(t) una f´ormula que la exprese como una serie cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside. (b) Calcular la transformada de Laplace de f(t). (c) Aplicando convoluci´on, calcular la transformada inversa de F(s) = 1 s2(s2 + 4) (d) Resolver, mediante transformadas de Laplace, el problema de Cauchy ( x00 = 8 ¡ 4t + 2 sen(2t ¡ 4) x(2) = 1 ; x0(2) = 0 Sol.: (a) f(t) = P1 s(1¡e¡®s) ; (c) L¡1 (F(s)) = n=0 h(t ¡ n®); (b) L(f(t)) = 1 2t¡sen 2t 8 h(t); (d) x(t) = ¡ t ¡ 1 ¡ 2 ¢ h(t ¡ 2). 3 (t ¡ 2)3 ¡ 1 2 sen 2(t ¡ 2) 16. Dada la funci´on f(t) = ( 0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ¸ 0 a , si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ¸ 0 con a > 0, se pide: (a) Obtener su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 ¡ 2x0 + x = f(t) (h(t) ¡ h(t ¡ 3a)) x(0) = x0(0) = 2
  • 5. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 5 Sol.: (a) L(f(t)) = a s(e2as+1) ; (b) x(t) = 2eth(t)+ +a £¡ 1 + et¡2a(t ¡ 2a ¡ 1) ¢ h(t ¡ 2a) ¡ ¡ 1 + et¡3a(t ¡ 3a ¡ 1) ¢ h(t ¡ 3a) ¤ . 17. Dada la funci´on f(t) = ( cos 4t , si 0 · t < 4¼ 0 , si t ¸ 4¼ se pide: (a) Expresarla mediante la funci´on de Heaviside y hallar, aplicando las propiedades, su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 + 16x = f(t) x(0) = x0(0) = 0 Sol.: (a) f(t) = h(t) cos 4t ¡ h(t ¡ 4¼) cos 4t, L(f(t)) = s(1¡e¡4¼s) s2+16 ; (b) x = 1 8 (th(t) sen 4t ¡ (t ¡ 4¼)h(t ¡ 4¼) sen(t ¡ 4¼)).